Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Численные методы
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.75/4: Рейтинг темы: голосов - 4, средняя оценка - 4.75
6 / 6 / 0
Регистрация: 11.07.2011
Сообщений: 122
1

Разные решения численных интегралов

25.06.2014, 12:17. Просмотров 647. Ответов 2
Метки нет (Все метки)

Здравствуйте, столкнулся со следующей проблемой. При решении системы нелинейных уравнений для проверки своих алгоритмов численного интегрирования (которые используются при решении моей системы) я взял уже решенную систему (аналогичную моей системе).
Эту систему я набрал в Маткаде ,и там все подтвердилось. Точность решения https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10^{-9}.

Теперь мне нужно было подтвердить работоспособность моей программы в SciLab (аналог матлаба). Для численного интегрирования я пользовался алгоритмом Симпсона с шагом https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10^{-3} (10000 интервалоа) . Вот тут у меня возникла проблема. Уравнения такого вида
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?  \int_{a_1}^{x_1}|\lambda (t)|dt=h1 (1)


где https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \lambda (t)=-\frac{\delta }{\pi}\frac{1}{(t-x_7)}\sqrt{\frac{(t-a_1)(t-x_1)(t-x5)(t-x6)}{(t-x_2)(t-x3)t(t-x_4)}}

в этом уравнении интеграл нормальный без разрывов и он хорошо решается с точность https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10^{-9} с ним проблем нет.
Но если этот же алгоритм применить к уравнению
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{x_1}^{x_2}\Lambda_1 (t) dt + 2D_1\sqrt{|x_2-x_1|}=b_1 (2)


где https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \Lambda_1(t) = |\lambda (t)| - \frac{D_1}{\sqrt{|t-x_2|}}
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D_1 = \frac{\delta }{\pi} \frac{1}{(|x_2-x_7|)} \sqrt{|\frac {(x_2-a_1)(x_2-x_1)(x_2-x_5)(x_2-x_6)}{(x_2-x_3)x_2(x_2-x_4)}|}

Видно что интеграл в уравнении (2) является несобственным первого рода с разрывом в верхнем пределе https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2. В алгоритме при попадании на эту точку производится программное присваивание и https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Lambda_1 (t) = 0.
При численном интегрировании уравнения (2) алгоритм Симпсона при подстановке уже полученных корней дает решение всего лишь https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10^{-3}, хотя должен https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10^{-9}, при этом в Маткаде этот интеграл решается нормально с точность https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10^{-9}.
В Маткаде используется адаптивный алгоритм.
Помимо алгоритма Симпсона пробовал использовать алгоритм Чебышева (с 7 точками), трапеций, прямоугольников, везде решение получается одинаковым с точность до https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10^{-3}.

Подскажите пожалуйста, где можно узнать какой алгоритм используется в Маткаде под словом адаптивный? Какие можно использовать алгоритмы способные численно решить несобственные интегралы первого рода ?
0
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
25.06.2014, 12:17
Ответы с готовыми решениями:

Сравнить эффективность численных методов решения нелинейных уравнений по трём критериям
Помогите пожалуйста сравнить эффективность численных методов решения нелинейных уравнений по трём...

Построить на экране график функции, и графически найти все возможные решения, не применяя численных методов
Помогите пожалуйста Задав конкретную функцию F(x), построить на символьном экране дисплея ее...

Шаблон решения интегралов
надо шаблон для решения интегралов, чтоб можно было вводить переменные и он считал ответ....

Решения криволинейных интегралов
1)∫xdx +ydy+(x-y-1)dz где LAB- отрезок прямой AB А(1, 1, 1) В(2, 3, 4) 2) ∫(x+2y)dx +(x-y)dy где...

2
Модератор
Эксперт по математике/физике
4079 / 2739 / 365
Регистрация: 15.06.2009
Сообщений: 5,144
25.06.2014, 15:29 2
Если подынтегральное выражение сингулярно в конечной точке, то методы (Симпсона и аналогичные), использующие значения функции в конечных точках, просто неприменимы. В таких случаях используют методы Гаусса (Гаусса-Кронрода). Но в данном случае - корневая интегрируемая особенность - можно интегрированием по частям сделать подынтегральное выражение регулярным на всём отрезке, после чего использовать любой метод, Симпсона тоже.

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{a}^{}\frac{f(x)}{\sqrt{x-a}}dx=2\sqrt{x-a}f(x)-\int_{a}^{}2\sqrt{x-a}f'(x)dx
2
6 / 6 / 0
Регистрация: 11.07.2011
Сообщений: 122
25.06.2014, 15:46  [ТС] 3
Спасибо большое, Том Ардер , посмотрю, почитаю.
0
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
25.06.2014, 15:46

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные и любые другие студенческие работы здесь.

Решения определенных интегралов методом трапеций
Здравствуйте, мне необходимо разработать Приложение для численного решения определенных интегралов...

прога для решения определенных интегралов
Всем привет задали домашку написать прогу для подсчета определенного интеграла, и на до считать по...

Метод прямоугольников для решения определенных интегралов
Есть рабочий код метода трапеции для решения определенных интегралов. Формулу нужно заменить для...

Подскажите унифицированные алгоритмы для решения логарифмов и интегралов
Господа, подскажите пару алгоритмов для решения натуральных логарифмов. И пару алгоритмов для...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
3
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2020, vBulletin Solutions, Inc.