Распределение вероятностей случайных величин

@GalinaMineeva · Регистрация: 15.05.2016

Случайная точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=(\xi _1;\xi _2;\xi _3)$ имеет равномерное распределение на сфере $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2+z^2=1$ . Найти распределение проекций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\xi _1, \xi _2)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi _1$ точки А на плоскость (х,y) и на ось х.

Заранее огромное спасибо! Даже не знаю с чего начать((
Ответ в сборнике: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{\xi _1,\xi _2}(x,y)=\frac{1}{2\pi sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2\leq 1_); p_{\xi _1}=\frac{1}{2}(|x|\leq 1 )$

@jogano · 21.12.2018, 00:06

Первый ответ такой и есть, второй не проверял пока.
Начать с того, что такое плотность вектора. Это предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{dx \to 0\\ dy \to 0}\frac{P\left(\xi _1 \in \left[x;x+dx \right], \: \xi _2 \in \left[y;y+dy \right] \right)}{dxdy}$ . Словами: на плоскости XOY берётся малая прямоугольная площадка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[x;x+dx \right]\times \left[y;y+dy \right]$ , куда попадает случайная точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\xi _1;\xi _2 \right)$ , найти площадь части сферы в пределах этой площадки (будут два одинаковых куска над и под плоскостью XOY), и эту площадь разделить на площадь поверхности всей сферы, т.е. на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\pi$ . Далее вспоминаем, как искать площадь участка на поверхности. Площадь этих малых участков на сфере будет пропорциональна произведению dxdy, которое по первой формуле сократится. Т.е. dS=какая_то_функция_от_х_и_y*dxdy. Вот эту функцию вам и нужно найти.
Просто площадь нужно брать в случае равномерного распределения по поверхности сферы, как у вас. Если бы распределение на сфере было другим, то нужно было бы dS умножить на совместную плотность трёхмерного распределения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x;y;\sqrt{1-x^2-y^2} \right)$ , но у вас это константа 1/(4П).

@GalinaMineeva · 22.12.2018, 23:39 **[ТС]**

Добавлено через 3 минуты
jogano, спасибо огромное! уже есть общее понимание. А как вы получили корень в знаменателе?

@jogano · 23.12.2018, 12:42

Сообщение от GalinaMineeva

А как вы получили корень в знаменателе?

Ну как... руками на бумаге

. А если серьёзно, то это уже будет полным решением. Что в это время будете делать вы, кроме списывания готового?
Поднимите тему матанализа "Поверхностные интегралы" - форум учебника не заменяет. Даже без перехода к полярно-сферической системе координат.

@GalinaMineeva · 25.12.2018, 21:41 **[ТС]**

хорошо!) все получилось) еще раз спасибо!)

@GalinaMineeva 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.05.2016 Сообщений: 28
		1
	Распределение вероятностей случайных величин 20.12.2018, 23:38. Показов 1587. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Случайная точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=(\xi _1;\xi _2;\xi _3)$ имеет равномерное распределение на сфере $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2+z^2=1$ . Найти распределение проекций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\xi _1, \xi _2)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi _1$ точки А на плоскость (х,y) и на ось х. Заранее огромное спасибо! Даже не знаю с чего начать(( Ответ в сборнике: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_{\xi _1,\xi _2}(x,y)=\frac{1}{2\pi sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2\leq 1_); p_{\xi _1}=\frac{1}{2}(\|x\|\leq 1 )$ 0

@jogano Модератор $Эксперт по математике/физике$ 6351 / 4060 / 1509 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	21.12.2018, 00:06	2
	Сообщение было отмечено GalinaMineeva как решение Решение Первый ответ такой и есть, второй не проверял пока. Начать с того, что такое плотность вектора. Это предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{dx \to 0\\ dy \to 0}\frac{P\left(\xi _1 \in \left[x;x+dx \right], \: \xi _2 \in \left[y;y+dy \right] \right)}{dxdy}$ . Словами: на плоскости XOY берётся малая прямоугольная площадка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[x;x+dx \right]\times \left[y;y+dy \right]$ , куда попадает случайная точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\xi _1;\xi _2 \right)$ , найти площадь части сферы в пределах этой площадки (будут два одинаковых куска над и под плоскостью XOY), и эту площадь разделить на площадь поверхности всей сферы, т.е. на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\pi$ . Далее вспоминаем, как искать площадь участка на поверхности. Площадь этих малых участков на сфере будет пропорциональна произведению dxdy, которое по первой формуле сократится. Т.е. dS=какая_то_функция_от_х_и_y*dxdy. Вот эту функцию вам и нужно найти. Просто площадь нужно брать в случае равномерного распределения по поверхности сферы, как у вас. Если бы распределение на сфере было другим, то нужно было бы dS умножить на совместную плотность трёхмерного распределения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x;y;\sqrt{1-x^2-y^2} \right)$ , но у вас это константа 1/(4П). 1

@GalinaMineeva 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.05.2016 Сообщений: 28
	22.12.2018, 23:39 [ТС]	3
	Добавлено через 3 минуты jogano, спасибо огромное! уже есть общее понимание. А как вы получили корень в знаменателе? 0

@jogano Модератор $Эксперт по математике/физике$ 6351 / 4060 / 1509 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.12.2018, 12:42	4
	Сообщение от GalinaMineeva А как вы получили корень в знаменателе? Ну как... руками на бумаге . А если серьёзно, то это уже будет полным решением. Что в это время будете делать вы, кроме списывания готового? Поднимите тему матанализа "Поверхностные интегралы" - форум учебника не заменяет. Даже без перехода к полярно-сферической системе координат. 0

@GalinaMineeva 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.05.2016 Сообщений: 28
	25.12.2018, 21:41 [ТС]	5
	хорошо!) все получилось) еще раз спасибо!) 0

Опции темы

Распределение вероятностей случайных величин

Решение