Прогамма вычисления суммы ряда, в чем может быть ошибка?

@BARS08 · Регистрация: 28.09.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

создать проект для вычисления выражения S с заданной точностью ε.

Pascal

program bars;
const eps=0.000001;
var s,x:real;
i:integer;
begin
writeln('Введите число Х=');
readln(x);
writeln('Введите I=');
readln(i);
s:=0;
i:=1;
while s>eps do begin
s:=s+(power((-1),(i+1))*exp((2*i+1)*ln(x)))/(4*i*i-1);
i:=i+1;
end;
writeln(s:0:8);
end.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{15}+...+(-1)^{n+1}\,\frac{x^{2n+1}}{4n^2-1}+... $

ε = 10^-5; x = 0.3
Ответ: S=0.008838

@Cyborg Drone · 25.11.2016, 23:03

BARS08, Ваша программа состоит в основном из ошибок.

X имеет право быть отрицательным (просто табу недостаточно), тогда ln(x) вызовет ошибку, мало того, если x будет находиться вне радиуса сходимости ряда, будет переполнение, короче, проверка при вводе обязательна.
Какие мысли привели Вас к тому, что i надо вводить?
С точностью нужно сравнивать не s, а модуль очередного члена ряда
Непосредственное возведение в степень, перемножение целых чисел, или, например, непосредственное вычисление факториала может легко вызвать переполнение, лучше использовать рекуррентное соотношение для членов ряда

Найдём рекуррентное соотношение для членов ряда.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{4n^2-1}=\sum_{n=1}^{\infty}a_n $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_1=\frac{x^3}{3};\ \ \ a_n=\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{4n^2-1}=k\cdot a_{n-1}; $

Опираясь на то, что 4n²-1=(2n-1)(2n+1), запишем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? k=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}(2n-3)(2n-1)}{(-1)^nx^{2n-1}(2n-1)(2n+1)}=\frac{-x^2(2n-3)}{2n+1}=\frac{-x^2(n-1.5)}{n+0.5} $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_n=k\cdot a_{n-1}=\left. \frac{-x^2(n-1.5)a_{n-1}}{n+0.5}=\right|_{x:=x^2}=\frac{-x(n-1.5)a_{n-1}}{n+0.5} $

Найдём интервал сходимости ряда.

Если отбросить x², можно заметить, что k - это ни что иное, как обратное отношение числовых коэффициентов ряда, подходящее для нахождения радиуса сходимости ряда. Тогда радиус сходимости будет

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+0.5}{n-1.5}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1+0.5/n}{1-1.5/n}=1 $

Ряд сходится абсолютно в интервале (-1; 1).

Проверим сходимость ряда на границах этого интервала.

Пусть x = 1, тогда получаем ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum \frac{(-1)^{n+1}1^{2n+1}}{4n^{2}-1 } = \sum \frac{(-1)^{n+1}}{4n^2-1} $

Знакочередующийся ряд, исследуем его по признакам Лейбница.

- Первый признак Лейбница выполняется: модуль каждого последующего члена ряда меньше модуля предыдущего члена ряда.
- Второй признак Лейбница выполняется, предел члена ряда стремится к 0

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(-1)^{n+1}}{4n^2-1}=0 $

Ряд сходится, значит, x=1 - точка сходимости.

Теперь пусть x=-1, получаем ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum \frac{(-1)^{n+1}(-1)^{2n+1}}{4n^{2}-1} = \sum \frac{(-1)^{3n+2}}{4n^2-1} $

Знакочередующийся ряд, аналогично предыдущему ряду - сходится.

Таким образом, интервал сходимости ряда [-1; 1].

Всё, что необходимо, найдено, пишем программу.

Pascal

const eps = 1e-5;
var a, s, x: double;
    n: integer;
begin
  repeat
    write('|x| <= 1;   x = ');
    readln(x)
  until abs(x) <= 1;
  a := x * x * x / 3;
  x := x * x;
  s := a;
  n := 1;
  while abs(a) >= eps do
    begin
      inc(n);
      a := -x * a / (n + 0.5) * (n - 1.5);
      s := s + a
    end;
  writeln('S = ', s:0:8);
  readln
end.

Добавлено через 11 минут
Да, и ответ получается 0.00884425... В принципе, в 10^-5 входит... Думаю, Ваш результат является менее точным, поскольку, скорее всего, был найден непосредственным вычислением всяких там степеней, отчего при многократных перемножениях и сложениях накапливаются ошибки.

Вообще говоря, при x=0.3 сумма этого ряда с точностью до ε=10^-22 будет S=0.0088439529904375641669... Получается, моя программа точнее считает, чем то, чем был подсчитан данный Вам "образцовый" ответ.

Опции темы