Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка

@Zestokiu_Xarek · Регистрация: 10.06.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите пожалуйста решить уравнение y''-4y'+5y=2x²e^x , методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка , буду очень благодари

Зосима · 11.06.2014, 09:22

Вот, практически твое задание

Численное решение дифференциальных уравнений

@Zestokiu_Xarek · 12.06.2014, 01:07 **[ТС]**

огромное спасибо , а то лазил по форуму , а это не заметил =)

Добавлено через 14 часов 40 минут
у меня вопрос : В методе Рунге-Кутта ты дал код

Matlab M

clear, clc
h = 0.05; % шаг
a = 0; % нижний предел
b = 0.5; % верхний предел
 
% функция системы:
dsys = @(x,y,dy) [dy;
        2*exp(-x)*cos(x)-2*dy-2*y];
 
T = a:h:b; % массив времени
% инициализируем массив значений:
Y = zeros(size(T)); 
dY = zeros(size(T));
% начальные условия:
Y(1) = 1; 
dY(1) = 0;
% начинаем Рунге-Куттить ;)
for j=1:length(T)-1
    k1=h*dsys(T(j), Y(j), dY(j));
    k2=h*dsys(T(j)+h/2, Y(j)+k1(1)/2, dY(j)+k1(2)/2 );
    k3=h*dsys(T(j)+h/2, Y(j)+k2(1)/2, dY(j)+k2(2)/2);
    k4=h*dsys(T(j)+h, Y(j)+k3(1), dY(j)+k3(2) );
    dU = (k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    Y(j+1)=Y(j) + dU(1);
    dY(j+1)=dY(j) + dU(2);
end 
plot(T,Y, T,dY)
legend('y(x)','dy/dx')

но мы же разбиваем на да уравнение , и разве нам не надо искать по 4 К для каждого из них (т.е. всего у нас разве не 8 к должно получиться)???

Зосима · 12.06.2014, 12:03

Zestokiu_Xarek, тут есть хитрость

дело в том, что в функция написана так, что рассчитываются и возвращаются сразу два результата, для каждого из уравнений!

поэтому коэф-ты Ki и приращение dU содержат два значения для каждого из уравнений (потом к Y прибавляется первый элемент dU(1), а к dY прибавляется второй элемент dU(2) )
поэтому К четыре, а не восемь

@Zestokiu_Xarek · 12.06.2014, 13:20 **[ТС]**

а зачем в этой строчке ты создаешь просто тьму нулей ?

Matlab M

1 2	Y = zeros(size(T)); dY = zeros(size(T));

Зосима · 12.06.2014, 14:39

Zestokiu_Xarek, это стандартный прием для увеличения быстродействия: инициализировать массив до того как. Иначе на каждом шаге цикла будет добавляться новый элемент, т.е. физически в памяти будет создаваться новая переменная и уничтожатся старая (это занимает время), а в моем случае под переменную уже выделен шмат памяти

@Zestokiu_Xarek · 15.06.2014, 22:39 **[ТС]**

а как сделать в методе Рунге-кутта , чтобы для каждой функции были свои К и еще вопрос , не обязательно отдельной строчкой выводить функцию ,

Matlab M

1 2	dsys = @(x,y,dy) [dy; 2exp(-x)cos(x)-2dy-2y];

, а можно написать в самой строчке программы ? здесь

Matlab M

1	k1=h*dsys(T(j), Y(j), dY(j))

Добавлено через 11 минут
столько вопросов потому что преподаватель не понравилась прога =)

Зосима · 15.06.2014, 22:40

Сообщение от Zestokiu_Xarek

а как сделать в методе Рунге-кутта , чтобы для каждой функции были свои К

тогда нужно 8 раз считать К

Сообщение от Zestokiu_Xarek

не обязательно отдельной строчкой выводить функцию

хм, впринципе можно

но опять же - ее придется переписывать 8 раз

@Zestokiu_Xarek · 15.06.2014, 22:55 **[ТС]**

и получаеться ты оба уравнения занес сюда

Matlab M

1 2	dsys = @(x,y,dy) [dy; 2exp(-x)cos(x)-2dy-2y];

и поэтому он так его легко считал ?

Зосима · 15.06.2014, 22:56

да

@Zestokiu_Xarek · 15.06.2014, 22:59 **[ТС]**

спасибо очень помог и извини за тупые вопросы

Зосима · 15.06.2014, 23:03

та ничего

вот, гляди какая штука получается:

Matlab M

clear, clc
h = 0.05; % шаг
a = 0; % нижний предел
b = 0.5; % верхний предел
 
T = a:h:b; % массив времени
% инициализируем массив значений:
Y = zeros(size(T)); 
dY = zeros(size(T));
% начальные условия:
Y(1) = 1; 
dY(1) = 0;
% начинаем Рунге-Куттить ;)
for j=1:length(T)-1
    % Y(j+1):
    K11 = dY(j);
    K12 = dY(j)+K11/2;
    K13 = dY(j)+K12/2;
    K14 = dY(j)+K13;
    Y(j+1) = Y(j) + h*(K11+2*K12+2*K13+K14)/6;
    % dY(j+1):
    K21 = 2*T(j)^2*exp(T(j))+4*dY(j)-5*Y(j);
    K22 = 2*(T(j)+h/2)^2*exp(T(j)+h/2)+4*(dY(j)+K21/2)-5*(Y(j)+K21/2);
    K23 = 2*(T(j)+h/2)^2*exp(T(j)+h/2)+4*(dY(j)+K22/2)-5*(Y(j)+K22/2);
    K24 = 2*(T(j)+h)^2*exp(T(j)+h)+4*(dY(j)+K23)-5*(Y(j)+K23); 
    dY(j+1) = dY(j) + h*(K21+2*K22+2*K23+K24)/6;
end 
plot(T,Y, T,dY)
legend('y(x)','dy/dx')

*а функцию я отдельно выписал не просто так, а чтобы можно было проверить с помощью встроенной решалки ode45

@Fleury29 · 22.06.2014, 00:12

Зосима, Здравствуйте, мне нужно написать программу в Matlab для решения ОДУ методом Рунге-Кутты четвертого порядка.
Я не совсем понимаю, в чем суть этого метода. И еще, я не силен в ДУ, хоть и учусь на математика
Вы, как знающий человек, не могли бы сделать краткий экскурс в эту тему

@Krasme · 22.06.2014, 08:16

Fleury29, краткий экскурс в эту тему

@Fleury29 · 22.06.2014, 09:00

Krasme, Если бы я все это понял, то я бы здесь не писал.
Т.е. в качестве начальной точки берем х0? А в кач-ве конечной любое число?

@S_el · 22.06.2014, 14:27

Fleury29, конец интервала тоже должен быть задан.

Зосима · 22.06.2014, 17:23

Fleury29, о-ля-ля!

дружочек, я и сам-то не математик и даже не программист - в свои неполные 30 лет только метод Эйлера понял

Как я понял, заковырка этого метода заключается в расчете 4-х коэфф-тов (поэтому то и "4-го порядка") К1-К4, почему они считаются именно так я не знаю

причем, что любопытно, расчеты ведутся еще и в середине интервала (T(j)+h/2) (спинным мозгом чувствую, что ноги растут из формулы численного дифференцирования по трем точкам) а затем усредняется (K1+2*K2+2*K3+K4)/6 (это как-бы значение производной) и как в методе Эйлера умножается на шаг h и прибавляется к предыдущему значению функции Y(j)

В данном методе, как и в методе Эйлера, задается интервал значений x: [x0, x1], и значение функции в начальной точке y(x0), от которого уже начинаем плясать

@Fleury29 · 22.06.2014, 19:39

А если так написать то правильно будет?

Matlab M

clear, clc
h = 0.1; % шаг
a = -1; % нижний предел
b = 1; % верхний предел
 
x = a:h:b;
 
y = zeros(size(x));
for j=1:length(x)-1
    k1=h*(x(j)-y(j));
    k2=h*(x(j)+h/2-y(j)+k1(1)/2);
    k3=h*(x(j)+h/2-y(j)+k2(1)/2);
    k4=h*(x(j)+h-y(j)+k3(1));
    dU = (k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    y(j+1)=y(j) + dU;
end 
 
plot(x,y);
legend('y(x)');

У меня ДУ такое: dy/dx=x-y, h=0,1, начальные условия не даны

График:

Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка

@Krasme · 22.06.2014, 19:44

Fleury29, вы не хотите пользоваться готовым образцом?

@Fleury29 · 22.06.2014, 20:01

Krasme, мне вручную надо написать

@Zestokiu_Xarek 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.06.2014 Сообщений: 6
		1
	Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка 11.06.2014, 00:21. Показов 21469. Ответов 40 Метки нет (Все метки) Помогите пожалуйста решить уравнение y''-4y'+5y=2x²e^x , методом Эйлера и методом Рунге-кутта 4 порядка , буду очень благодари 0

Зосима 5221 / 3552 / 372 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,458 Записей в блоге: 17
	11.06.2014, 09:22	2
	Вот, практически твое задание Численное решение дифференциальных уравнений 0

Зосима 5221 / 3552 / 372 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,458 Записей в блоге: 17
	12.06.2014, 12:03	4
	Zestokiu_Xarek, тут есть хитрость дело в том, что в функция написана так, что рассчитываются и возвращаются сразу два результата, для каждого из уравнений! поэтому коэф-ты Ki и приращение dU содержат два значения для каждого из уравнений (потом к Y прибавляется первый элемент dU(1), а к dY прибавляется второй элемент dU(2) ) поэтому К четыре, а не восемь 0

Зосима 5221 / 3552 / 372 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,458 Записей в блоге: 17
	12.06.2014, 14:39	6
	Zestokiu_Xarek, это стандартный прием для увеличения быстродействия: инициализировать массив до того как. Иначе на каждом шаге цикла будет добавляться новый элемент, т.е. физически в памяти будет создаваться новая переменная и уничтожатся старая (это занимает время), а в моем случае под переменную уже выделен шмат памяти 0

Зосима 5221 / 3552 / 372 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,458 Записей в блоге: 17
	15.06.2014, 22:40	8
	Сообщение от Zestokiu_Xarek а как сделать в методе Рунге-кутта , чтобы для каждой функции были свои К тогда нужно 8 раз считать К Сообщение от Zestokiu_Xarek не обязательно отдельной строчкой выводить функцию хм, впринципе можно но опять же - ее придется переписывать 8 раз 0

Зосима 5221 / 3552 / 372 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,458 Записей в блоге: 17
	15.06.2014, 22:56	10
	да 1

@Zestokiu_Xarek 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.06.2014 Сообщений: 6
	15.06.2014, 22:59 [ТС]	11
	спасибо очень помог и извини за тупые вопросы 0

@Fleury29 7 / 7 / 6 Регистрация: 11.04.2013 Сообщений: 30
	22.06.2014, 00:12	13
	Зосима, Здравствуйте, мне нужно написать программу в Matlab для решения ОДУ методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Я не совсем понимаю, в чем суть этого метода. И еще, я не силен в ДУ, хоть и учусь на математика Вы, как знающий человек, не могли бы сделать краткий экскурс в эту тему 0

@Krasme 6652 / 4750 / 1982 Регистрация: 02.02.2014 Сообщений: 12,729
	22.06.2014, 08:16	14
	Fleury29, краткий экскурс в эту тему 0

@Fleury29 7 / 7 / 6 Регистрация: 11.04.2013 Сообщений: 30
	22.06.2014, 09:00	15
	Krasme, Если бы я все это понял, то я бы здесь не писал. Т.е. в качестве начальной точки берем х0? А в кач-ве конечной любое число? 0

@S_el 2434 / 1834 / 404 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,202
	22.06.2014, 14:27	16
	Fleury29, конец интервала тоже должен быть задан. 0

Зосима 5221 / 3552 / 372 Регистрация: 02.04.2012 Сообщений: 6,458 Записей в блоге: 17
	22.06.2014, 17:23	17
	Fleury29, о-ля-ля! дружочек, я и сам-то не математик и даже не программист - в свои неполные 30 лет только метод Эйлера понял Как я понял, заковырка этого метода заключается в расчете 4-х коэфф-тов (поэтому то и "4-го порядка") К1-К4, почему они считаются именно так я не знаю причем, что любопытно, расчеты ведутся еще и в середине интервала (T(j)+h/2) (спинным мозгом чувствую, что ноги растут из формулы численного дифференцирования по трем точкам) а затем усредняется *(K1+2K2+2K3+K4)/6* (это как-бы значение производной) и как в методе Эйлера умножается на шаг h и прибавляется к предыдущему значению функции Y(j) В данном методе, как и в методе Эйлера, задается интервал значений x: [x0, x1], и значение функции в начальной точке y(x0), от которого уже начинаем плясать 1

@Krasme 6652 / 4750 / 1982 Регистрация: 02.02.2014 Сообщений: 12,729
	22.06.2014, 19:44	19
	Fleury29, вы не хотите пользоваться готовым образцом? 0

@Fleury29 7 / 7 / 6 Регистрация: 11.04.2013 Сообщений: 30
	22.06.2014, 20:01	20
	Krasme, мне вручную надо написать 0