Решение неравенства. Стереотип или необходимость

@ant-ares · Регистрация: 22.04.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

В учебном пособии разбирая один пример задумался над вопросом, а всегда ли следует при поиске решений приводить правую часть неравенства к нулю? Нельзя ли исследовать его решения относительно иных числовых значений и как это на них повлияет?

Например неравенство:
lg(x^2+x-6)-lg(x+3)<=lg3 привожу к форме (x+3)(x-2)/(x+3)<=3, корни многочлена разложенного на множители в числителе левой части -3 и 2, но есть еще точка 5, которая получается решением неравенства (x-2)<=3; в точке -3 неравенство теряет смысл, значит остаются две решающие точки это 2 и 5; в пособии ответ (2;5] буквально; но, исследуя неравенство подстановкой значений из интервала <2 получаю отрицательные значения, т.е. <3, что тоже удовлетворяет условию неравенства; тогда почему такой ответ? сразу оговорюсь, в пособии решение основано на перенос 3 из правой части неравенства в левую, с последующим преобразованием, корни те же; ну и я не рассматривал решение x+3<=3 в силу того, что во первых оно общее для множителей в числителе и знаменателе, а во вторых в процессе я x+3 сократил, получив x-2<=3

поэтому, основной вопрос обозначен выше, из чего будет понятно правильно ли я применил решение, прошу высказываться

Байт · 18.05.2020, 19:05

Сообщение от ant-ares

Стереотип или необходимость

Необходимости нет. Просто есть простой и мощный метод интервалов, который позволяет сразу исключить неосуществимые варианты.
Вашего решения читать не стал. Именно потому, что много рассуждений.

Сообщение от ant-ares

я x+3 сократил

А вот такие штуки в неравенствах следует делать с величайшей осторожностью. Или вообще не делать. Метод интервалов позволяет такого рода плюх избежать

Добавлено через 3 минуты
Еще разок. Никто вам не запрещает решать ваши неравенства так, как вам подсказывает ваш ум. Все методы просто стараются вам помочь упорядочить варианты.

@ant-ares · 18.05.2020, 21:51 **[ТС]**

Сообщение от Байт

А вот такие штуки

редкое достоинство, не читая определять важное)) ну да ладно

именно сводя к методу интервалов я и преобразовывал многочлен к множителям; поэтому вопрос скорее относился к необходимости иметь ноль в правой части при использовании этого метода; вы имели ввиду отсутствие такой необходимости в нем? лично я ее не вижу; по поводу

Сообщение от ant-ares

"x+3 сократил"

я знаю это, и пошел лишь потому, что они несут общие корни, исключаемые в методе интервалов

и вы не сказали своего мнения, по поводу решений в области определения <2; заметьте, я специально выставил точные скобки в ответе

@jogano · 18.05.2020, 22:11

ant-ares, ваше неравенство имеет ОДЗ (область допустимых значений), которая определяется тем, что подлогарифмические выражения должны быть оба >0, т.е. системой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(x+3 \right)\left(x-2 \right)>0 \\ x+3>0\end{cases} \: \Rightarrow \: x>2$
Когда вы избавляетесь от логарифмов, вы должны дописать это условие в систему, а потом уже можно сокращать на х+3.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\frac{\left(x+3 \right)\left(x-2 \right)}{x+3}\leq 3 \\ x>2\end{cases} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}x-2\leq 3 \\ x>2\end{cases} \: \Leftrightarrow \: x \in \left(2;5 \right]$
Ответ в книжке правильный.
Не знаю, как вы могли подставлять в исходное неравенство значения x<2, когда для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left(-3; 2\right]$ первый логарифм не существует, а для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left(-\infty; -3\right]$ не существует второй.

@ant-ares · 18.05.2020, 23:52 **[ТС]**

Сообщение от jogano

Не знаю, как вы могли

в процессе преобразования мы избавляемся от логарифмов, преобразуя к равносильному неравенству, а если они не равносильны, то корни исходного и полученного неравенств будут не совпадать; кроме того и числитель и знаменатель могут быть не обязательно >0, но и оба <0, и тогда дробь под логарифмом будет тоже положительна; с одним согласен, полученные корни при любых преобразованиях надо сравнивать на первоначальном выражении, поскольку в процессе могут появляться ложные корни или исключаться верные

Добавлено через 8 минут
jogano, хотя похоже вы правы, на интервале (-беск.;2] числитель и знаменатель попеременно меняют знак

@ant-ares 18 / 9 / 4 Регистрация: 22.04.2016 Сообщений: 296
		1
	Решение неравенства. Стереотип или необходимость 18.05.2020, 18:46. Показов 415. Ответов 4 Метки нет (Все метки) В учебном пособии разбирая один пример задумался над вопросом, а всегда ли следует при поиске решений приводить правую часть неравенства к нулю? Нельзя ли исследовать его решения относительно иных числовых значений и как это на них повлияет? Например неравенство: lg(x^2+x-6)-lg(x+3)<=lg3 привожу к форме (x+3)(x-2)/(x+3)<=3, корни многочлена разложенного на множители в числителе левой части -3 и 2, но есть еще точка 5, которая получается решением неравенства (x-2)<=3; в точке -3 неравенство теряет смысл, значит остаются две решающие точки это 2 и 5; в пособии ответ (2;5] буквально; но, исследуя неравенство подстановкой значений из интервала <2 получаю отрицательные значения, т.е. <3, что тоже удовлетворяет условию неравенства; тогда почему такой ответ? сразу оговорюсь, в пособии решение основано на перенос 3 из правой части неравенства в левую, с последующим преобразованием, корни те же; ну и я не рассматривал решение x+3<=3 в силу того, что во первых оно общее для множителей в числителе и знаменателе, а во вторых в процессе я x+3 сократил, получив x-2<=3 поэтому, основной вопрос обозначен выше, из чего будет понятно правильно ли я применил решение, прошу высказываться 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	18.05.2020, 19:05	2
	Сообщение от ant-ares Стереотип или необходимость Необходимости нет. Просто есть простой и мощный метод интервалов, который позволяет сразу исключить неосуществимые варианты. Вашего решения читать не стал. Именно потому, что много рассуждений. Сообщение от ant-ares я x+3 сократил А вот такие штуки в неравенствах следует делать с величайшей осторожностью. Или вообще не делать. Метод интервалов позволяет такого рода плюх избежать Добавлено через 3 минуты Еще разок. Никто вам не запрещает решать ваши неравенства так, как вам подсказывает ваш ум. Все методы просто стараются вам помочь упорядочить варианты. 0

@ant-ares 18 / 9 / 4 Регистрация: 22.04.2016 Сообщений: 296
	18.05.2020, 21:51 [ТС]	3
	Сообщение от Байт А вот такие штуки редкое достоинство, не читая определять важное)) ну да ладно именно сводя к методу интервалов я и преобразовывал многочлен к множителям; поэтому вопрос скорее относился к необходимости иметь ноль в правой части при использовании этого метода; вы имели ввиду отсутствие такой необходимости в нем? лично я ее не вижу; по поводу Сообщение от ant-ares "x+3 сократил" я знаю это, и пошел лишь потому, что они несут общие корни, исключаемые в методе интервалов и вы не сказали своего мнения, по поводу решений в области определения <2; заметьте, я специально выставил точные скобки в ответе 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	18.05.2020, 22:11	4
	ant-ares, ваше неравенство имеет ОДЗ (область допустимых значений), которая определяется тем, что подлогарифмические выражения должны быть оба >0, т.е. системой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(x+3 \right)\left(x-2 \right)>0 \\ x+3>0\end{cases} \: \Rightarrow \: x>2$ Когда вы избавляетесь от логарифмов, вы должны дописать это условие в систему, а потом уже можно сокращать на х+3. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\frac{\left(x+3 \right)\left(x-2 \right)}{x+3}\leq 3 \\ x>2\end{cases} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}x-2\leq 3 \\ x>2\end{cases} \: \Leftrightarrow \: x \in \left(2;5 \right]$ Ответ в книжке правильный. Не знаю, как вы могли подставлять в исходное неравенство значения x<2, когда для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left(-3; 2\right]$ первый логарифм не существует, а для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left(-\infty; -3\right]$ не существует второй. 0

@ant-ares 18 / 9 / 4 Регистрация: 22.04.2016 Сообщений: 296
	18.05.2020, 23:52 [ТС]	5
	Сообщение от jogano Не знаю, как вы могли в процессе преобразования мы избавляемся от логарифмов, преобразуя к равносильному неравенству, а если они не равносильны, то корни исходного и полученного неравенств будут не совпадать; кроме того и числитель и знаменатель могут быть не обязательно >0, но и оба <0, и тогда дробь под логарифмом будет тоже положительна; с одним согласен, полученные корни при любых преобразованиях надо сравнивать на первоначальном выражении, поскольку в процессе могут появляться ложные корни или исключаться верные Добавлено через 8 минут jogano, хотя похоже вы правы, на интервале (-беск.;2] числитель и знаменатель попеременно меняют знак 0