Геометрический смысл преобразования Лапласа

Приветствую всех!
В поисках доступного толкования преобразования Лапласа наткнулся на статью
http://allsummary.ru/57-suschn... plasa.html
Но толком разобраться в механизме преобразования так и не смог.
Единственное, что удалось понять, что есть некоторая функция времени t. В каждый момент времени значение этой функции умножается на e^t. Какая картинка получается в итоге в целом - непонятно. Далее делают преобразование Фурье для каждого такого произведения. В конечном итоге получается наглядный трехмерный график (на рисунке в статье по ссылке).
Может кто-нибудь может растолковать, какая операция за что здесь отвечает? Хочется понять все с физической или геометрической точки зрения. Спасибо.

0

Сообщение от radist108 понять все с физической или геометрической точки зрения

С точки зрения дилетанта :-)

Преобразование - это "кривое зеркало" - отображение одного множества (набора точек) на другое, при этом набору операций над элементами в исходном пространстве может соответствовать "криво-зеркальный" набор в отображении (например, пары: 'умножение / деление' и 'сложение / вычитание' для экспоненты / логарифма).

Если, в смысле какой-то метрики, исходное и зеркальное пространства эквивалентны, а операции однозначны, то нужное действие над элементами может быть выполнено в любом базисе.

При этом может оказаться, что в одном из них какие-то действия производятся проще, чем в другом (например, комплексные числа проще складывать в алгебраической форме и проще умножать в показательной).

Преобразование Фурье (по произвольному базису, тригонометрические полиномы - частный случай) задает способ перехода от одного пространства к другому, устанавливая их эквивалентность по мощности (равенство Парсеваля).

Например, имея лист бумаги, можно порезать его "в лапшу", а можно на "квадратики". Общая площадь всех кусочков (мощность листа) будет в обоих случаях одинаковой.

Частный выбор преобразования - "в лапшу" (тригонометрические полиномы) или "квадратики" (например, преобразование Уолша или вейвлеты) не меняет мощности (инварианта траснформации).

В двух словах - это релятивистский подход.

Есть две системы, два наблюдателя и единое для них событие, которое каждый из наблюдателей видит по-своему.

Исторически, одну из систем принято называть временной областью, а другую - частотной :-)

0

Сообщение от radist108 В каждый момент времени значение этой функции умножается на e^t

Странно цитируешь. Вообще-то, написано в статье по-другому.

Сообщение от radist108 преобразование Фурье для каждого такого произведения

Что ещё за «преобразование Фурье для каждого произведения»? Преобразование Лапласа — аналог преобразования Фурье для бесконечного отрезка и непрерывного спектра.

0

Допустим, преобразование Фурье рисует график зависимости частоты от амплитуды. Т.е. частотный состав сигнала. При преобразовании Лапласа добавляется еще и экспонента. Как этот множитель изменит график?

0

Что такое в , знаешь? Это мнимая единица, иногда её так обозначают. Теперь вспомни, что такое экспонента с мнимым указателем, и сравни с формулами Фурье.

Добавлено через 15 минут
Тьфу, ёлки, показатель, конечно, у экспоненты, а не указатель.

0

Сообщение от iifat Что такое в , знаешь? Это мнимая единица, иногда её так обозначают. Теперь вспомни, что такое экспонента с мнимым показателем, и сравни с формулами Фурье.

Экспонента с мнимым показателем это синусоида. Ряд Фурье раскладывает функцию на набор синусоид. А дополнительная экспонента с вещественной частью как изменяет результат? Получается ряд экспоненциально затухающих синусоид?

0

Виноват. Не дочитал до места, где определяется преобразование Лапласа с двумя параметрами.
Ну, возможно, это просто дальнейшее обобщение без особого геометрического смысла. Как понимаю, основной смысл преобразования Лапласа — оно переводит дифференциальные уравнения в алгебраические. То бишь, чтоб решить дифуру, можно преобразовать в алгебраическое, решить и преобразовать обратно. При этом могут возникать комплексные корни. Я это к тому, что простого и наглядного толкования может и не быть.

Добавлено через 1 час 13 минут
Похоже, какой-то глюк у меня случился. Последняя фраза — что простого, наглядного и при этом полного толкования может и не быть

0

А как получается тот трехмерный график? На нем спектральная функция прямоугольного импульса хорошо различима. А вот как работает экспоненциальная - непонятно. Интуитивно можно понять, что экспоненты расходятся от нуля по ортогональной оси, но роль вещественной части в показатели экспоненты я бы своими словами не объяснил. В статье представлены несколько квадратиков с экспонентами при разных вещественных положительных и отрицательных частях. Но непонятно, в каких точках берутся значения? В нуле они все равны единице по понятным причинам

0

Ну, как ей работать — умножаем на быстрорастущую функцию. Половина значений (левая либо правая) умножаются на число, тем большее, чем дальше от нуля, другая половина — соответственно, исключается из интегрирования, тем быстрее, чем дальше от нуля. Не уверен, что этому можно придать кой-нить геометрический либо физический смысл, хотя, кажется, в задачах на колебания с трением таки что-то похожее получается. Надо посмотреть. В принципе, как по мне, смысл вот в этом: «Когда система описывается дифференциальными и интегральными уравнениями часто удобно воспользоваться преобразованием Лапласа для их расчёта. При этом уравнения становятся алгебраическими». Возможно, конечно, есть и какой другой.

Добавлено через 11 минут
А, посмотрел. Действительно, уравнения затухающих колебаний включают такой множитель. То бишь, при наше движение преобразуется «as is», при ненулевых — в условиях сил трения (либо разгона, в зависимости от знака). В принципе, если они наличествуют, то при какой-то сигме этот множитель их нейтрализует и мы получим преобразование Фурье для «функции при условии отсутствия потерь». Возможно, в этом даже есть какой-нить смысл. Не уверен

0

Сообщение от iifat Преобразование Лапласа — аналог преобразования Фурье для бесконечного отрезка и непрерывного спектра.

Преобразование Фурье это частный случай преобразования Лапласа.
По поводу геметрического смысла - как физик могу порекомендовать не искать такого. Ибо все эти преобразования суть частный случай интегральных преобразований и в общем виде как-то их трактовать не предствляется возможным.

0

Сообщение от Ilot как физик могу порекомендовать не искать такого

Как математик — присоединяюсь. Но вот ТС хочет поискать какого-нить смысла. Вдруг да найдёт!

0