@den1831

Здравствуйте!

Изначально создал похожу тему на ветке Маткада, но пока результатов нет. Хотелось бы больше разобраться в теории, как подходить, каким методом к решению данной системы тригонометрических уравнений.
1) При использовании функции Find невязка 0.0188. Я так понимаю, это достаточно большая величина.
2) Как корректно подбирать НУ? Даже при редактировании тысячных идет сильный разброс результатов.
3) Можно ли вообще данную задачу решить корректно численно? Или пробовать другие методы (например, аппроксимация)?
4) Пробовал решать данную систему аналитически, т.е. в первом выражении выразить Im, во втором ima, в третьем tk (маткад завис, пробовал символьные вычисления - выразить переменную). Каким методом нужно решать? Матричные применить не могу, т.к. не могу отделить Im, tk и phi/
5) Может избавиться от синусов, разложив их в ряд Тэйлора?
6) Как можно "вытащить" tk и phi из аргумента синуса?

Миниатюры

 

0

echs

den1831
я что-то не понял.
А где сама система уравнений?
Напишите ее не в системе маткад, а на русском языке.

0

@SSC

Вы имеете функцию:
синусоида плюс экспонента.
Эта функция зависит от 6 параметров, один из которых время.
Один из параметров (омега Вы фиксируете).
Для данной функции Вы берете 4 точки по времени и определяете 4 значения функции в этих точках.
Далее пытаетесь найти точные значения параметров, чтобы функция точно проходила через определенные точки.
Но в большинстве наборов значений вообще не будет точного решения.
Представте упрощенную задачу:
Функция y=A*e^(-t/b)
задаем две точки
y(t1)=y1 и y(t2)=y2
t1<t2
при y1>y2>0 Вы найдете решения, при y2>y1>0 решений нет.
У Вас еше более сложная ситуация.
Пытайтесь по возможности увеличить число определенных точек и ищите параметры методом минимизации квадратичных отклонений
PS прошу прощения у настоящих математиков за несколько фривольную терминологию

0

@den1831

Сама система уравнений:




Неизвестными являются

Все верно.

В том-то и дело. Я не уверен, что даже аналитически решая это уравнение мы всегда будем получать правильное решение.
Если пробовать так: первое уравнение поделить на второе, разложив при этом sin (\omega \ast (tk+t12)-\varphi ) по формуле суммы аргументов, то получаются котангенсы.

Картинка процесса. Значения Ib фиксируем при "спадании" синусоиды.

Миниатюры

 

0

@Том Ардер

Чтобы лучше прояснить структуру системы, удобно ввести новые обозначения:
переменные

параметры


Тогда система принимает вид:


Аналитического решения нет.
Реальных переменных оказывается 3 - , а уравнений - 4. Система переопределена, поэтому точное решение (численное) возможно лишь при некоторых сотношениях между параметрами.
Можно пытаться минимизировать невязку.

2

@den1831

Добавлено через 7 минут
Действительно, так гораздо понятней.
Очень важный момент. Получается, что систему можно решать только численно. Скажите, а из чего это следует?
Мне предлагают попробовать так:
1) из системы уравнений второе разделить на первое.
2) упростить, разложив синус по формуле суммы аргументов
3) для уравнений 3 и 4 повторить п.1 и 2
4) поделить результат п.3 на п.2 и найти
5) Далее определить Im и т.д.
Но что это за метод решения? Искал в литературе и на нашел описания такого метода. Да, можно складывать два уравнения, но чтобы исключить одну из переменных. "Школьный метод".
Далее смущает, что в решении появляются и .
Переменных 4, т.к. надо еще определять переменную , с которой и начинаются дальнейшие отсчеты по времени.

0

@Том Ардер

Переменная , точнее, способ её вхождения в систему, делает уравнения трансцендентными. Решение возможно только численно. Это как? Сумму делить на сумму почленно?
Это заблуждение. Независимых переменных только 3. Исходные "независимые" переменные входят в систему в комбинациях, которые проявляются при переходе к новым обозначениям.

0

@den1831

Уважаемый Том Ардер, поясните, пожалуйста, что значит способ вхождения в систему? Под видом аргумента? Именно. Но в лит-ре я не нашел такого способа решения. Разве он "законен"?
Вот этот момент также не могу для себя ясно прояснить. Разве переменная не является независимой?
И еще момент. Решая систему численно, мы очень зависим от первого приближения. В Маткаде мне все же удалось решить с приемлемой точностью, но при этом я смотрю на функцию и сам корректирую первое приближение. Можно ли это автоматизировать? Или это зависит от метода решения.
А может использовать аппроксимацию? У нас же есть 4 точки, по времени можно ограничиться периодом. И численно подбирать коэффициенты полинома. Или это не тот путь?

Добавлено через 5 минут
Т.е. сначала, глядя на систему, мы должны доказать, что это система трансцендентных уравнений. Следовательно, к ним применимы только итерационные методы с заданной степенью точности. Но в лит-ре я пока не нашел, как это строго доказать. Или это доказывается тем, что мы показываем, что нельзя систему решить алгебраически?

0

@Том Ардер

Переменная входит как аргумент с разными фазами, это и делает уравнения трансцендентными. Тех "знатоков" за такие советы гнать вонючими тряпками и лишать дипломов навечно. Чтобы и не смели приближаться к математике.
"Вычисления" типа ещё и не того заслуживают. Является, список переменных я указал в своём посте #5.

0

@den1831

Но даже если поделить правильно... Есть метод почленного сложения, есть метод подстановки. А вот деления я не встречал.
Получается, что решать эту систему методом Крамера, обратной матрицы и методом Гаусса нельзя, т.к. нельзя отделить переменные и ?

Добавлено через 40 минут
Да, получилось три переменных, т.к. объединены и . Интересно, что если этого не делать, то система не будет переопределена?
Смотрите, вы определили , хотя умножается только на , на умножения нет.

Добавлено через 6 минут
Вот и получилось 3 уравнения вместо 4х.

Добавлено через 18 минут
Далее. Если все же попробовать выразить в уравнении через арксинус, то получим два решения



И какое тогда подставлять во второе уравнение, чтобы выразить, к примеру ? Но этот факт нам не говорит о трансцендентности? Трансцендентность у нас появляется, когда есть синусы с разными фазами (сейчас смотрю литературу; честно говоря, пока не нахожу, где бы об этом указывалось. Трансцендентность - это невозможность решить алгебраическим методом...)

0

@Том Ардер

Да, мой недосмотр, лишние скобки. Правильно так:



Вид системы и все выводы - без изменений.

0

@den1831

Невязку в маткаде я минимизировал, но для этого пришлось глядеть на график и подбирать первое приближение правильно. Но я-то делаю вручную, а нужно, чтобы это решал контроллер. Подскажите, какой метод корректно применить? Что можно почитать по данному вопросу?
Получается, что надо избавляться от переопределенности, убрав одно из уравнений?

0

@Том Ардер

Нужно выбрать (определить) функцию невязки и минимизировать её. Напр. можно суммировать разности левых и правых частей уравнений, взятые по модулю или в квадрате (второе - наиболее распространённый выбор). Что-то конкретнее сказать нельзя, не зная исходной задачи и происхождения уравнений. Заголовок в файле Mathcad "Реальный сигнал, к которому ищется решение" ничего не проясняет.

0

@den1831

Задачей является нахождение параметров синусоиды, которая состоит из периодической и апериодической составляющей. И уравнения отсюда же. Т.е. полный ток (сумма двух составляющих) приравнивается к параметру срабатывания и фиксируется время.
Т.е. засекаются промежутки между срабатываниями (на самом деле используется возврат датчиков, но это не суть) датчиков (с разными уровнями).
Ib - это и есть фиксированный параметр.

Добавлено через 2 минуты
Получается имеем 4 датчика с разными порогами срабатывания. Если они все сработали, фиксируем времена и решаем систему уравнений. В теории, должны получить искомые параметры синусоиды.

0