Примеры решения нелинейных уравнений методом Драгилева

По многочисленным просьбам участников форума рассмотрим примеры с применением метода Драгилева.
Пример:
Левую часть уравнения, когда мы говорим о подмножестве всего множества решений, задаваемым исходным уравнением, можно рассматривать как функцию от , где и .
Полная производная этой функции:

Относительно производных и это линейное однородное уравнение, и мы можем выразить одну переменную через другую, которую назовём свободной. Пусть свободной переменной будет .

Поскольку свободная переменная может принимать любые значения, мы, чтобы избавиться от знаменателя, приравняем её, в данном случае, 1 и получим следующую систему автономных дифференциальных уравнений:


с начальными условиями, которые соответствуют какому-нибудь точечному решению исходного уравнения, например:


Решением системы дифференциальных уравнений будет та же самая прямая, только заданная параметрически:


То есть, мы задали зависимость координат от длины прямой.
Следующий очень простой пример

интересующиеся могут решить самостоятельно по аналогии с первым примером.
Для большинства задач подобные системы решаются численно, поэтому надо иметь соответствующий инструментарий.
Системы с числом переменных, равным числу уравнений, решаются с помощью ввода в систему дополнительной переменной, как в методах продолжения по параметру.
Подробнее по ссылкам в теме
Метод итераций для уравнений

0

Текст предыдущего поста был зачем-то продублирован полностью. Удалено.
Пример решения системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными:



Введём в систему дополнительную переменную . Сделаем это следующим образом: выберем какие-нибудь значения исходных переменных, например, и вычислим от них значения левых частей уравнений – невязки. От каждого уравнения отнимем его же невязку в выбранной точке, умножив её на новую переменную .
Получим новую систему из двух уравнений, но уже с тремя переменными:



Новая система задаёт кривую в пространстве 3d, две исходные переменные и новая введённая переменная. В случае, когда новая переменная принимает нулевое значение, кривая пересекает пространство 2d старых переменных , тогда решение новой системы уравнений совпадёт в точке с решением исходной системы.
Процесс поиска решений происходит следующим образом: мы решаем вспомогательную систему дифференциальных уравнений (см. описание метода) с выбранными начальными значениями старых переменных (начальное значение для будет всегда 1), и отслеживаем перемену знака у . В местах перемены знака новой переменной находятся решения исходной системы уравнений.
На рисунке процесс поиска решений. На плоскости линии двух цветов, это графики уравнений исходной системы. Из точки в пространстве, – наши начальные значения дифференциальной системы, – строится кривая в обоих направлениях. Места пересечения кривой с плоскостью соответствуют решениям. В данном случае для одного начального приближения найдены все решения.

0

Примеры можно показывать настолько долго, насколько позволит администрация. Особенно интересны, на мой взгляд, примеры, когда решение выводится в виде анимации. Это и чисто картинки, и вполне реальные сложные задачи, например, из области кинематики рычажных механизмов.
Было предложение участникам самостоятельно решить неявное уравнение единичной окружности с центром в начале координат. Сделать это очень просто, тем не менее пусть процесс освоения сопровождается даже самыми невероятнейшими вопросами…

0

А почему она должна не позволить? Если будет конструктивный диалог с разбором интересного метода, примерами и т.п., то я думаю все от этого только выиграют.

Метод интересный. Можете разобрать пример, как аналитически так и в числах с получением конкретного решения, для такой достаточно простой системы уравнений? Пошагово.



Это пересечение окружности с эллипосом, система имеет 4 корня (4 точки пересечения кривых). Пусть будет одно начальное приближение (0,0), нужно найти все 4 решения.


И второй случай, когда у нас 2 нелинейных уравнения с 3-мя неизвестными. То же на простых уравнениях (не таких как здесь) и с конкретными численными значениями.

0

С моей стороны были выполнены все пожелания. Есть ссылки на описание, на публикации, ссылки на примеры, на тексты программ, приведены примеры в теме… Теперь мне же предлагается ещё расписывать TeX для решения Вашего примера. А почему Вы не хотите это сделать своими руками? Ранее уже было предоставлено универсальное описание метода, по которому много народа написало свой код, подставляете туда Ваши данные и показываете всем нам решение. И не раз говорил, что отвечу на конкретные вопросы, которые предполагают хоть какую-то самостоятельную работу.
Да, в Вашем примере для Вашей начальной точки находятся все решения, в данном случае четыре.
Но это не говорит о том, что для любой начальной и в любом примере решения вообще могут быть обнаружены (локализованы) с помощью метода.
Заодно перед Вами решение системы двух уравнений с тремя переменными на основе Вашей системы , потому что после введения дополнительной переменной каждое уравнение задаёт поверхность , а на предыдущем рисунке возникает линия пересечения этих поверхностей.

Вложения

Metod_Draghilev for all.pdf (255.7 Кб, 84 просмотров)

0

Ну, не хотите, не расписывайте. Спасибо за картинку.

0

Все примеры решаются буквально по шаблону в описании.
Небольшие трудности могут возникать при выборе начальной точки в случае больших размерностей. И ещё моменты, когда линия пересечения состоит из кусков, ну, и как бы точки самопересечения (точки бифуркации автономной дифф системы) , когда все определители обращаются в 0 одновременно.

Добавлено через 4 минуты
Как известно из древней мудрости: кое-кого можно подвести к воде, но заставить его пить нельзя.

0

Вы вообще поняли, почему темы начинаемые вами умирают так и не начавшись? Вспомните еще одну древнюю мудрость, не заставляйте подсказывать.

0

Метод Драгилева живёт и процветает. При жизни автора не случилось, но хоть так. Вам наличие зарубежных публикаций уже многолетней давности не говорит ни о чём? del Например, на зарубежном форуме обсуждают лишь правильность написания фамилии автора по-английски, потому что с основным проблем нет. Вам же прочитать недосуг, зато на одномерную итерационную ахинею, заполнившую раздел, у Вас время есть.
del

0

del

	Комментарий модератора
	Правило 3.1: "Уважительно относитесь к другим участникам форума."

0

Вернёмся к невыполненному домашнему заданию.
Пример неявного уравнения окружности единичного радиуса с центром в начале координат .
Повторяем все действия, как в примере с неявным уравнением прямой. Полная производная:

Относительно производных и это линейное однородное уравнение, и мы выражаем одну переменную через другую. Пусть свободной переменной тоже будет , тогда
, чтобы избавиться от знаменателя, мы делаем следующее присвоение:

Это обычное правило Крамера в применении его к системе из одного уравнения. (В случае большего числа уравнений запись в TeX будет громоздкой, что можно понять из описания метода. Для этого и существуют языки программирования, чтобы не заполнять определители руками. Напомню, тексты программ в разных средах программирования тоже доступны по ссылкам. ) Получаем систему автономных дифференциальных уравнений:


с начальными условиями, которые позволят воспроизвести нашу несчастную окружность, например:


Решением будет:


Для разных начальных данных могут быть внешне отличные решения, но они всегда будут воспроизводить одну и ту же единичную окружность с центром в начале координат.

Тогда новое задание. Решить неявное уравнение окружности какого-нибудь другого конкретного радиуса с центром в какой-нибудь другой конкретной точке.

1

one man, понятно, что замена будет тоже тригонометрическая с масштабирующим коэффициентом R и сдвигом в (x0;y0), но если провести всю эту необычную цепочку, то ...

Собственные числа матрицы , тогда

Начальные условия . Имеем

0

Вот, теперь понятно, что Вам не составило бы никакого труда перейти к любому примеру в текущей теме, и к примеру в этой. Единственно, решения, в основном, численные.

Собственно, всё самое важное сказано. Применяем правило Крамера. Одна (свободная) любая переменная равна со знаком “-” главному определителю системы, а остальные равны определителям, в которых соответствующий им столбец заменён на коэффициенты при свободной переменной. Простое гениальное решение, основанное на элементарной математике, и мы избавляемся от знаменателей. Таким образом, мы спокойно проходим точки перегибов, экстремумов, участки многозначности неявной функции, потому что значения координат ставятся в зависимость от длины кривой. Часто, если численно, можно пройти и точку бифуркации. Но нам этого не надо.
Примеры, когда число переменных , где число уравнений, решаются аналогично случаю . Для этого просто в определённый момент фиксируются значения остальных “свободных” переменных.

0

В отличие от методов продолжения решения по параметру, когда в исходную систему уравнений


вводится параметр , чтобы поставить переменные системы в непрерывную зависимость от



и получить решение системы при , в методе Драгилева принимается, как и исходные переменные, за функцию от длины кривой и процесс движение по кривой идёт в пространстве переменных размерности на 1 большем, чем размерность пространства исходных переменных. В случае же методов продолжения по параметру мы движемся по проекции этой кривой на пространство исходных переменных .

Метод Ньютона является частным случаем методов продолжения решения по параметру. На самом деле, продифференцируем

по ,

получим дифференциальное уравнение относительно :



Если это уравнение решать методом Эйлера с шагом 1, то мы получаем известную формулу метода Ньютона.

1

one man, попробую решить систему из поста #4.
(1)
Начальное приближение (0;0), значит, невязка 1-го уравнения (после переноса 3 влево) равна 1, 2-го уравнения после переноса -9 влево равна 9. Имеем
(2)
В матричной форме относительно неизвестных
(3)
Крамер (5), (6), (7), (8), (9):

Дальше, по идее,
(10)
и получаем линейную систему двух диф. ур-ов:
(11)
По идее, если эта система решается явно, то находятся зависимости , выражения для которых подставляются в
(12) , и дальше пытаемся как-то подобрать такое t, перебирая их от 0 в обе стороны, чтобы v(t)=0
А если система для производных х и y не решается явно, то находим приближённо
(13) от начальных условий , пытаясь сделать v(t)=0
Правильно я понимаю метод?

0

Начиная с (10) небольшая ошибка. Перед этим определителем стоит “-”. Там как получается: если из исходной системы в уравнениях вычитаем их значение в начальной точке, то “-” перед главным определителем, а перед другими “+”, и наоборот, если прибавляем значение в начальной точке. Короче, в нашем случае “-”.
Просто дифф система из трёх уравнений. Правые части это два определителя с соответствующими заменами столбцов, и один главный, со знаком “-”.
И t мы не подбираем и не пытаемся сделать v(t)=0, t это независимая переменная, величина которой при определённой нормировке очень точно соответствует длине пространственной кривой. Это интегральная кривая (она анимирована на картинке) и мы движемся по ней, решая 3 дифф уравнения. А уже пересечёт интегральная кривая плоскость или не пересечёт, и когда пересечёт – зависит от начальной точки, от точности счёта, от времени счёта...
Поверхности на второй картинке задаются изменёнными уравнениями исходной системы. Наша интегральная кривая – это линия пересечения этих поверхностей. Вообще, найти линию пересечения гладких поверхностей аналитически чаще всего не представляется возможным, поэтому в практических целях на это лучше совсем не тратить силы, а довериться соответствующей процедуре.

Добавлено через 1 час 9 минут
Один раз реализовав весь процесс выкладок в мат пакете, можно навсегда избавиться от весьма вероятных рутинных ошибок, подставляя лишь очередную систему, размерности и начальные данные.

Добавлено через 1 час 46 минут
Вспомнил. Может, кому пригодится. Метод Драгилева очень неплохо разобран на форуме по бесплатному пакету
SMath Studio. Там для чтения осталась русская часть форума и активна английская. Пакет очень схож с широко распространённым Mathcad-м и, вроде, иногда получается переносить тексты в обе стороны. По методу несколько тем, а ниточка тянется ещё с форума старой экспоненты.
Про форум по Maple ранее неоднократно упоминал. Mathcad-м не владею.

Добавлено через 5 минут
Эта ошибка возникла раньше, когда речь зашла о правиле Крамера. Перед главным определителем должен быть "-".
Пропустил.

1

Понятно,
(10')
Да, точки ищутся, только точность по t нужна высокая, порядка а то и более высокая - в Экселе слишком длинные столбцы со значениями x,y,v получаются.
Видимо, в посте #5 на первом графике неподвижные кривые у вас для обоих уравнений в системе координат XYZ, а анимированная кривая ?
А плоском случае для одного уравнения f(x)=0 (как в других темах) неподвижная кривая , а подвижная ...

0

Нам нет необходимости двигаться по кривой с маленьким шагом. Как только решение локализовано, мы можем уточнить его маленьким шагом уже только на этом малюсеньком участке кривой, где обнаружено решение, или каким-нибудь другим, более простым, способом.

Неподвижные графики строятся непосредственно функциями Maple. А анимированная кривая да, правильно.

Подвижные участки это . Там нет , потому что мы рассматриваем уравнение как неявное , а перемену знака отслеживаем по . Это только в одномерном случае для удобства и использовании общей программы с .

0

Довольно высокая точность по невязке у изменённых уравнений по всей длине кривой. То есть, когда мы решаем именно недоопределённую систему уравнений.
Как достойные примеры это задачи кинематики рычажных механизмов и обратной кинематики манипуляторов. Но там, как правило, много уравнений, и в рамках форума очень тяжело, мягко говоря, рассказать о содержании примера, даже просто показать систему. (Это на MaplePrimes, где тексты Maple.) Картинки с пояснениями легко.

Добавлено через 2 часа 17 минут
Да, и по поводу правильности понимания Вами метода. Очевидно, что с методом Вы разобрались. Если и присутствуют какие-то затемнённые места, то, скорее, это от моего неполного понимания Ваших вопросов. Но все вопросы у Вас отпадут, как только Вы воспользуетесь матпакетом. В том плане, что пакет возьмёт себе всю рутину, оставив взамен бесконечное множество интересных результатов.

0

Пример функции:

.

Множество точек, на котором

,

можно назвать решением одного уравнения с двумя неизвестными:

.
Это:



Если говорить об условиях существования неявных функций, как

, так и ,

то в нескольких точках решения
эти условия нарушаются – соответствующие производные обращаются в 0. Но существуют непрерывные однозначные зависимости координат от длины линии решения:
и , где длина линии.

За единицу времени точка на графике проходит строго определённое расстояние, другими словами, по линии графика осуществляется равномерное движение. При численном решении это обеспечивается нормированием приращения координат, как написано в учебнике по математическому анализу:


,

что позволяет довольно точно вычислять длину любого участка линии.

0