Извлечь кубический корень из комплексного числа

@Declarer · Регистрация: 07.02.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}$
Объясните пожалуйста на этом примере, как извлекать такие корни.

Байт · 24.02.2014, 18:49

Сообщение от Declarer

Объясните пожалуйста на этом примере

приводишь к тригонометрическому виду 10+9 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{3}i$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{100+243}(cos\varphi + i sin\varphi )$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi = arctg(9\sqrt{3}/10)$
Далее по формуле Муавра
z = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[6]{343}(cos\varphi /3 + i sin\varphi /3)$

@kabenyuk · 27.02.2014, 08:40

Вообще-то
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{10+9\sqrt3i}=-2+\sqrt3i.$
Проверить легко, но вот как найти - вопрос. Только опыт - сын ошибок трудных.

Байт · 27.02.2014, 10:14

Хм... Возвел -2+ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\sqrt{3}$ в куб, получилось 4+5 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\sqrt{3}$ .
Мог и ошибиться, в устном счете не силен...

Добавлено через 2 минуты
Таки я ошибся. Проверил по модулям...

Добавлено через 13 минут
Еще раз пересчитал - у вас все правильно! Ошибся в квадрате разности..

@Том Ардер · 28.02.2014, 02:41

Ещё два варианта:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}=\left( \frac{5+\sqrt{3}i}{2},\; \frac{-1-3\sqrt{3}i}{2}\right) $

@Declarer · 28.02.2014, 21:38 **[ТС]**

Том Ардер, а как Вы нашли?

@Том Ардер · 28.02.2014, 22:05

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}=a+bi $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left\{\begin{matrix}a^3-3ab^2=10\\ 3a^2b-b^3=9\sqrt{3}\end{matrix} $
С учётом равенства для модулей:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(a^2+b^2)}^{3}=343=7^3$
получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4a^3-21a-10=0$
Один корень уже известен: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=-2$ , дальше всё сводится к квадратному уравнению.

Байт · 28.02.2014, 22:20

Том Ардер, Оказалось просто, как все гениальное.

Извлечь кубический корень из комплексного числа

Решение

Решение

Решение

@Declarer 13 / 13 / 6 Регистрация: 07.02.2013 Сообщений: 214
		1
	Извлечь кубический корень из комплексного числа 24.02.2014, 17:23. Показов 4004. Ответов 7 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}$ Объясните пожалуйста на этом примере, как извлекать такие корни. 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	24.02.2014, 18:49	2
	Сообщение было отмечено Declarer как решение Решение Сообщение от Declarer Объясните пожалуйста на этом примере приводишь к тригонометрическому виду 10+9 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{3}i$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{100+243}(cos\varphi + i sin\varphi )$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi = arctg(9\sqrt{3}/10)$ Далее по формуле Муавра z = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[6]{343}(cos\varphi /3 + i sin\varphi /3)$ 2

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	27.02.2014, 08:40	3
	Сообщение было отмечено Байт как решение Решение Вообще-то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[3]{10+9\sqrt3i}=-2+\sqrt3i.$ Проверить легко, но вот как найти - вопрос. Только опыт - сын ошибок трудных. 2

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	27.02.2014, 10:14	4
	Хм... Возвел -2+ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\sqrt{3}$ в куб, получилось 4+5 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\sqrt{3}$ . Мог и ошибиться, в устном счете не силен... Добавлено через 2 минуты Таки я ошибся. Проверил по модулям... Добавлено через 13 минут Еще раз пересчитал - у вас все правильно! Ошибся в квадрате разности.. 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	28.02.2014, 02:41	5
	Ещё два варианта: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}=\left( \frac{5+\sqrt{3}i}{2},\; \frac{-1-3\sqrt{3}i}{2}\right)<br />$ 2

@Declarer 13 / 13 / 6 Регистрация: 07.02.2013 Сообщений: 214
	28.02.2014, 21:38 [ТС]	6
	Том Ардер, а как Вы нашли? 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4217 / 3412 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	28.02.2014, 22:05	7
	Сообщение было отмечено как решение Решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}=a+bi<br />$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \left\{\begin{matrix}a^3-3ab^2=10\\ 3a^2b-b^3=9\sqrt{3}\end{matrix}<br />$ С учётом равенства для модулей: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{(a^2+b^2)}^{3}=343=7^3$ получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4a^3-21a-10=0$ Один корень уже известен: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=-2$ , дальше всё сводится к квадратному уравнению. 3

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	28.02.2014, 22:20	8
	Том Ардер, Оказалось просто, как все гениальное. 0

Опции темы