Вычислить сумму ряда с заданной точностью

@lowness · Регистрация: 29.11.2022

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Не используя стандартные функции (за исключением abs), вычислить с точностью до 0.0001 функцию y=f(x).
Считать, что требуемая точность достигнута, если очередное слагаемое по модулю меньше 0.0001, все последующие слагаемые можно уже не учитывать.

Вычислить сумму ряда с заданной точностью

@Cyborg Drone · 01.03.2023, 15:36

Не вполне ясны коэффициенты в разложении ряда Тейлора, ну да ладно, буду считать, что я всё понял правильно.

Ряд:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y=\frac{x}{3}-\frac{1}{7}\frac{x^3}{3!}+\frac{1}{11}\frac{x^5}{5!}-\,...\!=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(4n+3)(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty }\!a_n $

Найдём рекуррентное соотношение для членов ряда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \boxed{a_0=\frac{x}{3}};\ \ a_n=\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(4n+3)(2n+1)!};\ \ a_{n-1}=\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(4n-1)(2n-1)!}; $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(4n+3)(2n+1)!}}{\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(4n-1)(2n-1)!}}=\frac{-(4n-1)x^2}{2n(2n+1)(4n+3)}=\frac{(0.25-n)x^2}{4n(n+0.5)(n+0.75)}\ \Rightarrow \ \boxed{a_n=\frac{(0.25-n)x^2a_{n-1}}{4n(n+0.5)(n+0.75)}} $

Нулевой член ряда известен, последующий член ряда выражен через предыдущий. Рекуррентное соотношение найдено.

Пишем программу.

Pascal

const
  eps = 0.0001;
var
  n: integer;
  x, a, y: real;
begin
  write('x = ');
  readln(x);
  n := 0;
  a := x / 3;
  y := a;
  while abs(a) > eps do
    begin
      inc(n);
      a := a / 4 * x / n * x / (n + 0.5) * (0.25 - n) / (n + 0.75);
      y := y + a
    end;
  writeln('y = ', y:0:4);
  readln
end.

Замечание: при слишком больших значениях x, по моим подсчётам, при x > 41, программа будет безбожно врать. Так происходит потому, что длина мантиссы машинного представления числа имеет фиксированную длину (53 двоичных разряда для real), и при росте n величина x²ⁿ⁺¹ поначалу растёт быстрее, чем (4n+3)(2n+1)!, в результате возникает ситуация, когда очередной член ряда становится меньше веса младшего значащего разряда машинного представления суммы y, и этот член, и все последующие, изменить сумму уже никак не смогут, в результате чего модуль y получается сильно завышенным. Преодолеть это недоразумение можно с помощью длинной арифметики, но я этого делать не стану: в учебных заданиях, если это специально не оговорено, длинная арифметика не применяется.

@lowness 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.11.2022 Сообщений: 51
		1
	Вычислить сумму ряда с заданной точностью 25.02.2023, 10:56. Показов 436. Ответов 1 Метки 1 курс, pascal (Все метки) Не используя стандартные функции (за исключением abs), вычислить с точностью до 0.0001 функцию y=f(x). Считать, что требуемая точность достигнута, если очередное слагаемое по модулю меньше 0.0001, все последующие слагаемые можно уже не учитывать. 0

Опции темы