@gammaray

Здравствуйте!
Представим себе следующее: есть твердое тело прямоугольный формы (например, тетрадь). Берем ее двумя пальцами за край. Если давить сильно, то тетрадь не будет менять своего положения. С уменьшением силы давления тетрадь начнет вращаться вокруг точки схвата до тех пор пока ее центр масс не попадет на линию действия вектора силы тяжести, проведенную через точку схвата. Связано это будет с тем (как я понимаю), что момент, создаваемой трением верчения, будет меньше момента, создаваемого силой тяжести. Если же резко уменьшить давление в статическом положении, то тетрадь начнет вращаться и падать вниз. Причем общее движение тетради можно будет разложить на составляющие линейного движения и вращения. В этом случае ИМХО не только момент трения верчения будет меньше момента силы тяжести, но и сила трения скольжения будет меньше силы тяжести, поэтому тетрадь начнет падать. С линейным движением тут вроде бы как все понятно, условие равновесия таково:
mg < Fтр.ск. = Ктр.ск.*N
А вот как описать формулами вращение? Как определить момент, создаваемой силой трения верчения? Все силы можно рассматривать относительно точки схвата.

|F1| = |F2| = |mg|
F1 = -F2 (как векторы)
Тогда mg и F2 (как векторы) будет давать пару сил с моментом Mo = F2*d = mg*d (как векторы)
Fтр + F1 = R (как векторы) - главный вектор (сумма сил)
Так вот если R направлено вниз, то тетрадь падает - тут все понятно.
Но как посчитать момент силы трения верчения в точке схвата O, чтобы сравнить его с Mo и понять, будет ли вращение или нет?

0

IGPIGP

gammaray, для того, чтобы оценить момент силы трения от захвата пальцами, нельзя считать зону приложения силы захвата точкой. Нарисуйте отпечаток наименьшего из пальцев (ужос!) и представьте, что сила нормального давления распределена по его поверхности. Момент силы трения будет создаваться как сумма моментов сил давления. Сложность в том, что эти моменты это моменты реакции на нескомпенсированный момент от момента силы тяжести и моментов таких же сил, действующих на другие элементы площади. Если непонятно, - представьте себе круглый палец (опять ужос)) и круг, - поверхность на которую он давит. Тогда разделив его на концентрические круги, потребуется определить каков вклад в реакцию на внешний момент от различных колец. Чтобы этого не делать, можно упрощённо считать, что есть некоторый суммарный момент трения Mтр и его величина пропорциональна нормальному давлению и коэффициенту трения, то есть силе трения, в конечном счёте. Тогда коэффициент пропорциональности придётся выяснять эмпирически.
Можно предположить что он, в свою очередь пропорционален максимальному размеру области давления (отпечатка), а точнее интегралу произведения элементарной дуги ограничивающей линии на радиус описанный из внутренней точки, по замкнутому контуру этой дуги (наружному периметру). Впрочем последнее утверждение, мало поможет. Экспериментально такая задача решаема. Для понимания вопроса о том, как такой момент возникает этого (эксперимента)) делать не нужно.

3

@gammaray

Ок, представим, что пятно контакта представляет из себя окружность. Тогда чему будет равен суммарный момент трения? И еще такой вопрос. С окружностью понятно, что вращение тела тогда если и будет, то относительно центра окружности. А если взять произвольное пятно контакта, то вращение будет относительно центра масс этого пятна? И что если, с разных сторон захвата будут разные пятна контакта? Заранее спасибо!

0

IGPIGP

Давайте начнем с последнего вопроса. Пятна с разных сторон должны перекрываться иначе не будет захвата. Область перекрытия и есть интересующая нас поверхность. То есть для большого и указательного пальцев, это отпечаток указательного (наименьшего) при условии что он давит примерно в середину отпечатка от большого.)
Вообще объяснение на пальцах таких вещей не очень плодотворно.)
Для выяснения вопроса о главном моменте инерции и кинематике вращательного движения требуется серьёзная математика. В статике задача выглядит проще, - сумма моментов относительно любой оси равна нулю.
Что касается первого вопроса, то для пальцев важно, что это упруго деформируемые тела. В данной задаче этим пренебречь нельзя, думаю. Для удержания листика, наверное можно. В этом случае вся внутренняя область пятна должна быть разгружена от вращающего усилия, то есть реакция на внешний момент должна возникать по периметру пятна. Для удержания общей тетради такая модель видимо не подойдет и тут картина будет значительно сложнее.

0

@gammaray

Представим, что область перекрытия представляет из себя плоский многоугольник. Пусть тела абсолютно неупругие, тогда сила трения будет действовать в каждой точке этого многоугольника. Вращение в этом случае ИМХО будет происходить относительно центроида C этого многоугольника. Тогда сила тяжести будет создавать момент Mт=[d,mg], где d то же плечо, что и на рисунке в первом посте, только теперь под точкой O подразумевается центроид C. Тогда вроде бы каждая точка mi этого многоугольника будет создавать момент трения Mi = [ri, Fтр.верч.], где ri - вектор соединяющий точку mi и центроид C, поскольку сила трения будет действовать по касательной к окружности с радиусом ri, по которой будет двигаться точка mi. Суммарный момент трения M будет равен сумме по i=1..n всех Mi. Правильно? Но поскольку [ri, Fтр.верч.] = |ri|*|Fтр.верч.|, то суммарный момент M равен |Fтр.верч.| умножить на сумму i=1..n |ri|. Но такой ряд будет расходящимся( И как в этом случае от интегральной суммы перейти к интегралу? Или я где-то не прав?

0

@gammaray

Ответ частично найден! Точнее найден для пятна контакта в форме окружности. См. Фихтенгольц. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. Раздел 355. Работа сила трения в плоской пяте.

0