Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления

@aelfot · Регистрация: 31.01.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый вечер, форумчане.
Есть следующие начальные условия:
x''+x=sh t, где x(0)=2, x'(0)=1.
Размышляю так, формула преобразования Лапласа функции:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t)\rightarrow X(p)$
Формула преобразования второй производной:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x"(t)\rightarrow p^2 X(p)- px(0)-x'(0)$
Подставим имеющиеся начальные значения, получим:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x"(t)\rightarrow p^2 X(p)- 2p-1$
Далее разложим гиперболический синус так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}$
Далее произведём преобразования Лапласа над разложенным гиперболическим синусом используя свойство линейности и следующую формулу:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{at}=\frac{1}{p-a}$
Получим:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\rightarrow \frac{1}{2(p-1)}-\frac{1}{2(p+1)}$
Теперь перейдём к изображениям:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^2 X(p)-2p-1+X(p)=\frac{1}{2(p-1)}-\frac{1}{2(p+1)}$
Теперь выделим операторное решение слева:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^2 X(p)+X(p)=\frac{1}{2(p-1)}-\frac{1}{2(p+1)}+2p+1$
Далее:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)(p^2 +1)=\frac{1}{2(p-1)}-\frac{1}{2(p+1)}+2p+1$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)(p^2 +1)=\frac{p+1-p+1}{2(p-1)(p+1)}+2p+1$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)(p^2 +1)=\frac{1}{(p^2+1)}+2p+1$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)=\frac{1}{(p^2+1)^2}+ \frac{2p}{p^2+1}+\frac{1}{p^2+1}$
И вот тут стопор, я не могу осуществить обратное преобразование первого слагаемого, 2 и 3-е могу, но первое нет. Что я делаю не так?

@Том Ардер · 13.06.2015, 20:30

Снова подводит простейшая алгебра.
3-я формула снизу, знаменатель: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(p-1)(p+1)=???$

@aelfot · 13.06.2015, 20:42 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^2-1^2=p^2-1$

Добавлено через 5 минут
Но тогда получается:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)(p^2+1)=\frac{1}{p^2-1}+2p+1$
Далее:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)=\frac{1}{(p^2-1)(p^2+1)}+ \frac{2p}{(p^2+1)} +\frac{1}{(p^2+1)}$
Далее:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)=\frac{1}{(p^4-1)}+ \frac{2p}{(p^2+1)} +\frac{1}{(p^2+1)}$
И вновь стопор с первым слагаемым (

@Том Ардер · 13.06.2015, 21:22

Разложение на простейшие дроби:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{(p^2-1)(p^2+1)}=\frac{1}{2(p^2-1)}-\frac{1}{2(p^2+1)}$

@aelfot · 13.06.2015, 21:32 **[ТС]**

я попробовал подвести их под общий знаменатель, и решить методом неопределённых коэффициентов, получилось вот что:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)=\frac{p+\frac{1}{2}}{p^2-1}+\frac{p+\frac{1}{2}}{p^2+1}$
Но от этого не легче (

Добавлено через 1 минуту
Но как Вы это сделали? Или это какое-то табличное разложение о котором я не знал?

@Том Ардер · 13.06.2015, 21:42

Сообщение от aelfot

попробовал подвести их под общий знаменател

Во-первых, не нужно - чем проще дробь, тем легче с ней работать;
во-вторых, снова с алгеброй проблемы - сколько можно?!

http://mathprofi.ru/reshenie_d... enija.html
http://www.bymath.net/studygui... opics.html
http://integraloff.net/stuff/decompose.php
http://www.cleverstudents.ru/i... nsion.html

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@aelfot 0 / 0 / 1 Регистрация: 31.01.2014 Сообщений: 30

	Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления 13.06.2015, 20:23. Показов 3299. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Добрый вечер, форумчане. Есть следующие начальные условия: x''+x=sh t, где x(0)=2, x'(0)=1. Размышляю так, формула преобразования Лапласа функции: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t)\rightarrow X(p)$ Формула преобразования второй производной: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x"(t)\rightarrow p^2 X(p)- px(0)-x'(0)$ Подставим имеющиеся начальные значения, получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x"(t)\rightarrow p^2 X(p)- 2p-1$ Далее разложим гиперболический синус так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}$ Далее произведём преобразования Лапласа над разложенным гиперболическим синусом используя свойство линейности и следующую формулу: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{at}=\frac{1}{p-a}$ Получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sh(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}\rightarrow \frac{1}{2(p-1)}-\frac{1}{2(p+1)}$ Теперь перейдём к изображениям: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^2 X(p)-2p-1+X(p)=\frac{1}{2(p-1)}-\frac{1}{2(p+1)}$ Теперь выделим операторное решение слева: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^2 X(p)+X(p)=\frac{1}{2(p-1)}-\frac{1}{2(p+1)}+2p+1$ Далее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)(p^2 +1)=\frac{1}{2(p-1)}-\frac{1}{2(p+1)}+2p+1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)(p^2 +1)=\frac{p+1-p+1}{2(p-1)(p+1)}+2p+1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)(p^2 +1)=\frac{1}{(p^2+1)}+2p+1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)=\frac{1}{(p^2+1)^2}+ \frac{2p}{p^2+1}+\frac{1}{p^2+1}$ И вот тут стопор, я не могу осуществить обратное преобразование первого слагаемого, 2 и 3-е могу, но первое нет. Что я делаю не так? 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	13.06.2015, 20:30
	Снова подводит простейшая алгебра. 3-я формула снизу, знаменатель: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(p-1)(p+1)=???$ 1

@aelfot 0 / 0 / 1 Регистрация: 31.01.2014 Сообщений: 30
	13.06.2015, 20:42 [ТС]
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p^2-1^2=p^2-1$ Добавлено через 5 минут Но тогда получается: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)(p^2+1)=\frac{1}{p^2-1}+2p+1$ Далее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)=\frac{1}{(p^2-1)(p^2+1)}+ \frac{2p}{(p^2+1)} +\frac{1}{(p^2+1)}$ Далее: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)=\frac{1}{(p^4-1)}+ \frac{2p}{(p^2+1)} +\frac{1}{(p^2+1)}$ И вновь стопор с первым слагаемым ( 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	13.06.2015, 21:22
	Сообщение было отмечено aelfot как решение Решение Разложение на простейшие дроби: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{(p^2-1)(p^2+1)}=\frac{1}{2(p^2-1)}-\frac{1}{2(p^2+1)}$ 1

@aelfot 0 / 0 / 1 Регистрация: 31.01.2014 Сообщений: 30
	13.06.2015, 21:32 [ТС]
	я попробовал подвести их под общий знаменатель, и решить методом неопределённых коэффициентов, получилось вот что: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X(p)=\frac{p+\frac{1}{2}}{p^2-1}+\frac{p+\frac{1}{2}}{p^2+1}$ Но от этого не легче ( Добавлено через 1 минуту Но как Вы это сделали? Или это какое-то табличное разложение о котором я не знал? 0

Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления

Решение