Непрерывная случайная величина. Функция плотности распределения

@PC_user1 · Регистрация: 17.11.2018

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте. Возник вопрос по решению задачи.
Объясните, пожалуйста, верен ли такой ход решения и как в таком случае находить дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
Дана следующая функция
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(x) = \begin{cases} & \text{ 0, } x < 0\\ & \text{ C{x}^{2}, } 0\leq x < 2 \\ & \text{ 2C{(x-4)}^{2}, } 2 < x \leq 4 \\ & \text{ 0, } x > 4 \end{cases}$
Сначала я определяю константу C (по формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\infty }^{+\infty }p(x)dx = 1$ ):

1.1)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2}C{x}^{2}dx = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(\frac{1}{3}{x}^{3} {{|}^{2}}_{0}) = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C = \frac{3}{8}$

2.1)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{2}^{4}2C{(x-4)}^{2}dx = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{2}^{4}2C{(x}^{2}-8x+16)dx = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(\frac{2}{3}{x}^{3}-8{x}^{2}+32x {{\mid}^{4}}_{2}) = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(\frac{128}{3}-\frac{112}{3}) = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C = \frac{3}{16}$
Я получаю плотность
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(x) = \begin{cases} & \text{ 0, } x < 0\\ & \text{ \frac{3}{8}{x}^{2}, } 0\leq x < 2 \\ & \text{ \frac{3}{8}{(x-4)}^{2}, } 2 < x \leq 4 \\ & \text{ 0, } x > 4 \end{cases}$
Далее вычисляю математическое ожидание (по формулам $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{\xi } = \int_{-\infty }^{+\infty }xp(x)dx$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{{\xi }^{2}} = \int_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}p(x)dx$ ):

1.2)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{\xi } =\int_{0}^{2}\frac{3}{8}{x}^{3}dx = \frac{3}{32}{x}^{4}{{\mid}^{2}}_{0} = \frac{3}{2}$

2.2)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{\xi}=\int_{2}^{4}x\frac{3}{8}{(x-4)}^{2}dx =\int_{2}^{4}x\frac{3}{8}({x}^{2}-8x+16)dx = \int_{2}^{4}(\frac{3}{8}{x}^{3}-3{x}^{2}+6x)dx = \frac{3}{32}{x}^{4}-{x}^{3}+3{x}^{2} {{\mid}^{4}}_{2} = 8 - \frac{55}{10} = \frac{25}{10}$

1.3)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{{\xi }^{2}} = \int_{0}^{2}\frac{3}{8}{x}^{4}dx = \frac{3}{40}{x}^{5} {{\mid}^{2}}_{0} = \frac{96}{40}$

2.3)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{{\xi }^{2}} = \int_{2}^{4}{x}^{2}\frac{3}{8}{(x-4)}^{2}dx =\int_{2}^{4}{x}^{2}\frac{3}{8}({x}^{2}-8x+16)dx =\int_{2}^{4}(\frac{3}{8}{x}^{4}-3{x}^{3}+6{x}^{2})dx = \frac{3}{40}{x}^{5}-\frac{3}{4}{x}^{4}+2{x}^{3}{{\mid}^{4}}_{2} = \frac{64}{5}-\frac{32}{5}=\frac{32}{5}$

После этого я вычисляю функцию распределения (по формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{-\infty }^{x}p(t)dt$ ):
1.4)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{0}^{x}\frac{3}{8}{t}^{2}dt = \frac{1}{8}{t}^{3}{{\mid}^{x}}_{0} = \frac{1}{8}{x}^{3}$

2.4)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{0}^{x}\frac{3}{8}{(t-4)}^{2}dt = \int_{0}^{x}(\frac{3}{8}{t}^{2}-3t+6)dt = \frac{1}{8}{t}^{3}-\frac{3}{2}{t}^{2}+6t{{\mid}^{x}}_{0} = \frac{1}{8}{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x$

Тогда функция распределения должна (по идее) выглядеть так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)= \begin{cases} & \text{ 0, } x < 0\\ & \text{ \frac{1}{8}{x}^{3}, } 0\leq x < 2 \\ & \text{\frac{1}{8}{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x, } 2 < x \leq 4 \\ & \text{ 1, } x > 4 \end{cases}$

@mihailm · 26.06.2020, 23:40

Функцию распределения надо аккуратнее считать.
При x от 2 до 4 это F(2) + интеграл от 2 до x от второй квадратичной функции

@jogano · 26.06.2020, 23:48

Пункты 1.1 и 1.2 уже не правильные - сумма двух интегралов равна 1, а не каждый в отдельности. Причём константа С одинакова в этих пунктах, не зря же обозначена одной буквой. А у вас получились разные значения, что должно было насторожить. Кстати, плотность разрывная функция - разрыв I рода в точке х=2.
С матожиданиями та же картина - вы дважды вычисляете $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\xi$ , а на самом деле матожидание равно сумме двух интегралов.
Вы столько времени потратили на набор в редакторе формул (аж мне жалко),а теперь переделывать. Вы бы хоть по пару пунктов за раз писали, чтобы не переписывать.

@PC_user1 1 / 1 / 0 Регистрация: 17.11.2018 Сообщений: 46
		1
	Непрерывная случайная величина. Функция плотности распределения 26.06.2020, 23:30. Показов 1167. Ответов 2 Метки плотность вероятности, распределение, функция распределения (Все метки) Здравствуйте. Возник вопрос по решению задачи. Объясните, пожалуйста, верен ли такой ход решения и как в таком случае находить дисперсию и среднеквадратичное отклонение. Дана следующая функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(x) = \begin{cases} & \text{ 0, } x < 0\\ & \text{ C{x}^{2}, } 0\leq x < 2 \\ & \text{ 2C{(x-4)}^{2}, } 2 < x \leq 4 \\ & \text{ 0, } x > 4 \end{cases}$ Сначала я определяю константу C (по формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{-\infty }^{+\infty }p(x)dx = 1$ ): 1.1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{2}C{x}^{2}dx = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(\frac{1}{3}{x}^{3} {{\|}^{2}}_{0}) = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C = \frac{3}{8}$ 2.1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{2}^{4}2C{(x-4)}^{2}dx = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{2}^{4}2C{(x}^{2}-8x+16)dx = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(\frac{2}{3}{x}^{3}-8{x}^{2}+32x {{\mid}^{4}}_{2}) = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(\frac{128}{3}-\frac{112}{3}) = 1$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C = \frac{3}{16}$ Я получаю плотность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p(x) = \begin{cases} & \text{ 0, } x < 0\\ & \text{ \frac{3}{8}{x}^{2}, } 0\leq x < 2 \\ & \text{ \frac{3}{8}{(x-4)}^{2}, } 2 < x \leq 4 \\ & \text{ 0, } x > 4 \end{cases}$ Далее вычисляю математическое ожидание (по формулам $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{\xi } = \int_{-\infty }^{+\infty }xp(x)dx$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{{\xi }^{2}} = \int_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}p(x)dx$ ): 1.2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{\xi } =\int_{0}^{2}\frac{3}{8}{x}^{3}dx = \frac{3}{32}{x}^{4}{{\mid}^{2}}_{0} = \frac{3}{2}$ 2.2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{\xi}=\int_{2}^{4}x\frac{3}{8}{(x-4)}^{2}dx =\int_{2}^{4}x\frac{3}{8}({x}^{2}-8x+16)dx = \int_{2}^{4}(\frac{3}{8}{x}^{3}-3{x}^{2}+6x)dx = \frac{3}{32}{x}^{4}-{x}^{3}+3{x}^{2} {{\mid}^{4}}_{2} = 8 - \frac{55}{10} = \frac{25}{10}$ 1.3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{{\xi }^{2}} = \int_{0}^{2}\frac{3}{8}{x}^{4}dx = \frac{3}{40}{x}^{5} {{\mid}^{2}}_{0} = \frac{96}{40}$ 2.3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{M}_{{\xi }^{2}} = \int_{2}^{4}{x}^{2}\frac{3}{8}{(x-4)}^{2}dx =\int_{2}^{4}{x}^{2}\frac{3}{8}({x}^{2}-8x+16)dx =\int_{2}^{4}(\frac{3}{8}{x}^{4}-3{x}^{3}+6{x}^{2})dx = \frac{3}{40}{x}^{5}-\frac{3}{4}{x}^{4}+2{x}^{3}{{\mid}^{4}}_{2} = \frac{64}{5}-\frac{32}{5}=\frac{32}{5}$ После этого я вычисляю функцию распределения (по формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{-\infty }^{x}p(t)dt$ ): 1.4) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{0}^{x}\frac{3}{8}{t}^{2}dt = \frac{1}{8}{t}^{3}{{\mid}^{x}}_{0} = \frac{1}{8}{x}^{3}$ 2.4) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{0}^{x}\frac{3}{8}{(t-4)}^{2}dt = \int_{0}^{x}(\frac{3}{8}{t}^{2}-3t+6)dt = \frac{1}{8}{t}^{3}-\frac{3}{2}{t}^{2}+6t{{\mid}^{x}}_{0} = \frac{1}{8}{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x$ Тогда функция распределения должна (по идее) выглядеть так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)= \begin{cases} & \text{ 0, } x < 0\\ & \text{ \frac{1}{8}{x}^{3}, } 0\leq x < 2 \\ & \text{\frac{1}{8}{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}+6x, } 2 < x \leq 4 \\ & \text{ 1, } x > 4 \end{cases}$ 0

@mihailm 1590 / 1040 / 278 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,123
	26.06.2020, 23:40	2
	Функцию распределения надо аккуратнее считать. При x от 2 до 4 это F(2) + интеграл от 2 до x от второй квадратичной функции 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	26.06.2020, 23:48	3
	Сообщение было отмечено PC_user1 как решение Решение Пункты 1.1 и 1.2 уже не правильные - сумма двух интегралов равна 1, а не каждый в отдельности. Причём константа С одинакова в этих пунктах, не зря же обозначена одной буквой. А у вас получились разные значения, что должно было насторожить. Кстати, плотность разрывная функция - разрыв I рода в точке х=2. С матожиданиями та же картина - вы дважды вычисляете $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M\xi$ , а на самом деле матожидание равно сумме двух интегралов. Вы столько времени потратили на набор в редакторе формул (аж мне жалко),а теперь переделывать. Вы бы хоть по пару пунктов за раз писали, чтобы не переписывать. 1

Непрерывная случайная величина. Функция плотности распределения

Решение