Выбор численного метода решения системы нелинейных уравнений для нахождения радиуса и координат центра окружности

@Alex_From_777 · Регистрация: 22.04.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток, уважаемые.
Сориентируйте в решении данного вопроса.
Имеется система нелинейный уравнений типа:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\\ {r}^{2}={({a}_{1}-h)}^{2}+{({b}_{1}-k)}^{2}\\ {r}^{2}={({a}_{2}-h)}^{2}+{({b}_{2}-k)}^{2}\\{r}^{2}={({a}_{3}-h)}^{2}+{({b}_{3}-k)}^{2}\end{matrix}\right.$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1}, {a}_{2}, {a}_{3}, {b}_{1}, {b}_{2}, {b}_{3}$ - некоторые известные константы

r, h, k - неизвестные.
Необходимо решить её численно, но вот какой метод для этого подойдет?
Приветствуются любые советы по теме. Заранее благодарю.

@mathmichel · 01.12.2017, 13:00

Это задача на определение центра и радиуса окружности, проходящей через три заданные точки. Таким образом, можно предложить следующий способ решения из аналитической геометрии. 1) Определяете середины отрезков, соединяющих заданные точки (первую и вторую, вторую и третью); 2) Проводите две перпендикулярные прямые через эти середины (составляете их уравнения); 3) Решаете систему (двух уравнений), которая дает координаты центра окружности; 3) Вычисляете радиус.

@Alex_From_777 · 01.12.2017, 13:11 **[ТС]**

А можно небольшое пояснение:

Сообщение от mathidiot

2) Проводите две перпендикулярные прямые через эти середины (составляете их уравнения)

Линии перпендикулярные чему? Отрезкам, через середины которых они проходят?
А далее для составления уравнения прямой мне необходимо две точки. Одна из них это середина отрезка, а что взять за вторую?

@mathmichel · 01.12.2017, 13:28

Для составления уравнения перпендикулярной прямой, проходящей через середину отрезка достаточно этой точки, так как угловой её коэффициент фактически известен из условия перпендикулярности этому отрезку

@Alex_From_777 · 01.12.2017, 13:42 **[ТС]**

Сообщение от mathidiot

Для составления уравнения перпендикулярной прямой, проходящей через середину отрезка достаточно этой точки, так как угловой её коэффициент фактически известен из условия перпендикулярности этому отрезку

Кроме уравнения вида y=kx+b, где k-тангенс угла между прямой и осью OX, мне иных через угловой коэффициент не известно. Можете более подробно рассказать, если не затруднит Вас, как в данном случае составить это уравнение.

@mathmichel · 01.12.2017, 14:06

Пусть нам известен угловой коэффициент отрезка k, тогда угловой коэффициент перпендикулярной ему прямой равен: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{-1}{k}$

@jogano · 01.12.2017, 14:37

Alex_From_777, вам нужно решить систему из двух уравнений серединных перпендикуляров (к отрезкам AB, AC в данной системе):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(B-A,X-\frac{A+B}{2} \right)=0\\ \left(C-A,X-\frac{A+C}{2} \right)=0\end{cases}$
Левые части - это скалярные произведения. Получается матричное уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}B-A\\ C-A\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix}h\\ k\end{matrix} \right)=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}B^2-A^2\\ C^2-A^2\end{matrix} \right)$
В ваших обозначениях это
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}a_2-a_1 & b_2-b_1\\ a_3-a_1 & b_3-b_1\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix}h\\ k\end{matrix} \right)=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}a_2^2+b_2^2-a_1^2-b_1^2\\ a_3^2+b_3^2-a_1^2-b_1^2\end{matrix} \right)$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Исключения в Java: советы, примеры кода и многое другое Javaican 18.05.2025 Исключения — это объекты, созданные когда программа сталкивается с непредвиденной ситуацией: файл не найден, сетевое соединение разорвано, деление на ноль. . . Список можно продолжать до бесконечности. . . .	Как сделать SSO (Single Sign-On) в C# приложении stackOverflow 18.05.2025 SSO — это механизм, позволяющий пользователю пройти аутентификацию один раз и получить доступ к нескольким приложениям без повторного ввода учетных данных. Вы наверняка сталкивались с ним, когда. . .	Kubernetes с Apache Flink для обработки данных в реальном времени Mr. Docker 17.05.2025 Kubernetes — это целая философия управления распределёнными приложениями. В отличие от "примитивных" решений вроде Docker Swarm, K8s (как его ласково называют в тусовке DevOps-инженеров) предлагает. . .	Использование декораторов в Python py-thonny 17.05.2025 Если вы когда-нибудь задумывались о том, как красиво расширить функциональность кода без лишней возни и дублирования, декораторы в Python — та самая волшебная палочка, которую вы искали. По сути, это. . .	Реализация многопоточных сетевых серверов на Python py-thonny 16.05.2025 Когда сталкиваешься с необходимостью писать высоконагруженные сетевые сервисы, выбор технологии имеет критическое значение. Python, со своей элегантностью и высоким уровнем абстракции, может. . .
C# и IoT: разработка Edge приложений с .NET и Azure IoT UnmanagedCoder 16.05.2025 Мир меняется прямо на наших глазах, и интернет вещей (IoT) — один из главных катализаторов этих перемен. Если всего десять лет назад концепция "умных" устройств вызывала скептические улыбки, то. . .	Гибридные квантово-классические вычисления: Примеры оптимизации EggHead 16.05.2025 Гибридные квантово-классические вычисления — это настоящий прорыв в подходах к решению сложнейших вычислительных задач. Представьте себе союз двух разных миров: классические компьютеры, с их. . .	Использование вебсокетов в приложениях Java с Netty Javaican 16.05.2025 HTTP, краеугольный камень интернета, изначально был спроектирован для передачи гипертекста с минимальной интерактивностью. Его главный недостаток в контексте современных приложений — это. . .	Реализация операторов Kubernetes Mr. Docker 16.05.2025 Концепция операторов Kubernetes зародилась в недрах компании CoreOS (позже купленной Red Hat), когда команда инженеров искала способ автоматизировать управление распределёнными базами данных в. . .	Отражение в C# и динамическое управление типами stackOverflow 16.05.2025 Reflection API в . NET — это набор классов и интерфейсов в пространстве имён System. Reflection, который позволяет исследовать и манипулировать типами, методами, свойствами и другими элементами. . .

@Alex_From_777 Программист по неволе 24 / 24 / 8 Регистрация: 22.04.2015 Сообщений: 476 Записей в блоге: 1

	Выбор численного метода решения системы нелинейных уравнений для нахождения радиуса и координат центра окружности 01.12.2017, 10:55. Показов 943. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток, уважаемые. Сориентируйте в решении данного вопроса. Имеется система нелинейный уравнений типа: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\\ {r}^{2}={({a}_{1}-h)}^{2}+{({b}_{1}-k)}^{2}\\ {r}^{2}={({a}_{2}-h)}^{2}+{({b}_{2}-k)}^{2}\\{r}^{2}={({a}_{3}-h)}^{2}+{({b}_{3}-k)}^{2}\end{matrix}\right.$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1}, {a}_{2}, {a}_{3}, {b}_{1}, {b}_{2}, {b}_{3}$ - некоторые известные константы r, h, k - неизвестные. Необходимо решить её численно, но вот какой метод для этого подойдет? Приветствуются любые советы по теме. Заранее благодарю. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10916 / 7257 / 3929 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,573
	01.12.2017, 13:00
	Это задача на определение центра и радиуса окружности, проходящей через три заданные точки. Таким образом, можно предложить следующий способ решения из аналитической геометрии. 1) Определяете середины отрезков, соединяющих заданные точки (первую и вторую, вторую и третью); 2) Проводите две перпендикулярные прямые через эти середины (составляете их уравнения); 3) Решаете систему (двух уравнений), которая дает координаты центра окружности; 3) Вычисляете радиус. 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10916 / 7257 / 3929 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,573
	01.12.2017, 13:28
	Для составления уравнения перпендикулярной прямой, проходящей через середину отрезка достаточно этой точки, так как угловой её коэффициент фактически известен из условия перпендикулярности этому отрезку 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10916 / 7257 / 3929 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,573
	01.12.2017, 14:06
	Пусть нам известен угловой коэффициент отрезка k, тогда угловой коэффициент перпендикулярной ему прямой равен: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{-1}{k}$ 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	01.12.2017, 14:37
	Alex_From_777, вам нужно решить систему из двух уравнений серединных перпендикуляров (к отрезкам AB, AC в данной системе): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\left(B-A,X-\frac{A+B}{2} \right)=0\\ \left(C-A,X-\frac{A+C}{2} \right)=0\end{cases}$ Левые части - это скалярные произведения. Получается матричное уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}B-A\\ C-A\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix}h\\ k\end{matrix} \right)=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}B^2-A^2\\ C^2-A^2\end{matrix} \right)$ В ваших обозначениях это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}a_2-a_1 & b_2-b_1\\ a_3-a_1 & b_3-b_1\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix}h\\ k\end{matrix} \right)=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}a_2^2+b_2^2-a_1^2-b_1^2\\ a_3^2+b_3^2-a_1^2-b_1^2\end{matrix} \right)$ 1

Опции темы