Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка

@Zestokiu_Xarek · Регистрация: 10.06.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите пожалуйста решить уравнение y''-4y'+5y=2x²e^x , методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка , буду очень благодари

Зосима · 11.06.2014, 09:22

Вот, практически твое задание

Численное решение дифференциальных уравнений

@Zestokiu_Xarek · 12.06.2014, 01:07 **[ТС]**

огромное спасибо , а то лазил по форуму , а это не заметил =)

Добавлено через 14 часов 40 минут
у меня вопрос : В методе Рунге-Кутта ты дал код

Matlab M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
clear, clc
h = 0.05; % шаг
a = 0; % нижний предел
b = 0.5; % верхний предел
 
% функция системы:
dsys = @(x,y,dy) [dy;
        2*exp(-x)*cos(x)-2*dy-2*y];
 
T = a:h:b; % массив времени
% инициализируем массив значений:
Y = zeros(size(T)); 
dY = zeros(size(T));
% начальные условия:
Y(1) = 1; 
dY(1) = 0;
% начинаем Рунге-Куттить ;)
for j=1:length(T)-1
    k1=h*dsys(T(j), Y(j), dY(j));
    k2=h*dsys(T(j)+h/2, Y(j)+k1(1)/2, dY(j)+k1(2)/2 );
    k3=h*dsys(T(j)+h/2, Y(j)+k2(1)/2, dY(j)+k2(2)/2);
    k4=h*dsys(T(j)+h, Y(j)+k3(1), dY(j)+k3(2) );
    dU = (k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    Y(j+1)=Y(j) + dU(1);
    dY(j+1)=dY(j) + dU(2);
end 
plot(T,Y, T,dY)
legend('y(x)','dy/dx')

но мы же разбиваем на да уравнение , и разве нам не надо искать по 4 К для каждого из них (т.е. всего у нас разве не 8 к должно получиться)???

Зосима · 12.06.2014, 12:03

Zestokiu_Xarek, тут есть хитрость

дело в том, что в функция написана так, что рассчитываются и возвращаются сразу два результата, для каждого из уравнений!

поэтому коэф-ты Ki и приращение dU содержат два значения для каждого из уравнений (потом к Y прибавляется первый элемент dU(1), а к dY прибавляется второй элемент dU(2) )
поэтому К четыре, а не восемь

@Zestokiu_Xarek · 12.06.2014, 13:20 **[ТС]**

а зачем в этой строчке ты создаешь просто тьму нулей ?

Matlab M
1
2
Y = zeros(size(T)); 
dY = zeros(size(T));

Зосима · 12.06.2014, 14:39

Zestokiu_Xarek, это стандартный прием для увеличения быстродействия: инициализировать массив до того как. Иначе на каждом шаге цикла будет добавляться новый элемент, т.е. физически в памяти будет создаваться новая переменная и уничтожатся старая (это занимает время), а в моем случае под переменную уже выделен шмат памяти

@Zestokiu_Xarek · 15.06.2014, 22:39 **[ТС]**

а как сделать в методе Рунге-кутта , чтобы для каждой функции были свои К и еще вопрос , не обязательно отдельной строчкой выводить функцию ,

Matlab M
1
2
dsys = @(x,y,dy) [dy;
        2*exp(-x)*cos(x)-2*dy-2*y];

, а можно написать в самой строчке программы ? здесь

Matlab M
1
 k1=h*dsys(T(j), Y(j), dY(j))

Добавлено через 11 минут
столько вопросов потому что преподаватель не понравилась прога =)

Зосима · 15.06.2014, 22:40

Сообщение от Zestokiu_Xarek

а как сделать в методе Рунге-кутта , чтобы для каждой функции были свои К

тогда нужно 8 раз считать К

Сообщение от Zestokiu_Xarek

не обязательно отдельной строчкой выводить функцию

хм, впринципе можно

но опять же - ее придется переписывать 8 раз

@Zestokiu_Xarek · 15.06.2014, 22:55 **[ТС]**

и получаеться ты оба уравнения занес сюда

Matlab M
1
2
dsys = @(x,y,dy) [dy;
        2*exp(-x)*cos(x)-2*dy-2*y];

и поэтому он так его легко считал ?

Зосима · 15.06.2014, 22:56

да

@Zestokiu_Xarek · 15.06.2014, 22:59 **[ТС]**

спасибо очень помог и извини за тупые вопросы

Зосима · 15.06.2014, 23:03

та ничего

вот, гляди какая штука получается:

Matlab M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
clear, clc
h = 0.05; % шаг
a = 0; % нижний предел
b = 0.5; % верхний предел
 
T = a:h:b; % массив времени
% инициализируем массив значений:
Y = zeros(size(T)); 
dY = zeros(size(T));
% начальные условия:
Y(1) = 1; 
dY(1) = 0;
% начинаем Рунге-Куттить ;)
for j=1:length(T)-1
    % Y(j+1):
    K11 = dY(j);
    K12 = dY(j)+K11/2;
    K13 = dY(j)+K12/2;
    K14 = dY(j)+K13;
    Y(j+1) = Y(j) + h*(K11+2*K12+2*K13+K14)/6;
    % dY(j+1):
    K21 = 2*T(j)^2*exp(T(j))+4*dY(j)-5*Y(j);
    K22 = 2*(T(j)+h/2)^2*exp(T(j)+h/2)+4*(dY(j)+K21/2)-5*(Y(j)+K21/2);
    K23 = 2*(T(j)+h/2)^2*exp(T(j)+h/2)+4*(dY(j)+K22/2)-5*(Y(j)+K22/2);
    K24 = 2*(T(j)+h)^2*exp(T(j)+h)+4*(dY(j)+K23)-5*(Y(j)+K23); 
    dY(j+1) = dY(j) + h*(K21+2*K22+2*K23+K24)/6;
end 
plot(T,Y, T,dY)
legend('y(x)','dy/dx')

*а функцию я отдельно выписал не просто так, а чтобы можно было проверить с помощью встроенной решалки ode45

@Fleury29 · 22.06.2014, 00:12

Зосима, Здравствуйте, мне нужно написать программу в Matlab для решения ОДУ методом Рунге-Кутты четвертого порядка.
Я не совсем понимаю, в чем суть этого метода. И еще, я не силен в ДУ, хоть и учусь на математика
Вы, как знающий человек, не могли бы сделать краткий экскурс в эту тему

@Krasme · 22.06.2014, 08:16

Fleury29, краткий экскурс в эту тему

@Fleury29 · 22.06.2014, 09:00

Krasme, Если бы я все это понял, то я бы здесь не писал.
Т.е. в качестве начальной точки берем х0? А в кач-ве конечной любое число?

@S_el · 22.06.2014, 14:27

Fleury29, конец интервала тоже должен быть задан.

Зосима · 22.06.2014, 17:23

Fleury29, о-ля-ля!

дружочек, я и сам-то не математик и даже не программист - в свои неполные 30 лет только метод Эйлера понял

Как я понял, заковырка этого метода заключается в расчете 4-х коэфф-тов (поэтому то и "4-го порядка") К1-К4, почему они считаются именно так я не знаю

причем, что любопытно, расчеты ведутся еще и в середине интервала (T(j)+h/2) (спинным мозгом чувствую, что ноги растут из формулы численного дифференцирования по трем точкам) а затем усредняется (K1+2*K2+2*K3+K4)/6 (это как-бы значение производной) и как в методе Эйлера умножается на шаг h и прибавляется к предыдущему значению функции Y(j)

В данном методе, как и в методе Эйлера, задается интервал значений x: [x0, x1], и значение функции в начальной точке y(x0), от которого уже начинаем плясать

@Fleury29 · 22.06.2014, 19:39

А если так написать то правильно будет?

Matlab M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
clear, clc
h = 0.1; % шаг
a = -1; % нижний предел
b = 1; % верхний предел
 
x = a:h:b;
 
y = zeros(size(x));
for j=1:length(x)-1
    k1=h*(x(j)-y(j));
    k2=h*(x(j)+h/2-y(j)+k1(1)/2);
    k3=h*(x(j)+h/2-y(j)+k2(1)/2);
    k4=h*(x(j)+h-y(j)+k3(1));
    dU = (k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    y(j+1)=y(j) + dU;
end 
 
plot(x,y);
legend('y(x)');

У меня ДУ такое: dy/dx=x-y, h=0,1, начальные условия не даны

График:

Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка

@Krasme · 22.06.2014, 19:44

Fleury29, вы не хотите пользоваться готовым образцом?

@Fleury29 · 22.06.2014, 20:01

Krasme, мне вручную надо написать

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
YAFU@home — распределённые вычисления для математики. На CPU Programma_Boinc 20.01.2026 YAFU@home — распределённые вычисления для математики. На CPU YAFU@home — это BOINC-проект, который занимается факторизацией больших чисел и исследованием aliquot-последовательностей. Звучит. . .	http://iceja.net/ математические сервисы iceja 20.01.2026 Обновила свой сайт http:/ / iceja. net/ , приделала Fast Fourier Transform экстраполяцию сигналов. Однако предсказывает далеко не каждый сигнал (см ограничения http:/ / iceja. net/ fourier/ docs ). Также. . .	http://iceja.net/ сервер решения полиномов iceja 18.01.2026 Выкатила http:/ / iceja. net/ сервер решения полиномов (находит действительные корни полиномов методом Штурма). На сайте документация по API, но скажу прямо VPS слабенький и 200 000 полиномов. . .	Расчёт переходных процессов в цепи постоянного тока igorrr37 16.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с R, L, C, k(ключ), U, E, J. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа, решает её и находит: токи, напряжения и их 1 и 2 производные при t = 0;. . .
Восстановить юзерскрипты Greasemonkey из бэкапа браузера damix 15.01.2026 Если восстановить из бэкапа профиль Firefox после переустановки винды, то список юзерскриптов в Greasemonkey будет пустым. Но восстановить их можно так. Для этого понадобится консольная утилита. . .	Сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/	WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .

@Zestokiu_Xarek 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.06.2014 Сообщений: 6

	Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка 11.06.2014, 00:21. Показов 23142. Ответов 40 Метки нет (Все метки) Помогите пожалуйста решить уравнение y''-4y'+5y=2x²e^x , методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка , буду очень благодари 0

Зосима 5245 / 3573 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,477 Записей в блоге: 18
	11.06.2014, 09:22
	Вот, практически твое задание Численное решение дифференциальных уравнений 0

Зосима 5245 / 3573 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,477 Записей в блоге: 18
	12.06.2014, 12:03
	Zestokiu_Xarek, тут есть хитрость дело в том, что в функция написана так, что рассчитываются и возвращаются сразу два результата, для каждого из уравнений! поэтому коэф-ты Ki и приращение dU содержат два значения для каждого из уравнений (потом к Y прибавляется первый элемент dU(1), а к dY прибавляется второй элемент dU(2) ) поэтому К четыре, а не восемь 0

Зосима 5245 / 3573 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,477 Записей в блоге: 18
	12.06.2014, 14:39
	Zestokiu_Xarek, это стандартный прием для увеличения быстродействия: инициализировать массив до того как. Иначе на каждом шаге цикла будет добавляться новый элемент, т.е. физически в памяти будет создаваться новая переменная и уничтожатся старая (это занимает время), а в моем случае под переменную уже выделен шмат памяти 0

Зосима 5245 / 3573 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,477 Записей в блоге: 18
	15.06.2014, 22:56
	да 1

@Zestokiu_Xarek 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.06.2014 Сообщений: 6
	15.06.2014, 22:59 [ТС]
	спасибо очень помог и извини за тупые вопросы 0

@Fleury29 7 / 7 / 6 Регистрация: 11.04.2013 Сообщений: 30
	22.06.2014, 00:12
	Зосима, Здравствуйте, мне нужно написать программу в Matlab для решения ОДУ методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Я не совсем понимаю, в чем суть этого метода. И еще, я не силен в ДУ, хоть и учусь на математика Вы, как знающий человек, не могли бы сделать краткий экскурс в эту тему 0

@Krasme 7244 / 5097 / 2151 Регистрация: 02.02.2014 Сообщений: 13,455
	22.06.2014, 08:16
	Fleury29, краткий экскурс в эту тему 0

@Fleury29 7 / 7 / 6 Регистрация: 11.04.2013 Сообщений: 30
	22.06.2014, 09:00
	Krasme, Если бы я все это понял, то я бы здесь не писал. Т.е. в качестве начальной точки берем х0? А в кач-ве конечной любое число? 0

@S_el 2444 / 1842 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,243
	22.06.2014, 14:27
	Fleury29, конец интервала тоже должен быть задан. 0

Зосима 5245 / 3573 / 379 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,477 Записей в блоге: 18
	22.06.2014, 17:23
	Fleury29, о-ля-ля! дружочек, я и сам-то не математик и даже не программист - в свои неполные 30 лет только метод Эйлера понял Как я понял, заковырка этого метода заключается в расчете 4-х коэфф-тов (поэтому то и "4-го порядка") К1-К4, почему они считаются именно так я не знаю причем, что любопытно, расчеты ведутся еще и в середине интервала (T(j)+h/2) (спинным мозгом чувствую, что ноги растут из формулы численного дифференцирования по трем точкам) а затем усредняется *(K1+2K2+2K3+K4)/6* (это как-бы значение производной) и как в методе Эйлера умножается на шаг h и прибавляется к предыдущему значению функции Y(j) В данном методе, как и в методе Эйлера, задается интервал значений x: [x0, x1], и значение функции в начальной точке y(x0), от которого уже начинаем плясать 1

@Krasme 7244 / 5097 / 2151 Регистрация: 02.02.2014 Сообщений: 13,455
	22.06.2014, 19:44
	Fleury29, вы не хотите пользоваться готовым образцом? 0

@Fleury29 7 / 7 / 6 Регистрация: 11.04.2013 Сообщений: 30
	22.06.2014, 20:01
	Krasme, мне вручную надо написать 0