Зависимость силы давления жидкости на конус от жидкости

@Alexandrietz · Регистрация: 03.05.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, господа. Столкнулся с такой задачей. Дан конус, высота которого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H$ , радиус основания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R$ . Он плотно прилегает своим основанием ко дну сосуда. В сосуд начинают наливать воду. Ее плотность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ , атмосферное давление $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{0}$ . Требуется найти зависимость силы давления воды на конус в зависимости от уровня воды в сосуде, то есть найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(h)$ . Приведу свое решение. Скажите, правильно ли оно?

Решение:
1) Будем рассматривать бесконечно малые усеченные конусы площадью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dS$ , пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h$ - расстояние от основания до бесконечно малого конуса усеченного. Тогда Из подобия прямоугольных треугольников:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dS = 2\pi r(dh/cos\alpha) \Rightarrow dF = (\rho gh + P_{0})dSsin(\alpha ), r = R \frac{H-h}{H}$ . Далее
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F = \int_{0}^{h}2\pi {(\frac{R}{H})}^{2}(\rho gh + P_{0})hdh = 2\pi {(\frac{R}{H})}^{2}(0.5\rho gh^2H - \frac{\rho gh^3}{3} + P_{0}Hh - 0.5P_{0}h^2) = F(h)$ .

К сожалению, разрядился аккумулятор у фотоаппарата, а то я хотел письменные выкладки представить Вам. Если правильно, то как из такого уравнения при заданной силе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F$ найти уровень $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h$ ( Теоерма Виета что ли)?

@Alexandrietz · 24.03.2017, 20:24 **[ТС]**

Вот прислал оригинал задания

@AGK · 27.03.2017, 17:27

Что-то не то с уравнением. Если h<H, то зависимость должна быть одна, а если h>H, то она должна быть другая (в первом случае меняется площадь поверхности, на которую оказывается давление воды, а во втором случае - эта площадь остается постоянной. Короче говоря, если h>H, то сила давления должна зависеть от h-H линейно и больше никак от h не зависеть. А в приведенной формуле такой линейностью не пахнет.
Не совсем понятно из условия, как учитывать атмосферное давление. Что такое "давление воды на конус"? И как его можно отделить от давления на всю коническую поверхность? Если надо определить именно "давление воды на конус", то надо ли вообще учитывать атмосферное давление? Может ну его? Это же не вода.

IGPIGP · 28.03.2017, 23:33

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{uskon }=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^{2}\cdot h$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{cylinder }=\pi \cdot R^{2}\cdot h$
Объём жидкости над поверхностью усечённого конуса равен разности:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{liquid }=\pi \cdot R^{2}\cdot (h-\frac{h}{3})$
её вес распределяется на основание конуса:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p =\frac{2}{3} \cdot \rho \cdot g\cdot h$
если не напутал.

Без учёта атмосферы конечно.

@~~titan4ik~~ · 29.03.2017, 11:11

Сообщение от IGPIGP

если не напутал.

Задача, как обычно, не вполне корректно сформулирована, но, возможно (???), интерпретирована вами правильно).
Только в решении у вас формула для объёма НЕ усеченного конуса. Но идея-то конструктивная, поэтому остальное школьники могут сами дотумкать.
Интересно для школьников обсудить вот это ещё - "Дан конус... Он плотно прилегает своим основанием ко дну сосуда.". Что это означает с точки зрения физики (в данном случае)?
А если не прилегал бы, то что тогда изменилось бы в судьбе этого конуса и в величине действующей на него "силы давления воды на конус"?

IGPIGP · 30.03.2017, 00:19

Сообщение от titan4ik

НЕ усеченного конуса

не... усечённого. Он получен вычитанием объёма конуса с высотой H и конуса с высотой h... да. Ошибся.
я чувствовал, что решая быстро могу напутать. Хотя и медленно тоже могу.

Вечером постараюсь глянуть

Добавлено через 4 минуты
Что-то такое могло бы получиться.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^{2}\cdot \frac{3\cdot H^{2}\cdot h-3\cdot H\cdot h^{2}+h^{3}}{H^{2}}$
по крайней мере при h=H уже получается целый конус. Теперь вычесть из цилиндра остаётся.

Добавлено через 8 часов 28 минут
Что-то такое:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{liquid }=\frac{\pi \cdot R^{2}}{3}\cdot \frac{3\cdot H\cdot h^{2}-h^{3}}{H^{2}}$
и давление:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{liquid }=\frac{\rho \cdot g}{3}\cdot \frac{3\cdot H\cdot h^{2}-h^{3}}{H^{2}}$

@Alexandrietz 2 / 2 / 0 Регистрация: 03.05.2016 Сообщений: 141
		1
	Зависимость силы давления жидкости на конус от жидкости 24.03.2017, 20:16. Показов 6000. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Здравствуйте, господа. Столкнулся с такой задачей. Дан конус, высота которого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H$ , радиус основания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R$ . Он плотно прилегает своим основанием ко дну сосуда. В сосуд начинают наливать воду. Ее плотность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho$ , атмосферное давление $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P_{0}$ . Требуется найти зависимость силы давления воды на конус в зависимости от уровня воды в сосуде, то есть найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(h)$ . Приведу свое решение. Скажите, правильно ли оно? Решение: 1) Будем рассматривать бесконечно малые усеченные конусы площадью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dS$ , пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h$ - расстояние от основания до бесконечно малого конуса усеченного. Тогда Из подобия прямоугольных треугольников: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dS = 2\pi r(dh/cos\alpha) \Rightarrow dF = (\rho gh + P_{0})dSsin(\alpha ), r = R \frac{H-h}{H}$ . Далее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F = \int_{0}^{h}2\pi {(\frac{R}{H})}^{2}(\rho gh + P_{0})hdh = 2\pi {(\frac{R}{H})}^{2}(0.5\rho gh^2H - \frac{\rho gh^3}{3} + P_{0}Hh - 0.5P_{0}h^2) = F(h)$ . К сожалению, разрядился аккумулятор у фотоаппарата, а то я хотел письменные выкладки представить Вам. Если правильно, то как из такого уравнения при заданной силе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F$ найти уровень $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h$ ( Теоерма Виета что ли)? 0

@Alexandrietz 2 / 2 / 0 Регистрация: 03.05.2016 Сообщений: 141
	24.03.2017, 20:24 [ТС]	2
	Вот прислал оригинал задания 0

@AGK 761 / 662 / 195 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 2,158
	27.03.2017, 17:27	3
	Что-то не то с уравнением. Если h<H, то зависимость должна быть одна, а если h>H, то она должна быть другая (в первом случае меняется площадь поверхности, на которую оказывается давление воды, а во втором случае - эта площадь остается постоянной. Короче говоря, если h>H, то сила давления должна зависеть от h-H линейно и больше никак от h не зависеть. А в приведенной формуле такой линейностью не пахнет. Не совсем понятно из условия, как учитывать атмосферное давление. Что такое "давление воды на конус"? И как его можно отделить от давления на всю коническую поверхность? Если надо определить именно "давление воды на конус", то надо ли вообще учитывать атмосферное давление? Может ну его? Это же не вода. 0

IGPIGP Комп_Оратор) $Эксперт по математике/физике$ 8853 / 4594 / 620 Регистрация: 04.12.2011 Сообщений: 13,725 Записей в блоге: 16
	28.03.2017, 23:33	4
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{uskon }=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^{2}\cdot h$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{cylinder }=\pi \cdot R^{2}\cdot h$ Объём жидкости над поверхностью усечённого конуса равен разности: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{liquid }=\pi \cdot R^{2}\cdot (h-\frac{h}{3})$ её вес распределяется на основание конуса: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p =\frac{2}{3} \cdot \rho \cdot g\cdot h$ если не напутал. Без учёта атмосферы конечно. 0

@~~titan4ik~~ Заблокирован
	29.03.2017, 11:11	5
	Сообщение от IGPIGP если не напутал. Задача, как обычно, не вполне корректно сформулирована, но, возможно (???), интерпретирована вами правильно). Только в решении у вас формула для объёма НЕ усеченного конуса. Но идея-то конструктивная, поэтому остальное школьники могут сами дотумкать. Интересно для школьников обсудить вот это ещё - "Дан конус... Он плотно прилегает своим основанием ко дну сосуда.". Что это означает с точки зрения физики (в данном случае)? А если не прилегал бы, то что тогда изменилось бы в судьбе этого конуса и в величине действующей на него "силы давления воды на конус"? 1

IGPIGP Комп_Оратор) $Эксперт по математике/физике$ 8853 / 4594 / 620 Регистрация: 04.12.2011 Сообщений: 13,725 Записей в блоге: 16
	30.03.2017, 00:19	6
	Сообщение от titan4ik НЕ усеченного конуса не... усечённого. Он получен вычитанием объёма конуса с высотой H и конуса с высотой h... да. Ошибся. я чувствовал, что решая быстро могу напутать. Хотя и медленно тоже могу. Вечером постараюсь глянуть Добавлено через 4 минуты Что-то такое могло бы получиться. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot R^{2}\cdot \frac{3\cdot H^{2}\cdot h-3\cdot H\cdot h^{2}+h^{3}}{H^{2}}$ по крайней мере при h=H уже получается целый конус. Теперь вычесть из цилиндра остаётся. Добавлено через 8 часов 28 минут Что-то такое: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{liquid }=\frac{\pi \cdot R^{2}}{3}\cdot \frac{3\cdot H\cdot h^{2}-h^{3}}{H^{2}}$ и давление: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{liquid }=\frac{\rho \cdot g}{3}\cdot \frac{3\cdot H\cdot h^{2}-h^{3}}{H^{2}}$ 0

Опции темы