У какого шарика средняя скорость движения меньше начальной

@motoroker45 · Регистрация: 15.10.2021

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Два шарика катятся по гладкой поверхности. На пути первого - впадина, а на пути второго выпуклость. Начальные скорости шариков одинаковы и совпадают с конечной скоростью. Пройденный шариками путь одинаков. У какого шарика средняя скорость движения меньше начальной? Какой шарик раньше достигнет положения Б?

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от motoroker45

стью. Пройденный шариками путь одинаков. У какого шарика средняя скорость движения меньше начальной? Какой шарик р

С решением пожалуйста.

@ant-ares · 19.10.2021, 18:29

средняя скорость это отношение изменения радиус вектора к изменению времени; если учесть одинаковую геометрию впадины и выпуклости, то пройденный путь будет одинаков; на участке гладкой поверхности средняя скорость будет равна начальной (отсутствуют внешние силы, движение равномерное), а вот в области впадины и выпуклости движение будет по криволинейной траектории, а значит равнопеременное (ускоренное/замедленное); рассмотрим оба случая; в случае впадины шарик будет ускоряться к нижней точке и замедляться к верхней и средняя скорость будет выше начальной; в случае выпуклости шарик будет замедляться к вершине и ускоряться к подножию и средняя скорость будет ниже начальной; отсюда вывод: общая средняя скорость шарика на поверхности с выпуклостью будет меньше, чем шарика на поверхности с впадиной, значит второй шарик в точку Б придет раньше

Добавлено через 3 минуты
вобщем то это работа силы тяжести, во впадине она будет ускорять, а на горке замедлять

@САлександр · 20.10.2021, 13:57

Забавная задачка, для случая зеркальных бугорок – яма и считать ничего не нужно, все очевидно. Но вот в общем случае несколько сложнее.
Примем следующее: тело движется слева, скорость V₀, примем y-координату плоскости за 0, совместим начало бугорка с началом ямы, x - координата "начал" примем за 0, обозначим W наибольшую из координат по x (ямы или бугорка), профиль бугорка описывается зависимостью y₁(x), ямы - y₂(x), y₁(x) ≥ 0, y₂(x) ≤0. Причем максимальная величина y₁(x) = M < V²/(2g) (т.к. при равенстве тело останавливается).
Из закона сохранения энергии (индексы пока не пишем)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{m}{2}({(\frac{dx}{dt})}^{2}+{(\frac{dy}{dt})}^{2})+mgy = \frac{m{{V}_{0}}^{2}}{2}$ ,
подставляя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$ ,
получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({\frac{dx}{dt}})^{2}(1 + ({\frac{dy}{dx}})^{2}) = {{V}_{0}}^{2} - 2gy$
Интегрируем, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T= \int_{0}^{W}\frac{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}{\sqrt{{{V}_{0}}^{2}-2gy}}dx$
Представим подынтегральное выражение в виде f(x)g(x), где f(x)= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{1}{sqrt{{{V}_{0}}^{2}-2gy}}$ . Далее начинаем писать индексы. 1/V < f₁(x) ≤ М. По теореме о среднем, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{T}_{1}={\mu }_{1}\int_{0}^{W}\sqrt{1+(\frac{{dy}_{1}}{dx})^2}$
, где 1/V < µ₁ ≤ М, а интеграл дает длину пройденного телом пути в случае бугорка.
Аналогично
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{T}_{2}={\mu }_{2}\int_{0}^{W}\sqrt{1+(\frac{{dy}_{2}}{dx})^2}$ 0< µ₂ < 1/V, а интеграл - длина пройденного телом пути в случае ямы. По условию пути равны а так как µ₁ > µ_2, то T₁ > T₂

@motoroker45 · 20.10.2021, 14:56 **[ТС]**

Может быть, это все-таки работа силы трения?

@motoroker45 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.10.2021 Сообщений: 25
		1
	У какого шарика средняя скорость движения меньше начальной 15.10.2021, 19:35. Показов 1001. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Два шарика катятся по гладкой поверхности. На пути первого - впадина, а на пути второго выпуклость. Начальные скорости шариков одинаковы и совпадают с конечной скоростью. Пройденный шариками путь одинаков. У какого шарика средняя скорость движения меньше начальной? Какой шарик раньше достигнет положения Б? Добавлено через 1 минуту Сообщение от motoroker45 стью. Пройденный шариками путь одинаков. У какого шарика средняя скорость движения меньше начальной? Какой шарик р С решением пожалуйста. 0

@ant-ares 18 / 9 / 4 Регистрация: 22.04.2016 Сообщений: 296
	19.10.2021, 18:29	2
	средняя скорость это отношение изменения радиус вектора к изменению времени; если учесть одинаковую геометрию впадины и выпуклости, то пройденный путь будет одинаков; на участке гладкой поверхности средняя скорость будет равна начальной (отсутствуют внешние силы, движение равномерное), а вот в области впадины и выпуклости движение будет по криволинейной траектории, а значит равнопеременное (ускоренное/замедленное); рассмотрим оба случая; в случае впадины шарик будет ускоряться к нижней точке и замедляться к верхней и средняя скорость будет выше начальной; в случае выпуклости шарик будет замедляться к вершине и ускоряться к подножию и средняя скорость будет ниже начальной; отсюда вывод: общая средняя скорость шарика на поверхности с выпуклостью будет меньше, чем шарика на поверхности с впадиной, значит второй шарик в точку Б придет раньше Добавлено через 3 минуты вобщем то это работа силы тяжести, во впадине она будет ускорять, а на горке замедлять 1

@САлександр 482 / 270 / 57 Регистрация: 08.10.2015 Сообщений: 1,158
	20.10.2021, 13:57	3
	Забавная задачка, для случая зеркальных бугорок – яма и считать ничего не нужно, все очевидно. Но вот в общем случае несколько сложнее. Примем следующее: тело движется слева, скорость V₀, примем y-координату плоскости за 0, совместим начало бугорка с началом ямы, x - координата "начал" примем за 0, обозначим W наибольшую из координат по x (ямы или бугорка), профиль бугорка описывается зависимостью y₁(x), ямы - y₂(x), y₁(x) ≥ 0, y₂(x) ≤0. Причем максимальная величина y₁(x) = M < V²/(2g) (т.к. при равенстве тело останавливается). Из закона сохранения энергии (индексы пока не пишем) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{m}{2}({(\frac{dx}{dt})}^{2}+{(\frac{dy}{dt})}^{2})+mgy = \frac{m{{V}_{0}}^{2}}{2}$ , подставляя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$ , получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({\frac{dx}{dt}})^{2}(1 + ({\frac{dy}{dx}})^{2}) = {{V}_{0}}^{2} - 2gy$ Интегрируем, получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T= \int_{0}^{W}\frac{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}{\sqrt{{{V}_{0}}^{2}-2gy}}dx$ Представим подынтегральное выражение в виде f(x)g(x), где f(x)= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{1}{sqrt{{{V}_{0}}^{2}-2gy}}$ . Далее начинаем писать индексы. 1/V < f₁(x) ≤ М. По теореме о среднем, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{T}_{1}={\mu }_{1}\int_{0}^{W}\sqrt{1+(\frac{{dy}_{1}}{dx})^2}$ , где 1/V < µ₁ ≤ М, а интеграл дает длину пройденного телом пути в случае бугорка. Аналогично $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{T}_{2}={\mu }_{2}\int_{0}^{W}\sqrt{1+(\frac{{dy}_{2}}{dx})^2}$ 0< µ₂ < 1/V, а интеграл - длина пройденного телом пути в случае ямы. По условию пути равны а так как µ₁ > µ_2, то T₁ > T₂ 1

@motoroker45 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.10.2021 Сообщений: 25
	20.10.2021, 14:56 [ТС]	4
	Может быть, это все-таки работа силы трения? 0