Вычислить интеграл, используя теорему Коши о вычетах

@Tatiana53 · Регистрация: 12.05.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите вычислить интеграл, используя теорему Коши о вычетах:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{\mid z\mid =1}\frac{z^2+cosz}{z^3}dz$

@mathmichel · 12.05.2016, 21:09

Разложите подинтегральное выражение в ряд Лорана - получается очень простой вычет, равный $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}$ . В итоге контурный интеграл равен: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\pi i\cdot \frac{1}{2}=\pi i$

@Tatiana53 · 13.05.2016, 18:39 **[ТС]**

Поняла, спасибо.
Вот так:
Там минус не будет появляться? Заранее спасибо.

@Tatiana53 · 13.05.2016, 20:01 **[ТС]**

Поняла, спасибо.
Вот так:
Там минус не будет появляться? Заранее спасибо.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d^2}{dz^2}(\frac{z^2+cosz}{z^3}*z^3)=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d^2}{dz^2}(z^2+cosz)=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d}{dz}(2*z-sinz)=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d}{dz}(z-cosz)=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow 0}(z-cosz)=\frac{1}{2}*(-1)=-\frac{1}{2}<br /> <br /> res=2\pi i*(-\frac{1}{2})=-\pi i$

@mathmichel · 13.05.2016, 20:33

Сообщение от Tatiana53

Там минус не будет появляться?

Не будет. У Вас элементарная ошибка в выкладках - потеряли двойку после третьего знака =!

@Tatiana53 · 13.05.2016, 20:49 **[ТС]**

Увидела, т. е. вот так получится в итоге:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d}{dz}(2z-sinz)=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}(2-cosz)=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow 0}(2-cosz)=\frac{1}{2}*1=\frac{1}{2}*1=\frac{1}{2}<br /> <br /> res=2\pi i *\frac{1}{2}=\pi i$

@mathmichel · 13.05.2016, 21:00

Теперь верно, но вычет с помощью разложения в ряд Лорана находится гораздо быстрее без второй производной, если разложить cosz в ряд до членов второй степени по z.

@Tatiana53 · 13.05.2016, 21:38 **[ТС]**

То есть представить косинус как:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cosz=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}$

@Tatiana53 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 35
		1
	Вычислить интеграл, используя теорему Коши о вычетах 12.05.2016, 20:21. Показов 1841. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Помогите вычислить интеграл, используя теорему Коши о вычетах: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{\mid z\mid =1}\frac{z^2+cosz}{z^3}dz$ 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	12.05.2016, 21:09	2
	Разложите подинтегральное выражение в ряд Лорана - получается очень простой вычет, равный $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}$ . В итоге контурный интеграл равен: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\pi i\cdot \frac{1}{2}=\pi i$ 1

@Tatiana53 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 35
	13.05.2016, 18:39 [ТС]	3
	Поняла, спасибо. Вот так: Там минус не будет появляться? Заранее спасибо. 0

@Tatiana53 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 35
	13.05.2016, 20:01 [ТС]	4
	Поняла, спасибо. Вот так: Там минус не будет появляться? Заранее спасибо. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d^2}{dz^2}(\frac{z^2+cosz}{z^3}z^3)=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d^2}{dz^2}(z^2+cosz)=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d}{dz}(2z-sinz)=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d}{dz}(z-cosz)=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow 0}(z-cosz)=\frac{1}{2}(-1)=-\frac{1}{2}<br /> <br /> res=2\pi i(-\frac{1}{2})=-\pi i$ 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	13.05.2016, 20:33	5
	Сообщение от Tatiana53 Там минус не будет появляться? Не будет. У Вас элементарная ошибка в выкладках - потеряли двойку после третьего знака =! 0

@Tatiana53 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 35
	13.05.2016, 20:49 [ТС]	6
	Увидела, т. е. вот так получится в итоге: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d}{dz}(2z-sinz)=\frac{1}{2!}\lim_{z\rightarrow 0}(2-cosz)=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow 0}(2-cosz)=\frac{1}{2}1=\frac{1}{2}1=\frac{1}{2}<br /> <br /> res=2\pi i *\frac{1}{2}=\pi i$ 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10442 / 6926 / 3769 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,912
	13.05.2016, 21:00	7
	Теперь верно, но вычет с помощью разложения в ряд Лорана находится гораздо быстрее без второй производной, если разложить cosz в ряд до членов второй степени по z. 0

@Tatiana53 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.05.2016 Сообщений: 35
	13.05.2016, 21:38 [ТС]	8
	То есть представить косинус как: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cosz=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}$ 0