Определить абсолютную и относительные погрешности

@BillyGreen · Регистрация: 19.03.2016

Добрый день. Помогите пожалуйста с решением, не могу сообразить:
Нужно вычислить результат и определить абсолютную и относительные ошибки суммы этих приближенных чисел:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(3,05 \pm 0,02)+(4,41 \pm 0,04)$ .
Так же для этого выражения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l=2 \pi r$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r = 10.8 \pm 0.1$ мм.
Очень надеюсь на вашу помощь. Спасибо.

@йот · 16.09.2017, 19:38

1. Сначала надо вычислить абсолютные погрешности слагаемых
для вашего случая:
первое слагаемое 3,05 ; абсолютная погрешность 0,02
второе слагаемое 4,41 ; абсолютная погрешность 0,04
2. при сложении/вычитании абсолютные погрешности складываются
3. для вычисления относительной погрешности, надо абсолютную
погрешность поделить на результат
Ответ
сумма 7,46 ; абсолютная погрешность 0,06
относительная погрешность 0,06/7,46 = 1/124 = (0,8% можно в процентах)
...
пример 2
при умножении абсолютная погрешность умножается... в вашем случае
это будет 2*3,14*0,1=0,628 = 0,63 (округляют в большую сторону)
Итак
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l=2\pi r= 2*3,14*10,8=67,824$
Ответ
l = 67,8
абсолютная погрешность 0,63
относительная погрешность 0,63/67,8 = 0,9%

@Mysterious Light · 16.09.2017, 19:58

йот, я вот не понял, как Вы к такому пришли. Поделитесь литературой и объясните Ваши выводы.

Сообщение от йот

при сложении/вычитании абсолютные погрешности складываются

Меня учили, что при сложении/вычитании относительная погрешность равна квадратному корню суммы квадратов относительных погрешностей слагаемых.
То есть 0.0065 и 0.0091 — относительные погрешности слагаемых, 0.0112 — относительная погрешность суммы, 0.08 — абсолютная погрешность суммы.

Что-то попутал. Правильно так: при сложении/вычитании абсолютная погрешность равна квадратному корню суммы квадратов абсолютная погрешностей слагаемых.

Сообщение от йот

это будет 2*3,14*0,1=0,628 = 0,63 (округляют в большую сторону)

Почему не 0.7, если округляем в большую сторону?

Кроме этого, стоит ли погрешность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ учесть или считать с большей точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l = 67.8584$ , если абсолютную погрешность записываем аж до двух значимых знаков?

@йот · 16.09.2017, 20:09

Уважаемый Mysterious Light,
я записал правильно... Ведь речь идет об АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ,
а вы говорите об ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ...
...
2. Вы правы в том, что число 0,628 можно округлить до 0,7
(я просто пожадничал и округлил до 0,63... но ошибки нет)

@BillyGreen · 16.09.2017, 20:17 **[ТС]**

Mysterious Light, т.е. получается, что общая абсолютная погрешность (для суммы) будет равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{{0,02}^{2}+{0,04}^{2}}=0,0447$ , я правильно понял? Или всё же правильнее, как посчитал йот?

@Mysterious Light · 16.09.2017, 22:13

Сообщение от йот

Ведь речь идет об АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ,
а вы говорите об ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ...

При известном значении величины абсолютная и относительная погрешности взаимооднозначно связаны.
BillyGreen, да, так меня учили. Но мои знания не авторитетны в этом вопросе.

P.S. беглый поиск в Интернете выдал http://bifizika.ucoz.ru/Litera... NOSTEY.pdf
Бурмистров В.В. Краткая теория погрешностей . / – Коломна, «Риза», 2008. – 52с.: ил.
Там абсолютная погрешность сумма независимых величин также определяется суммой квадратов.

@jogano · 16.09.2017, 22:29

Сообщение от Mysterious Light

Правильно так: при сложении/вычитании абсолютная погрешность равна квадратному корню суммы квадратов абсолютная погрешностей слагаемых.

Интересно, из каких соображений это получено? Если в двух слагаемых ошибиться в бОльшую сторону на 0,1, то в сумме ошибёмся на 0,2, а не на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,1 \sqrt{2}=0,14$ . Другими словами, мы не можем разве ошибиться больше чем на 0,14, если ошибаемся в каждом слагаемом не более чем на 0,1?
Может, когда вас учили, речь шла о среднеквадратическом отклонении суммы двух нормальных независимых случайных величин $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_1\sim \mathcal{N}\left( m_1;\sigma^2 _1\right), \: X_2\sim \mathcal{N}\left( m_2;\sigma^2 _2\right)$ ? Тогда ДА, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_1+X_2\sim \mathcal{N}\left( m_1+m_2;\sigma^2 _1+\sigma ^2_2\right)$ , т.е. СКО суммы равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma =\sqrt{\sigma^2 _1+\sigma ^2_2}$

@Mysterious Light · 16.09.2017, 23:35

Сообщение от jogano

Может, когда вас учили, речь шла о среднеквадратическом отклонении суммы двух нормальных независимых случайных величин

По-моему, эти принципы действительно уходят корнями в теорвер. По крайней мере, это объяснило бы многое.

Если подумать, частоиспользуемый на практике метод наименших квадратов тоже предполагает нормальное распределение значений точек, если его рассматривать как метод наибольшего правдоподобия.

@йот · 17.09.2017, 08:26

Уважаемый Mysterious Light,
вероятно вы правы... НО на практике часто бывает проще и
скорее суммировать погрешности, чем суммировать их
квадраты и потом извлекать корень...
...
часто ли нужно знать "точную" погрешность?

@BillyGreen 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.03.2016 Сообщений: 36
		1
	Определить абсолютную и относительные погрешности 16.09.2017, 17:54. Показов 2749. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Добрый день. Помогите пожалуйста с решением, не могу сообразить: Нужно вычислить результат и определить абсолютную и относительные ошибки суммы этих приближенных чисел: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(3,05 \pm 0,02)+(4,41 \pm 0,04)$ . Так же для этого выражения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l=2 \pi r$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r = 10.8 \pm 0.1$ мм. Очень надеюсь на вашу помощь. Спасибо. __________________ Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ, диссертаций здесь 0

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	16.09.2017, 19:38	2
	1. Сначала надо вычислить абсолютные погрешности слагаемых для вашего случая: первое слагаемое 3,05 ; абсолютная погрешность 0,02 второе слагаемое 4,41 ; абсолютная погрешность 0,04 2. при сложении/вычитании абсолютные погрешности складываются 3. для вычисления относительной погрешности, надо абсолютную погрешность поделить на результат Ответ сумма 7,46 ; абсолютная погрешность 0,06 относительная погрешность 0,06/7,46 = 1/124 = (0,8% можно в процентах) ... пример 2 при умножении абсолютная погрешность умножается... в вашем случае это будет 23,140,1=0,628 = 0,63 (округляют в большую сторону) Итак $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l=2\pi r= 23,1410,8=67,824$ Ответ l = 67,8 абсолютная погрешность 0,63 относительная погрешность 0,63/67,8 = 0,9% 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4156 / 2059 / 424 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,117 Записей в блоге: 24
	16.09.2017, 19:58	3
	йот, я вот не понял, как Вы к такому пришли. Поделитесь литературой и объясните Ваши выводы. Сообщение от йот при сложении/вычитании абсолютные погрешности складываются Меня учили, что при сложении/вычитании относительная погрешность равна квадратному корню суммы квадратов относительных погрешностей слагаемых. То есть 0.0065 и 0.0091 — относительные погрешности слагаемых, 0.0112 — относительная погрешность суммы, 0.08 — абсолютная погрешность суммы. Что-то попутал. Правильно так: при сложении/вычитании абсолютная погрешность равна квадратному корню суммы квадратов абсолютная погрешностей слагаемых. Сообщение от йот это будет 23,140,1=0,628 = 0,63 (округляют в большую сторону) Почему не 0.7, если округляем в большую сторону? Кроме этого, стоит ли погрешность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ учесть или считать с большей точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l = 67.8584$ , если абсолютную погрешность записываем аж до двух значимых знаков? 0

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	16.09.2017, 20:09	4
	Уважаемый Mysterious Light, я записал правильно... Ведь речь идет об АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ, а вы говорите об ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ... ... 2. Вы правы в том, что число 0,628 можно округлить до 0,7 (я просто пожадничал и округлил до 0,63... но ошибки нет) 0

@BillyGreen 0 / 0 / 0 Регистрация: 19.03.2016 Сообщений: 36
	16.09.2017, 20:17 [ТС]	5
	Mysterious Light, т.е. получается, что общая абсолютная погрешность (для суммы) будет равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{{0,02}^{2}+{0,04}^{2}}=0,0447$ , я правильно понял? Или всё же правильнее, как посчитал йот? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4156 / 2059 / 424 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,117 Записей в блоге: 24
	16.09.2017, 22:13	6
	Сообщение от йот Ведь речь идет об АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ, а вы говорите об ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ... При известном значении величины абсолютная и относительная погрешности взаимооднозначно связаны. BillyGreen, да, так меня учили. Но мои знания не авторитетны в этом вопросе. P.S. беглый поиск в Интернете выдал http://bifizika.ucoz.ru/Litera... NOSTEY.pdf Бурмистров В.В. Краткая теория погрешностей . / – Коломна, «Риза», 2008. – 52с.: ил. Там абсолютная погрешность сумма независимых величин также определяется суммой квадратов. 0

@jogano Модератор $Эксперт по математике/физике$ 6347 / 4055 / 1509 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	16.09.2017, 22:29	7
	Сообщение от Mysterious Light Правильно так: при сложении/вычитании абсолютная погрешность равна квадратному корню суммы квадратов абсолютная погрешностей слагаемых. Интересно, из каких соображений это получено? Если в двух слагаемых ошибиться в бОльшую сторону на 0,1, то в сумме ошибёмся на 0,2, а не на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,1 \sqrt{2}=0,14$ . Другими словами, мы не можем разве ошибиться больше чем на 0,14, если ошибаемся в каждом слагаемом не более чем на 0,1? Может, когда вас учили, речь шла о среднеквадратическом отклонении суммы двух нормальных независимых случайных величин $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_1\sim \mathcal{N}\left( m_1;\sigma^2 _1\right), \: X_2\sim \mathcal{N}\left( m_2;\sigma^2 _2\right)$ ? Тогда ДА, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_1+X_2\sim \mathcal{N}\left( m_1+m_2;\sigma^2 _1+\sigma ^2_2\right)$ , т.е. СКО суммы равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma =\sqrt{\sigma^2 _1+\sigma ^2_2}$ 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4156 / 2059 / 424 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,117 Записей в блоге: 24
	16.09.2017, 23:35	8
	Сообщение от jogano Может, когда вас учили, речь шла о среднеквадратическом отклонении суммы двух нормальных независимых случайных величин По-моему, эти принципы действительно уходят корнями в теорвер. По крайней мере, это объяснило бы многое. Если подумать, частоиспользуемый на практике метод наименших квадратов тоже предполагает нормальное распределение значений точек, если его рассматривать как метод наибольшего правдоподобия. 0

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	17.09.2017, 08:26	9
	Уважаемый Mysterious Light, вероятно вы правы... НО на практике часто бывает проще и скорее суммировать погрешности, чем суммировать их квадраты и потом извлекать корень... ... часто ли нужно знать "точную" погрешность? 0

Опции темы