| 1 | |
О распределении Пуассона02.12.2013, 01:13. Показов 23665. Ответов 11
Рассмотрим историческую задачу (которую решал сам Пуассон): на коммутатор поступают звонки от абонентов. Считаем, что абоненты звонят независимо друг от друга и более-менее равномерно.
Математически это запишем так: вероятность поступление звонка в момент от t до t+dt (малый интервал, в пределе - бесконечно малый) равна dt/T. Замечу, что dt мало по сравнению с T. Т.е если в среднем за час поступает один звонок, то за минуту 1/60. Но если брать интервал сравнимый с T (или больше), формула, естественно, работать не будет (эта формула дифференциальная, т.е. для бесконечно малого интервала). Например, есть ненулевая вероятность, что за t=2T не поступит ни одного звонка, а за 0.5T поступило 2 (или 3 или 10)... Посчитаем вероятность, что от x=0 до t не будет звонков: P(t+dt)=P(t)·(1-dt/T). Решая это уравнение, получаем, что Теперь посчитаем среднее время ожидания первого звонка. Вероятность, что до момента t звонка не было, а в интервале t+dt он пришел, равна Оказывается, что параметр T - это среднее время ожидания события (звонка). Важно: особенностью распределения Пуассона является то, что среднее время ожидания очередного события не зависит от того, когда наступило предыдущее событие, т.е. как скоро после предыдущего события мы начали ждать . Если автобусы ходят "по Пуассону" в среднем через 5 минут, то нам придется ждать в среднем 5 минут, даже если мы пришли на остановку через секунду/10 минут после предыдущего автобуса. Можно в качестве параметра использовать не T, а обратную величину Если T- характеризует ожидание события (раcстояние между ними), то Теперь зайдем с другого боку и зададим вопрос: если за малый интервал dt может произойти только одно событие (с вероятностью, пропорциональной длине интервала), то сколько событий может произойти за единичный интервал? Для подсчета количества успехов есть мощная формула Бернулли: вероятность k успехов в серии n испытаний (с вероятность успеха p) Разобьем наш интервал на n маленьких интервалов. Вероятность успеха (т.е поступления звонка в маленьком интервале) равна А сейчас подсчитаем среднее количество событий в единичном интервале, это сумма Теперь мы видим, что параметр распределения Пуассона . Если за некий интервал происходит в среднем А если мы знаем, что в среднем за час происходит ![]() Можно вообще отвязаться от интервала. Пример: в большой чан с тестом высыпают пакет с изюмом, перемешивают и выпекают булочки стандартного размера. Мы знаем, что из теста в чане получается N булочек, а в пакете K изюминок (плюс-минус) . В среднем в булочке получается K/N изюминок. Это и есть лямбда нашего распределения и мы можем посчитать вероятности, что в булочке будет 0,1,k изюминок. Действительно, можно предположить, что изюминки попадают в булочку независимо, а перемешивание распределяет их по чану более-менее равномерно. А распределению Пуассона только этого и надо ![]() При получении формулы Пуассона мы вычислили ее через предел формулы Бернулли, когда событий много, но произведение вероятности на количество испытаний конечно (равно лямбда). Можно сделать и обратный переход - когда количество испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала, то вместо формулы Бернулли можно использовать формулу Пуассона (с лямбда=n·p). При этом, естественно, надо понимать - когда это можно делать, а когда - нельзя .Итак, распределение Пуассона характеризуется лямбда - средним количеством событий (или средним количеством событий в интервале) и обратным к нему параметром Т - средним временем ожидания очередного события. Формула Пуассона вычисляет вероятность, что произойдет ровно k событий (k целое), при условии, что в среднем происходит
5
|
|
| 02.12.2013, 01:13 | |
|
Ответы с готовыми решениями:
11
Проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона О нормальном распределении Задача о распределении инвестиций Значения в распределении Лапласа |
|
832 / 679 / 101
Регистрация: 11.11.2012
Сообщений: 1,800
|
|
| 02.12.2013, 03:41 | 2 |
|
это просто в мемориз!
А так классно придумали - надо какие-то базовые темы дать постепенно так развернуто... Только я бы заменила в формулах * на точки - * все-таки свертку обычно обозначает в математике... (не умножение, это Excel)/ и можно примеры добавить - двоечников посылать читать вместо учебника
3
|
|
|
Master of Orion
|
|
| 14.01.2014, 19:16 | 5 |
|
0
|
|
|
Master of Orion
|
|
| 16.01.2014, 22:00 | 9 |
|
zer0mail, не естественно. Я сколько с твимсом и прочим довольно плотно общался (и общаюсь), иесли рассматривать предельный случай, то все совсем не так, как в не-предельном. Например,
Ну в общем весь смысл заключается в слове "естественно". Я привык к четко заданным определниям, т.к. при работе в бесконечномерных вероятностных пространствах со своими понятиями (чего стоит только предел в среднеквадратическом смысле l.i.m ), приучаешься уделять внимание подобным мелочам. Добавлено через 1 минуту Кстати, эта формула тоже получена из распределения Пуассона. Забавно совпало.
0
|
|
| 16.01.2014, 23:28 [ТС] | 10 |
|
Да разуйте глазки - вот так:
. Это тема не математичское исследование, не учебник, не монография. Цель ее создания - дать возможность студентам лучше понять основы ТВ, в частности распределение Пуассона и решать задачи (причем самые простые), где оно изначально присутствует в условии или более-менее естественно возникает как математическая модель. Не надо искать/создавать сложности там, где они не нужны Хотите показать глубину своих математических познаний? Так создавайте свою тему и резвитесь на здоровье ![]() И не надо, не переходите. Эта тема о распределении Пуассона (а не о различных предельных случаях), в котором есть "нормальное" лямбда (пояснение: оно ни бесконечно большое, ни бесконечно малое и никуда не стремящееся). .
2
|
|
| 27.04.2014, 12:17 [ТС] | 11 |
|
Дополнение к исходному сообщению:
Вернемся к ряду Теперь снова возьмем ряд R и продифференцируем обе части по Другие параметры распределения Пуассона можно посмотреть здесь:ВикипедиЯ, Распределение Пуассона Для тех, кто забыл: среднеквадратичное отклонение
0
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
| 19.06.2021, 00:02 | 12 | ||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вот, еще несколько примеров использования Пуассона на практике (с вычислением в СКА Maxima):
1) Вычисление вероятности получения бракованных деталей в массовом производстве. Например, вероятность изготовления бракованных деталей при их массовом производстве равна p=0,0005. Вероятность, что в партии из 10 000 деталей: - нет бракованных деталей (X=0):
2) Пуассон хорош также для вычисления вероятности ошибок\опечаток в тексте. Например, в книге на 350 страниц посчитали 150 типографических ошибок. - найти λ:
0
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
| 19.06.2021, 00:02 | |
| 19.06.2021, 00:02 | |
|
Помогаю со студенческими работами здесь
12
задача о распределении ресурсов Задача о распределении инвестиций
Ошибка в распределении заявок Help Искать еще темы с ответами Или воспользуйтесь поиском по форуму: |