Как смоделировать смесь

@alezhe · Регистрация: 02.06.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Посоветуйте, пожалуйста, как лучше всего смоделировать смесь из n компонентов.

Имеется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ компонентов, каждый из которых имеет свою концентрацию целевого вещества $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {c}_{i} \right>$ .
Сделали смесь, попытавшись взять одинаковое количество каждого из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ компонентов.
Требуется определить распределение итоговой концентрации $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ целевого компонента в итоговой смеси.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C = \sum_{i}^{n} {c}_{i} * {\alpha }_{i}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\alpha }_{i}$ - доля компонента в смеси.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C \sim ?$

@passant · 26.04.2018, 10:01

Так "смоделировать" (как в названии) или "определить" (как в тексте)? Это как бы разные вещи и разные пути решения.
Определитесь.

@alezhe · 26.04.2018, 11:24 **[ТС]**

Сообщение от passant

Так "смоделировать" (как в названии) или "определить" (как в тексте)? Это как бы разные вещи и разные пути решения.

Определить. Конечно же определить. Определить распределение случайной величины, концентрации в смеси. И его параметры.
Просто подумал, чтобы определить распределение, нужно сначала смоделировать эту случайную величину.

@passant · 26.04.2018, 15:41

Что бы смоделировать случайную величину, надо знать функцию распределения. Если "Требуется определить распределение итоговой концентрации" то у вас также должны быть исходные распределения.
Посему - вопрос. Что такое у вас <c_i>? Наверняка это есть в условии.
Возможные варианты: - это матожидание, это функция распределения концентрации вещества i, это функция плотности распределения концентрации компонента i .....
Пока писал, что-то задумался - а вообще, в приведенной постановке, это задача из теорвера или из "раздела школьной математики про дроби"?

@alezhe · 26.04.2018, 17:11 **[ТС]**

Сообщение от passant

Что бы смоделировать случайную величину, надо знать функцию распределения. Если "Требуется определить распределение итоговой концентрации" то у вас также должны быть исходные распределения.

Я собственно и спрашивал совета, какая исходная случайная величина (величины) и преобразования над ними будут адекватно моделировать процесс смешивания.

Вот, если на пальцах - готовим торт. Нужно взять 1 часть воды и 1 часть молока. Есть вода, молоко, и уже разведенное в нужной пропорции молоко, но в количестве в три раз меньше требуемого.
Из "раздела школьной математики про дроби" мы легко вычисляем, что нужно взять 1/3 воды, 1/3 молока и 1/3 готовой смеси молока и воды. Т.е. у нас есть три раствора в каждом из которых доля (концентрация) молока $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c}_{i}$ : 0, 1 и 0.5, соответственно.
На практике мы используем один мерный стакан и, отмеряя каждую из жидкостей, безусловно, имеем погрешность (можно наливать вообще "на глаз", а можно, как учат "по нижнему мениску"). И доля каждой жидкости в итоговой смеси ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\alpha }_{i}$ ) будет варьировать.
Вопрос: каково распределение итоговой концентрации (доли) молока в полученной смеси?
Функция распределения или функция плотности распределения. Зная одно, я попытаюсь определить другое, ну и матожидание заодно.

@passant · 26.04.2018, 20:26

Вопрос: каково распределение итоговой концентрации (доли) молока в полученной смеси?

Ответ: для того, что бы построить итоговое распределение надо знать исходное распределение. Именно распределение, а не одно матожидание. Пока-же, даже так, как вы это описали в последнем сообщении, с_i-это всего-лишь число. Без дисперсии, без доверительных интервалов, даже без тех самых погрешностей, и тем более - без исходного распределения.

@alezhe · 27.04.2018, 02:11 **[ТС]**

Сообщение от passant

Ответ: для того, что бы построить итоговое распределение надо знать исходное распределение.

Дэкк.... ээээ..... ну....
... я знаю, что нужно исходное распределение. are you taking me for a simpleton
Потому и спрашивал как смоделировать смесь.
Решая задачи вроде ...

Среднее число сигналов, поступающих на станцию в течение минуты, равно 9. Чему равна вероятность, что за три минуты на станцию поступит 25 вызовов?

... мы понимаем, что это не реальный пуассоновский процесс, мы просто допускаем, что такая модель даст приемлимое приближение к действительности.

@passant · 27.04.2018, 12:04

В приведенном вами примере с пуассоновским процессом необходимо обратить внимание на то, что этот процесс однопараметрический, т.е. действительно полностью описывается единственным параметром -"средним числом сигналов в минуту". Концентрация молока в воде - скорее всего (?! - по хорошему, это надо еще и проверить) подчиняется нормальному закону распределения. А нормальный закон - двухпараметрический, для полного его представления надо знать матожидание и дисперсию.
Если эти две величины вам известны, тогда все просто
1. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
2. Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.
3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.
4. Дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.
Т.е. через эти свойства статистик вы получаете параметры закона распределения вашей смеси.
Но в исходной постановке нет ни дисперсии, ни хотя-бы доверительного интервала.
Таким образом имеем - либо это какая-то задача адаптированная для школьной программы (типа даны пропорции компонентов, найти пропорции смеси), либо тут не хватает информации для ее "взрослого" решения.
P.S. Если же вы опять возвращаетесь к "Смоделировать", то хочу заметить, что смоделировать случайную последовательность также можно только зная параметры закона ее распределения. Просто в случае "определить" вы получаете формульное представление решения, а в случае "смоделировать" компьютер сгенерирует вам последовательности, из которых вы программно получите данные о смести, из которых, в свою очередь, построив гистограммы или применив соответствующие методы получите параметры закона распределения смеси. Прелесть моделирования в том, что оно даст вам ответ при любом, самом замысловатом законе распределения исходных последовательностей. А "формульный подход" дает решение только для некоторых известных законов.

@alezhe · 27.04.2018, 12:33 **[ТС]**

Сообщение от passant

Концентрация молока в воде - скорее всего (?! - по хорошему, это надо еще и проверить) подчиняется нормальному закону распределения.

Спасибо, если честно.
Прежде всего, хочу сказать, что это не "школьная задача", а попытка найти решение для прикладной. Таким образом, параметры распределения я смогу определить практическим путем: возьму мерный стаканчик и 100 раз отмерю им некое количество жидкости - оценю матожидание и дисперсию и что еще понадобится.

Что касается нормального распределения:
а) мне кажется не очень удачно моделировать отмеривание компонента случайной величиной, определенной на бесконечном интервале. То бишь, не смотря на та каким бы неудачником я не был, я не смогу отмерить отрицательное количество молока.
б) чтобы определить распределение интересующего меня параметра С (итоговое содержание молока) мне придется разделить одну нормально распределенную случайную величину на другую нормально распределенную случайную величину. Обе эти величины будут с разными матожиданиями и дисперсиями, а это, как я понимаю, не нормальная случайная величина и не очень хорошо определяется.

@passant · 27.04.2018, 17:08

Вообще-то классика говорит, что "случайные ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения". И с ним проблем будет поменьше, чем с любым другим. Поэтому я и говорил, что если бы вы именно "моделировали", то можно было бы использовать любой закон, а вот если вы хотите "определить" (т.е. выписать формулу) то с "ненормальными" законами могут возникнуть сложности.
Кстати:
Математическое ожидание частного двух взаимно независимых случайных величин равно произведению математического ожидания делимого на математическое ожидание величины обратной делителю.
А вот уже с дисперсией даже тут возникают проблемы.

@alezhe 10 / 8 / 0 Регистрация: 02.06.2013 Сообщений: 54
		1
	Как смоделировать смесь 25.04.2018, 20:01. Показов 799. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Посоветуйте, пожалуйста, как лучше всего смоделировать смесь из n компонентов. Имеется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ компонентов, каждый из которых имеет свою концентрацию целевого вещества $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left< {c}_{i} \right>$ . Сделали смесь, попытавшись взять одинаковое количество каждого из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ компонентов. Требуется определить распределение итоговой концентрации $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C$ целевого компонента в итоговой смеси. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C = \sum_{i}^{n} {c}_{i} * {\alpha }_{i}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\alpha }_{i}$ - доля компонента в смеси. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C \sim ?$ 0

@passant 578 / 411 / 68 Регистрация: 09.01.2018 Сообщений: 1,361
	26.04.2018, 10:01	2
	Так "смоделировать" (как в названии) или "определить" (как в тексте)? Это как бы разные вещи и разные пути решения. Определитесь. 0

@alezhe 10 / 8 / 0 Регистрация: 02.06.2013 Сообщений: 54
	26.04.2018, 11:24 [ТС]	3
	Сообщение от passant Так "смоделировать" (как в названии) или "определить" (как в тексте)? Это как бы разные вещи и разные пути решения. Определить. Конечно же определить. Определить распределение случайной величины, концентрации в смеси. И его параметры. Просто подумал, чтобы определить распределение, нужно сначала смоделировать эту случайную величину. 0

@passant 578 / 411 / 68 Регистрация: 09.01.2018 Сообщений: 1,361
	26.04.2018, 15:41	4
	Что бы смоделировать случайную величину, надо знать функцию распределения. Если "Требуется определить распределение итоговой концентрации" то у вас также должны быть исходные распределения. Посему - вопрос. Что такое у вас <c_i>? Наверняка это есть в условии. Возможные варианты: - это матожидание, это функция распределения концентрации вещества i, это функция плотности распределения концентрации компонента i ..... Пока писал, что-то задумался - а вообще, в приведенной постановке, это задача из теорвера или из "раздела школьной математики про дроби"? 0

@alezhe 10 / 8 / 0 Регистрация: 02.06.2013 Сообщений: 54
	26.04.2018, 17:11 [ТС]	5
	Сообщение от passant Что бы смоделировать случайную величину, надо знать функцию распределения. Если "Требуется определить распределение итоговой концентрации" то у вас также должны быть исходные распределения. Я собственно и спрашивал совета, какая исходная случайная величина (величины) и преобразования над ними будут адекватно моделировать процесс смешивания. Вот, если на пальцах - готовим торт. Нужно взять 1 часть воды и 1 часть молока. Есть вода, молоко, и уже разведенное в нужной пропорции молоко, но в количестве в три раз меньше требуемого. Из "раздела школьной математики про дроби" мы легко вычисляем, что нужно взять 1/3 воды, 1/3 молока и 1/3 готовой смеси молока и воды. Т.е. у нас есть три раствора в каждом из которых доля (концентрация) молока $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c}_{i}$ : 0, 1 и 0.5, соответственно. На практике мы используем один мерный стакан и, отмеряя каждую из жидкостей, безусловно, имеем погрешность (можно наливать вообще "на глаз", а можно, как учат "по нижнему мениску"). И доля каждой жидкости в итоговой смеси ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\alpha }_{i}$ ) будет варьировать. Вопрос: каково распределение итоговой концентрации (доли) молока в полученной смеси? Функция распределения или функция плотности распределения. Зная одно, я попытаюсь определить другое, ну и матожидание заодно. 0

@passant 578 / 411 / 68 Регистрация: 09.01.2018 Сообщений: 1,361
	26.04.2018, 20:26	6
	Вопрос: каково распределение итоговой концентрации (доли) молока в полученной смеси? Ответ: для того, что бы построить итоговое распределение надо знать исходное распределение. Именно распределение, а не одно матожидание. Пока-же, даже так, как вы это описали в последнем сообщении, с_i-это всего-лишь число. Без дисперсии, без доверительных интервалов, даже без тех самых погрешностей, и тем более - без исходного распределения. 0

@alezhe 10 / 8 / 0 Регистрация: 02.06.2013 Сообщений: 54
	27.04.2018, 02:11 [ТС]	7
	Сообщение от passant Ответ: для того, что бы построить итоговое распределение надо знать исходное распределение. Дэкк.... ээээ..... ну.... ... я знаю, что нужно исходное распределение. are you taking me for a simpleton Потому и спрашивал как смоделировать смесь. Решая задачи вроде ... Среднее число сигналов, поступающих на станцию в течение минуты, равно 9. Чему равна вероятность, что за три минуты на станцию поступит 25 вызовов? ... мы понимаем, что это не реальный пуассоновский процесс, мы просто допускаем, что такая модель даст приемлимое приближение к действительности. 0

@passant 578 / 411 / 68 Регистрация: 09.01.2018 Сообщений: 1,361
	27.04.2018, 12:04	8
	В приведенном вами примере с пуассоновским процессом необходимо обратить внимание на то, что этот процесс однопараметрический, т.е. действительно полностью описывается единственным параметром -"средним числом сигналов в минуту". Концентрация молока в воде - скорее всего (?! - по хорошему, это надо еще и проверить) подчиняется нормальному закону распределения. А нормальный закон - двухпараметрический, для полного его представления надо знать матожидание и дисперсию. Если эти две величины вам известны, тогда все просто 1. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий. 2. Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов. 3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. 4. Дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов. Т.е. через эти свойства статистик вы получаете параметры закона распределения вашей смеси. Но в исходной постановке нет ни дисперсии, ни хотя-бы доверительного интервала. Таким образом имеем - либо это какая-то задача адаптированная для школьной программы (типа даны пропорции компонентов, найти пропорции смеси), либо тут не хватает информации для ее "взрослого" решения. P.S. Если же вы опять возвращаетесь к "Смоделировать", то хочу заметить, что смоделировать случайную последовательность также можно только зная параметры закона ее распределения. Просто в случае "определить" вы получаете формульное представление решения, а в случае "смоделировать" компьютер сгенерирует вам последовательности, из которых вы программно получите данные о смести, из которых, в свою очередь, построив гистограммы или применив соответствующие методы получите параметры закона распределения смеси. Прелесть моделирования в том, что оно даст вам ответ при любом, самом замысловатом законе распределения исходных последовательностей. А "формульный подход" дает решение только для некоторых известных законов. 0

@alezhe 10 / 8 / 0 Регистрация: 02.06.2013 Сообщений: 54
	27.04.2018, 12:33 [ТС]	9
	Сообщение от passant Концентрация молока в воде - скорее всего (?! - по хорошему, это надо еще и проверить) подчиняется нормальному закону распределения. Спасибо, если честно. Прежде всего, хочу сказать, что это не "школьная задача", а попытка найти решение для прикладной. Таким образом, параметры распределения я смогу определить практическим путем: возьму мерный стаканчик и 100 раз отмерю им некое количество жидкости - оценю матожидание и дисперсию и что еще понадобится. Что касается нормального распределения: а) мне кажется не очень удачно моделировать отмеривание компонента случайной величиной, определенной на бесконечном интервале. То бишь, не смотря на та каким бы неудачником я не был, я не смогу отмерить отрицательное количество молока. б) чтобы определить распределение интересующего меня параметра С (итоговое содержание молока) мне придется разделить одну нормально распределенную случайную величину на другую нормально распределенную случайную величину. Обе эти величины будут с разными матожиданиями и дисперсиями, а это, как я понимаю, не нормальная случайная величина и не очень хорошо определяется. 0

@passant 578 / 411 / 68 Регистрация: 09.01.2018 Сообщений: 1,361
	27.04.2018, 17:08	10
	Вообще-то классика говорит, что "случайные ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения". И с ним проблем будет поменьше, чем с любым другим. Поэтому я и говорил, что если бы вы именно "моделировали", то можно было бы использовать любой закон, а вот если вы хотите "определить" (т.е. выписать формулу) то с "ненормальными" законами могут возникнуть сложности. Кстати: Математическое ожидание частного двух взаимно независимых случайных величин равно произведению математического ожидания делимого на математическое ожидание величины обратной делителю. А вот уже с дисперсией даже тут возникают проблемы. 0

Опции темы