Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
Математический анализ
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
Другие темы раздела
Математический анализ Найти производные данных функций. https://www.cyberforum.ru/ mathematical-analysis/ thread426429.html
Найти производную dy/dx данной функции
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Математический анализ
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Математический анализ Исследование функции на экстремум
Прошу проверить правильность исследования функции на экстремум:
Математический анализ Найти производную dy/dx данной функции y=(\ln{x})^x https://www.cyberforum.ru/ mathematical-analysis/ thread426251.html
Математический анализ Решение примеров с пределами! https://www.cyberforum.ru/ mathematical-analysis/ thread426245.html
плиз народ помогите срочно решить примеры с приделами, математичка заставила сдавать а я ваще не вкуриваю как решать всю тему в больнице провалялся =\
Математический анализ Найти точки разрыва функции. Сделать чертеж.
найти точки разрыва функции. Сделать чертеж
Ряд Фурье Математический анализ
Проверьте, пожалуйста, Разложить функцию в ряд Фурье по синусам f(x)=\left\{\begin{matrix} sinx,0<x\leq \pi /2 & & \\ 1, \pi/2<x\leq \pi& & \end{matrix}\right. Решение: bn=\frac{2}{\pi }...
Математический анализ Исследовать функцию y=F(x) и построить ее график. Исследовать функцию y=F(x) и построить ее график y=\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 https://www.cyberforum.ru/ mathematical-analysis/ thread426210.html
Математический анализ Составить уравнение нормали и касательной к данной кривой в данной точке. https://www.cyberforum.ru/ mathematical-analysis/ thread426209.html
Составить уравнение нормали и касательной к данной кривой в данной точке. y=\frac{x^2-2x-3}{4}; x_0=4
Математический анализ Градиент функции нескольких переменных. Прошу помочь в срочном решении задачи(до завтра терпит): Найти градиенту функции u=f(x,y,z) в точке A(x_0,y_0,z_0) и вычислить его модуль: u=y\ln(1+x^2)-\operatorname{arctg}z Прошу не считать... https://www.cyberforum.ru/ mathematical-analysis/ thread426044.html
Змеюка одышечная
9855 / 4600 / 178
Регистрация: 04.01.2011
Сообщений: 8,569
0

Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.

15.12.2011, 19:44. Показов 79554. Ответов 1
Метки (Все метки)

1.
Область определения
Виды области определения некоторых возможных типов функций.
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.


2.
Непрерывность.
В особых точках, найденных в п.1 (точек, в которых значение функции не определено), ищем односторонние пределы:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a - особая точка;

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to a+0}y(x) - правосторонний (правый) предел;

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to a-0}y(x) - левосторонний (левый) предел.

а) если данные пределы существуют, конечны и совпадают со значением функции в данной точке, то функция в проверяемой точке непрерывна;

б) если пределы существуют, конечны, равны между собой, но хотя бы один не совпадает со значением функции в проверяемой точке, то имеем разрыв первого рода, устранимый;

в) если пределы существуют, конечны, но не совпадают между собой, то имеем конечный (неустранимый) разрыв первого рода ("скачок");
модуль разности односторонних пределов
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|\lim_{x\to a-0}y(x)-\lim_{x\to a+0}y(x)\right|
называется скачком функции;

г) если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то в проверяемой точке имеем разрыв второго рода.

Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки.


3.
Чётность/Нечётность.
Для проверки функции на чётность/нечётность, подставляем в функцию вместо аргумента https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-x.

а) если можно преобразовать функцию так, что https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)=y(x), то функция чётная (её график симметричен относительно оси Oy);

б) если можно преобразовать функцию так, что https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)=-y(x), то функция нечётная (её график симметричен относительно начала координат);

в) если после подстановки получаем https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(-x)\ne y(x)\ne -y(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего положения).


4.
Периодичность.
Функция будет являться периодической, если существует такое число https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T, что https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=y(x). Если после преобразований получается, что равенство https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=y(x) возможно только при https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=0, то функция не является периодической (чаще всего периодическими являются тригонометрические функции).


5.
Точки пересечения с осями.
Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно найти корни уравнения https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=0.
Точки пересечения будут иметь вид:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_1;0),(x_2;0),...,(x_n;0), где https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1,x_2,...,x_n - корни уравнения https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)=0.

Чтобы найти точки пересечения с осью Oy, нужно найти значение функции при https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=0.
Точка пересечения будет иметь вид:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0;y(0)).


6.
Промежутки знакопостоянства.
Найденные в п.5 точки пересечения с осью Ox и особые точки функции (если они есть) наносятся на числовую ось. Из каждого из получившихся промежутков выбирается точка и подставляется в уравнение функции. Если в результате получается отрицательное значение функции, то на данном промежутке функция находится ниже оси Ox; если получается положительное значение - то функция находится выше оси Ox.


7.
Возрастание/убывание функции, точки экстремума.
По правилам дифференцирования находим первую производную функции и приравниваем её нулю. Найденные стационарные точки (нули производной) и особые точки производной (если есть) наносим на числовую ось и аналогично п.6 находим знак производной в получившихся промежутках:

- промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции;

- промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции;

- если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с плюса на минус, то стационарная точка является точкой максимума(при условии, что в ней определено значение функции);

- если при переходе через стационарную точку производная меняет знак с минуса на плюс, то стационарная точка является точкой минимума(при условии, что в ней определено значение функции).

Если производная имеет постоянный знак на всей области определения, то функция монотонна.


8.
Выпуклость/вогнутость, точки перегиба.
По правилам дифференцирования находим вторую производную функции и приравниваем её нулю. Найденные точки (нули второй производной) и особые точки второй производной (если есть) наносим на числовую ось и аналогично п.6 находим знак второй производной в получившихся промежутках:

- на промежутках, на которых вторая производная положительна, функция вогнута (выпукла вниз);

- на промежутках, на которых вторая производная отрицательна, функция выпукла (выпукла вверх);

- если при переходе через полученную точку вторая производная меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс, то точка является точкой перегиба(при условии, что в ней определено значение функции).

Если вторая производная имеет постоянный знак на всей области определения, то точек перегиба нет.


9.
Асимптоты.
Если в п. 2 получен хотя бы один бесконечный предел, то прямая https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=a является вертикальной асимптотой.

Если существуют и конечны два предела:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{y(x)}{x}

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\lim_{x\to\pm\infty}(y(x)-kx)
то прямая https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=kx+b является наклонной асимптотой.

В случае https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=0,b\ne\pm\infty(наклонная асимптота совпадает с горизонтальной) прямая https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=b является горизонтальной асимптотой.


10.
График функции.
На координатной плоскости отмечаются найденные особые точки, точки пересечения с осями, точки экстремума и точки перегиба. Для уточнения можно найти несколько точек функции и отметить на координатной плоскости. Проводятся асимптоты (обычно пунктиром).
Согласно полученным свойствам функции схематично рисуется график.



Пример.

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{5x^3}{1-x^5}
1) Область определения: https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;1)\cup(1;\infty)

2) Знаменатель обращается в 0 при x=1.
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1+0}\frac{5x^3}{1-x^5}=-\infty

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to 1-0} \frac{5x^3}{1-x^5}=+\infty
Т.о. в точке x=1 функция терпит разрыв второго рода.
На всей числовой прямой, за исключением точки x=1, функция непрерывна.

3)
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y(-x)=\frac{5(-x)^3}{1-(-x)^5}=-\frac{5x^3}{1+x^5}\ne y(x)\ne -y(x)\Rightarrow функция общего положения.

4)
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=\frac{5(x+T)^3}{1-(x+T)^5}=\frac{5x^3}{1-(x+T)^5}+\frac{5(3x^2T+3xT^2+t^3)}{1-(x+T)^5} очевидно, что https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x+T)=y(x) только при T=0. Следовательно, функция непериодическая.

5) Точки пересечения с осью Ox:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=0\Rightarrow \frac{5x^3}{1-x^5}=0, откуда получим x=0.
Точки пересечения с осью Oy:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(0)=\frac{5\cdot 0^3}{1-0^5}=0
Т.о., график функции пересекает оси только в начале координат.

6) Учитывая найденную в п.5 точку пересечения с осями и ноль знаменателя, методом интервалов находим:
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.

Получаем, что функция положительна на промежутке https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(0;1) и отрицательна на промежутках https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;0)\cup(1;\infty).

7)
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=5\cdot\frac{3x^2(1-x^5)-(-5x^4)\cdot x^3}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{3x^2-3x^7+5x^7}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{3x^2+2x^7}{(1-x^5)^2}=5\cdot\frac{x^2(3+2x^5)}{(1-x^5)^2}
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.

Функция убывает на промежутке:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\infty;-\sqrt[5]{\frac{3}{2}}\right)
Функция возрастает на промежутках:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\sqrt[5]{\frac{3}{2}};1\right)\cup(1;\infty)
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\sqrt[5]{\frac{3}{2}};-\sqrt[5]{108}\right) - точка минимума.

8)
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=5\frac{(6x+14x^6)(1-x^5)^2-2(1-x^5)(-5x^4)(3x^2+2x^7)}{(1-x^5)^4}=5\frac{2(1-x^5)(3x-3x^6+7x^6-7x^{11}+15x^6+10x^{11})}{(1-x^5)^4}=10\frac{x(3+19x^5+3x^{10})}{(1-x^5)^3}

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=19^2-4\cdot 9=325
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1^5=\frac{-19+5\sqrt{13}}{6},x_1\approx -0,69
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_2^5=\frac{-19-5\sqrt{13}}{6},x_1\approx -1,44
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.

Функция выпукла вверх на промежутках:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-\infty;-1,4)\cup(-0,7;0)\cup(1;\infty)
Функция выпукла вниз на промежутках:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1,4;-0,7)\cup(0;1)
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(-1,4;-1,9),(-0,7;4,8),(0;0) - точки перегиба.

9)
Вертикальная асимптота x=1 (см.п.3)

Наклонная асимптота:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^3}{x(1-x^5)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^2}{1-x^5}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{10x}{5x^3}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{x^2}=0\Rightarrow наклонных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\to\pm\infty}\frac{5x^3}{1-x^5}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{15x^2}{-5x^4}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x^2}=0

https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=0 - горизонтальная асимптота.

10) График:
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.


Вернуться к обсуждению:
Полное исследование функций. Исследование функций на непрерывность.
51
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
15.12.2011, 19:44
Готовые ответы и решения:

Исследование на непрерывность 2-х функций
Во у меня 2 задачи, помогите, пожалуйста, если вам не трудно.

Полное исследование функций
Здравствуйте, у меня есть трудности с анализом графиков функций, был бы благодарен....

Провести полное исследование функций.
Помогите пожалуйста сделать полное исследование функций....первое вложение это задание,а второе по...

Провести полное исследование функций
y={(x+1)}^{2/3}

1
КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin® Version 3.8.9
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc.