ЦПТ и сходимость по вероятности

@chelogrek · Регистрация: 21.09.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Задали задачку, совершенно нет идей, как её решать, буду благодарен за любую помощь:

Придумать пример такой, что в ЦПТ (классич.) не выполняется сходимость по вероятности.

@rahim · 24.06.2013, 11:38

В ЦПТ нет и не может быть сходимости по вероятности. Поэтому в качестве примера годится что угодно. Просто докажите отсутствие таковой сходимости в ЦПТ, и все.

@chelogrek · 24.06.2013, 12:27 **[ТС]**

Спасибо! А на что опереться в док-ве?
Могут ли независимые с.в. сходиться по вер-ти к чему-то? Или дело не в независимости?

Простите за глупые, м.б., вопросы, я этот предмет хуже всего понял

@rahim · 24.06.2013, 12:44

Нет, независимые с.в. не могут ни к чему сходиться по вероятности, если только их распределение невырождено. В принципе, это факт схожий по смыслу, хотя в ЦПТ стандартизованные суммы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n'=\frac{S_n-na}{\sigma\sqrt{n}}$ зависимы. Можно взять, чтоб не путалось, a=0, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma=1$ .

Разумеется, от противного надо идти: пусть есть сходимость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n' \to X$ по вероятности, где X имеет, конечно же, стандартное нормальное распределение. Рассмотрите поведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{2n}'$ , которая тогда туда же сходится, и разбейте сумму на сумму первых n и следующих n. Вот изучая, куда по вероятности будет сходиться (из предположений про пределы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n'$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{2n}'$ ) стандартизованная сумма следующих n слагаемых, и нужно получить противоречие. Противоречие должно быть такого плана: по вероятности она тогда сходится туда-то, к величине с таким-то распределением, а по ЦПТ, по распределению - к величине с совсем иным распределением.

Добавлено через 5 минут
А схожий по смыслу этот факт с отсутствием сходимости по вероятности независимых с.в. потому, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n'$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k'$ асимптотически независимы при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n,k\to\infty$ так, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|n-k|\to\infty$ . Но доказывается это совершенно аналогично тому, как я предложил выше.
Поэтому лучше доказать отсутствие сходимости напрямую, чем тем же путем доказывать более общие факты, чтобы потом ими воспользоваться.

@chelogrek · 25.06.2013, 00:31 **[ТС]**

Простите ещё раз, пока плохо всё это понял, что нужно делать, объясните если не трудно:

1) отчего станд. суммы зависимы?
2) нужно разбить сумму именно чётной подпосл-ти?
3) и как смотреть, к величине с каким распред-м они сходятся при предположении сходимости по вер-ти?

@rahim · 25.06.2013, 00:51

Как "отчего"? Оттого, что построены по одним и тем же слагаемым.
Разбить не сумму какой-то подпоследовательности, а сумму вдвое большего числа слагаемых на два куска - первую половину и вторую.
Ну так попробуйте, Вы ж ещё ничего не сделали. На мой взгляд, я и так уже написал полное решение.

@chelogrek · 27.06.2013, 20:31 **[ТС]**

Сообщение от rahim

Противоречие должно быть такого плана: по вероятности она тогда сходится туда-то, к величине с таким-то распределением, а по ЦПТ, по распределению - к величине с совсем иным распределением.

скажите, я правильно понял, что имеются в виду две гауссовские с.в., но одна с нулевой, а другая с ненулевой дисперсией?

Добавлено через 8 минут
(Точнее, одна с единичной, а другая не с единичной)

@rahim · 27.06.2013, 20:59

Да, так и есть.

@chelogrek · 27.06.2013, 21:00 **[ТС]**

Спасибо!

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
		1
	ЦПТ и сходимость по вероятности 24.06.2013, 10:37. Показов 2874. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Задали задачку, совершенно нет идей, как её решать, буду благодарен за любую помощь: Придумать пример такой, что в ЦПТ (классич.) не выполняется сходимость по вероятности. 0

@rahim 619 / 282 / 10 Регистрация: 22.01.2013 Сообщений: 874
	24.06.2013, 11:38	2
	В ЦПТ нет и не может быть сходимости по вероятности. Поэтому в качестве примера годится что угодно. Просто докажите отсутствие таковой сходимости в ЦПТ, и все. 1

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	24.06.2013, 12:27 [ТС]	3
	Спасибо! А на что опереться в док-ве? Могут ли независимые с.в. сходиться по вер-ти к чему-то? Или дело не в независимости? Простите за глупые, м.б., вопросы, я этот предмет хуже всего понял 0

@rahim 619 / 282 / 10 Регистрация: 22.01.2013 Сообщений: 874
	24.06.2013, 12:44	4
	Нет, независимые с.в. не могут ни к чему сходиться по вероятности, если только их распределение невырождено. В принципе, это факт схожий по смыслу, хотя в ЦПТ стандартизованные суммы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n'=\frac{S_n-na}{\sigma\sqrt{n}}$ зависимы. Можно взять, чтоб не путалось, a=0, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma=1$ . Разумеется, от противного надо идти: пусть есть сходимость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n' \to X$ по вероятности, где X имеет, конечно же, стандартное нормальное распределение. Рассмотрите поведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{2n}'$ , которая тогда туда же сходится, и разбейте сумму на сумму первых n и следующих n. Вот изучая, куда по вероятности будет сходиться (из предположений про пределы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n'$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{2n}'$ ) стандартизованная сумма следующих n слагаемых, и нужно получить противоречие. Противоречие должно быть такого плана: по вероятности она тогда сходится туда-то, к величине с таким-то распределением, а по ЦПТ, по распределению - к величине с совсем иным распределением. Добавлено через 5 минут А схожий по смыслу этот факт с отсутствием сходимости по вероятности независимых с.в. потому, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n'$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_k'$ асимптотически независимы при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n,k\to\infty$ так, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|n-k\|\to\infty$ . Но доказывается это совершенно аналогично тому, как я предложил выше. Поэтому лучше доказать отсутствие сходимости напрямую, чем тем же путем доказывать более общие факты, чтобы потом ими воспользоваться. 1

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	25.06.2013, 00:31 [ТС]	5
	Простите ещё раз, пока плохо всё это понял, что нужно делать, объясните если не трудно: 1) отчего станд. суммы зависимы? 2) нужно разбить сумму именно чётной подпосл-ти? 3) и как смотреть, к величине с каким распред-м они сходятся при предположении сходимости по вер-ти? 0

@rahim 619 / 282 / 10 Регистрация: 22.01.2013 Сообщений: 874
	25.06.2013, 00:51	6
	Как "отчего"? Оттого, что построены по одним и тем же слагаемым. Разбить не сумму какой-то подпоследовательности, а сумму вдвое большего числа слагаемых на два куска - первую половину и вторую. Ну так попробуйте, Вы ж ещё ничего не сделали. На мой взгляд, я и так уже написал полное решение. 0

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	27.06.2013, 20:31 [ТС]	7
	Сообщение от rahim Противоречие должно быть такого плана: по вероятности она тогда сходится туда-то, к величине с таким-то распределением, а по ЦПТ, по распределению - к величине с совсем иным распределением. скажите, я правильно понял, что имеются в виду две гауссовские с.в., но одна с нулевой, а другая с ненулевой дисперсией? Добавлено через 8 минут (Точнее, одна с единичной, а другая не с единичной) 0

@rahim 619 / 282 / 10 Регистрация: 22.01.2013 Сообщений: 874
	27.06.2013, 20:59	8
	Да, так и есть. 0

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	27.06.2013, 21:00 [ТС]	9
	Спасибо! 0

Опции темы