@iBonasa

Здравствуйте,

Мне нужна помощь в решении простой задачи. Даже двух: прямой и обратной.

Имеется начальное распределение невзаимодействующих частиц друг с другом и средой (пусть сначала одномерное) - p(x0). Есть начальное распределение скорости v(x0).

Найти эволюцию p(x,t).

И обратная задача: p(x0) и p(x, t'). Найти v(x0).

1. Мои мысли: ну, используем лагранжевы координаты и переход между переменными, учитывая, что масса частиц сохраняется.

x(t0)=x0=$, t0=0
p(x, t) dx = p($,t0) d$
Поскольку поле скоростей не меняется по траектории частиц, то v($,t)=v($) =>
x($,t)=$+v($)*t=>
p(x,t)=p($(x,t))*(d$/dx)=p($(x,t))*(1+dv($)/d$*t)^(-1)

Ну, с простой функцией распределения v($) (к примеру v($)=$) всё работает, потому что из x($,t) можно просто (а, главное, однозначно) найти/выразить $(x,t).

Собстн вопрос: как обобщить на произвольное начальное поле скоростей? Да, получится p(x,t) не совсем взаимнооднозначное..

2. Тут же та самая проблема со взаимнооднозначностью. Пробовать другую переменную, типа массы?

P.s. не знал, где создать топик
P.s.s. пардон за $, просто удобнее с телефона его набирать

Добавлено через 2 часа 50 минут
Вот для понятности формулы

0

Sergeiy_98

Может мы говорим о разных вещах, но функция Лагранжа для свободной точки это зависимость от квадрата вектора скорости, если речь идёт об инерциальной системе. И ещё. Что вы понимаете под эволюцией? Ваша задача была бы более понятна и воспринята в обще понятных терминах.

0

@iBonasa

Спасибо за ответ!
Я не говорил о функции Лагранжа, а о координатах. Это скорее не 2ой курс уни, а 6ой
Эволюция-это изменение системы тел во времени. Т.е. на пальцах, есть облако частиц плотностью p(x) и у каждой частицы есть начальная скорость v(x). И нужно узнать плотность этих частиц в любой момент времени. И нет никаких взаимодействий частиц. Задача звучит просто, но ввиду того, что при произвольном распределении начальных скоростей есть так называемые перехлесты (когда траектории частиц пересекаются и в одной точке возникают пучности), то начинается писец. Эта задача элементарно решается численно, спору нет. Но вот обратная, походу, имеет тьму решений и ооочень не однозначна.
Было бы здорово, если кто б предложил численное решение обратной задачи тоже)

Доп условие обратной задачи такого:
Известно

Известны такие, что для каждого имеется начальной распределение скоростей


Найти v(x) ))

0

Sergeiy_98

Ну это наверно объёмная плотность? Надо бы знать саму функцию. А как вы её нашли? Покажите её, если она дана.
Звучит или решается для двух частиц?

0

@iBonasa

Плотность произвольная гладкая функция. Пусть даже гаусс. В первом посту я написал, что для простоты это будет одномерная плотность. Это не механика пары точек, а плотности (механика сплошных среди и т.п.).
Вот элементарный пример "без захлестов"

Пусть плотность начальная равна

С точностью до нормировки.
Распределение скоростей

Решение, согласно первому посту, будет следующим


Модно почитать, Зельдовича. Там это неплохо объясняется и есть даже моя задачи почти, однако, решение её не рассматривается, только идёт разговор о моментах, когда наступают захлёсты..

0

@iBonasa

Уважаемые модераторы!

Может тему в другой раздел перенести, раз тут с ответами тухловато?...

0