Форум программистов, компьютерный форум, киберфорум
ТФКП и операционное исчисление
Войти
Регистрация
Восстановить пароль
 
Рейтинг 4.71/7: Рейтинг темы: голосов - 7, средняя оценка - 4.71
103 / 90 / 75
Регистрация: 04.11.2011
Сообщений: 1,817
1

Вычисление интеграла с использованием теоремы о вычетах

14.11.2015, 21:05. Показов 1370. Ответов 3
Метки нет (Все метки)

Нужно вычислить интеграл, используя Т Коши о вычетах
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\oint_{\left|z \right|=3}^{}\frac{z^8}{z^9-1}dz
Особые точки https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_1-https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_9 простоые полюса https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z^9=1. Все они лежат в окружности с радиусом 3.
Считать вычеты в эти[ точках нет смысла, т.к можно посчитать вычет в бесконечности и тогда
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{1}^{9}resf(z_k)+resf(\propto )=0
Нужно разложить нашу функцию
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z^8}{z^9-1}=\frac{1}{z}(1+1/z^9+1/{z}^{18}.....)
Правильно ли я разложил? И тогда https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?resf(\propto )=-1

Добавлено через 4 часа 38 минут
Актуально
0
Лучшие ответы (1)
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
14.11.2015, 21:05
Ответы с готовыми решениями:

Вычисление интегралов с применением теоремы о вычетах
Вычислить интеграл, считая, что обход замкнутых контуров происходит в положительном направлении....

Выяснить сходимость несобственного интеграла 2 го рода с использованием теоремы сравнения
\int_{0}^{1}({e}^{sin(x)})/\(\sqrt{x}{(sin(x)})^{2}) Выяснить сходимость несобственного интеграла...

Вычисление интеграла с использованием замены переменной.
Как можно вычислить такой интеграл? \int \frac{dx}{1+0,5cosx}

Вычисление суммы ряда с использованием определенного интеграла
Нужно придумать пример на вычисление суммы рядя, используя определенный интеграл. Это какой-то...

3
Модератор
Эксперт по математике/физике
6331 / 4046 / 1502
Регистрация: 09.10.2009
Сообщений: 7,541
Записей в блоге: 4
15.11.2015, 02:46 2
Лучший ответ Сообщение было отмечено Xo6ut как решение

Решение

Цитата Сообщение от Xo6ut Посмотреть сообщение
Считать вычеты в эти[ точках нет смысла,
Есть смысл, и это очень просто делается (об этом ниже).
Цитата Сообщение от Xo6ut Посмотреть сообщение
т.к можно посчитать вычет в бесконечности
Это если бесконечность - особая точка, а это ни разу не так. Чтобы это было, нужно в разложении в ряд Лорана наличие какого-то числа слагаемых вида https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z^n с положительными степенями n, а у вас этого нет, так как
Цитата Сообщение от Xo6ut Посмотреть сообщение
Нужно разложить нашу функцию ... Правильно ли я разложил?
Правильно, что и доказывает, что бесконечность - это нуль вашей исходной функции, а не особая точка.
Чтобы было более убедительно, сделаем замену
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?w=\frac{1}{z} \: \Rightarrow f\left(z \right)=g\left(w \right)=\frac{1}{w^8} \cdot \frac{1}{\frac{1}{w^9}-1}=\frac{w}{w^9-1}
Как видно, значение w=0 не особая точка, а нуль функции g(w), а значит z=inf - нуль того же вида функции f(z) (есть такая теорема).

Теперь, как считать вычеты в корнях из 1. Есть такой метод вычисления вычета в полюсе 1-го порядка: Если в точке z0 полюс 1-го порядка, то вычет https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_{-1}=\lim_{z\rightarrow z_0}\left(z-z_0 \right)f(z)
и в данном случае функцию f(z) в окрестности z0 можно представить в виде отношения двух аналитических функций https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)=\frac{\varphi \left(z \right)}{\psi \left(z \right)}, причём https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(z_0 \right)\neq 0, а точка z0 - нуль первого порядка знаменателя. Тогда вычет https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Res\left[f\left(z \right),z_0 \right]=\frac{\varphi \left(z_0 \right)}{\psi '\left(z_0 \right)}
В вашем случае последняя дробь равна https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\varphi \left(z_0 \right)}{\psi '\left(z_0 \right)}=\frac{z_0^8}{9z_0^8}=\frac{1}{9} в каждом полюсе 1-го порядка, а их 9 штук в вашем круге.
Тогда ваш интеграл равен https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2 \pi i \cdot 9 \cdot \frac{1}{9}= 2\pi i. Всё.

Добавлено через 13 минут
Вот эта производная https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi' \left(z_0 \right) появляется в знаменателе потому, что знаменатель при разложении ряд Тейлора в окрестности z0 даёт https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi \left(z \right)=\psi \left(z_0 \right)+\left(z-z_0 \right)\psi' \left(z_0 \right)+\frac{\psi'' \left(z_0 \right)}{2}\left(z-z_0 \right)^2+..., а первое слагаемое этого разложения равно 0 (так как z0 - полюс, т.е. обнуляет знаменатель f(z) ), а все производные в следующих слагаемых не нули (так как нуль ПЕРВОГО порядка). Получается,
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( z-z_0\right)f(z)=\frac{\varphi \left(z \right)}{\psi' \left(z_0 \right)+\frac{\psi'' \left(z_0 \right)}{2}\left(z-z_0 \right)+...}\rightarrow \frac{\varphi \left(z_0 \right)}{\psi '\left(z_0 \right)}, \: z\rightarrow z_0
Вот откуда такая формула для вычета в полюсе первого порядка.
1
Эксперт по математике/физикеЭксперт С++
1949 / 1286 / 371
Регистрация: 16.05.2013
Сообщений: 3,347
Записей в блоге: 6
16.11.2015, 15:07 3
Xo6ut, ваши рассуждения правильные. Хоть jogano и написал хороший пост, но он не уловил вашей мысли.
В вашем случае вы пропустили один момент. При обходе области, содержащей бесконечно удаленную точу, обход совершается в противоположном направлении т.е. по часовой стрелке и тогда интеграл равен https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-2\pi i, еще один минус получается при переносе слагаемого в правую часть равенства. Итого ответ 1.
1
1129 / 788 / 232
Регистрация: 12.04.2010
Сообщений: 2,012
16.11.2015, 17:25 4
Цитата Сообщение от jogano Посмотреть сообщение
Это если бесконечность...
jogano, для вычисления интеграла важно именно значение вычета.
Цитата Сообщение от Xo6ut Посмотреть сообщение
т.к можно посчитать вычет в бесконечности
Верно, в этом и смысл задачи. Сообразит ли студент, что достаточно вычислить один вычет вместо девяти.

Добавлено через 10 минут
Цитата Сообщение от jogano Посмотреть сообщение
в каждом полюсе 1-го порядка, а их 9 штук в вашем круге
Впрочем, для данной задачи и способ jogano не хуже. (Все вычеты равны, так что 9/9 = 1.)

Авторы задачи могли бы придумать что-нибудь более интересное https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{ z^5 - 2z^4 + 24 }{ (z-1)^{999}-1 }

Добавлено через 6 минут
Цитата Сообщение от Xo6ut Посмотреть сообщение
Правильно ли я разложил?
Вот способ проверить. Вычет в бесконечности равен коэффициенту перед 1/z.
1
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
16.11.2015, 17:25

Провести вычисление интеграла по формуле с использованием рекурсии
Провести вычисление интеграла вида f(n)=I{}_{n}= \int_{0}^{pi/2} cos{}^{n}(x)dx По формуле:...

Теоремы о существовании двойного и тройного интеграла
Нигде нет доказательства к этим теоремам. Не подскажете, где найти?)

Решение квадратного уравнения с использованием теоремы Виета
Здравствуйте всем. Есть у кого ни будь код на Delphi "Теорема Виета" ? Добавлено через 17 минут...

Найти обратный элемент с использованием малой теоремы Ферма
Доброго времени суток форумчане, помогите найти обратный элемент a-1 при a=8, m=19 с использованием...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
4
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2022, CyberForum.ru