Радиус сходимости степенных рядов

@Andron58 · Регистрация: 22.09.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

В задачнике Кудрявцева есть такой ряд:

И надо найти его радиус сходимости( в ответах он равен 1), но почему-то , считая по выделеннной формуле, у меня получается 0... В чем ошибаюсь?

@Том Ардер · 10.10.2016, 21:23

Комментарий модератора

Правила форума

4.7. Как можно более полно описывайте суть проблемы или вопроса, что было сделано для ее решения и какие результаты получены.

5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом.

Задания и решения набирать ручками. Один вопрос - одна тема. Для формул есть редактор.

Рекомендации по созданию темы

@Andron58 · 11.10.2016, 20:24 **[ТС]**

вот сам ряд:
∞
∑n!z^(n!)
n=1

Добавлено через 2 минуты
Искал по формуле

R=предел|Cn/Cn+1|
n стремиться к бесконечности

@jogano · 11.10.2016, 21:28

Вы попытались применить формулу для радиуса сходимости формально. Но у вас же ряд не такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{+\infty}n! z^n$ . Он-то, конечно, степенной, но показатель степени не n.
Если вникнуть в суть формулы для R, то должен существовать предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\rho <1$ , чтобы члены вашего ряда можно было сравнивать с геометрической прогрессией - чтобы для достаточно больших n ваш ряд вёл бы себя как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?...+a_n+a_n\rho +a_n\rho ^2+...$ . Тогда если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0<\rho <1$ , то ряд сходится, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho >1$ , то расходится.
Для того степенного ряда, который в учебнике, это предел равен
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{c_{n+1}z^{n+1}}{c_nz^n} \right|=\left|z \right|\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n} \right|<1 \: \Rightarrow \: \left|z \right|<\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$
Вот откуда берётся формула для R, которую вы пытались применить.
Вот сделайте то же самое для вашего ряда, и получите 1.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Очередные открытия мега простых чисел, сделанные добровольцами с помощью домашних компьютеров Programma_Boinc 21.04.2025 Очередные открытия мега простых чисел, сделанные добровольцами с помощью домашних компьютеров. 3 марта 2025 года, в результате обобщенного поиска простых чисел Ферма в PrimeGrid был найден. . .	Система статов в Unity GameUnited 20.04.2025 Статы — фундаментальный элемент игрового дизайна, который определяет характеристики персонажей, предметов и других объектов в игровом мире. Будь то показатель силы в RPG, скорость передвижения в. . .	Статические свойства и методы в TypeScript run.dev 20.04.2025 TypeScript прочно занял своё место в системе современной веб-разработки. Этот строго типизированный язык программирования не просто расширяет возможности JavaScript — он делает разработку более. . .	Batch Transform и Batch Gizmo Drawing API в Unity GameUnited 20.04.2025 В мире разработки игр и приложений на Unity производительность всегда была критическим фактором успеха. Создатели игр постоянно балансируют между визуальной привлекательностью и плавностью работы. . .	Звук в Unity: Рандомизация с Audio Random Container GameUnited 20.04.2025 В современных играх звуковое оформление часто становится элементом, который либо полностью погружает игрока в виртуальный мир, либо разрушает атмосферу за считанные минуты. Представьте: вы исследуете. . .
Максимальная производительность C#: Советы, тестирование и заключение stackOverflow 20.04.2025 Погружение в мир микрооптимизаций C# открывает перед разработчиком целый арсенал мощных техник. Но как определить, где и когда их применять? Ответ начинается с точных измерений и профилирования. . . .	Максимальная производительность C#: Предсказание ветвлений stackOverflow 20.04.2025 Третий ключевой аспект низкоуровневой оптимизации — предсказание ветвлений. Эта тема менее известна среди разработчиков, но её влияние на производительность может быть колоссальным. Чтобы понять. . .	Максимальная производительность C#: Векторизация (SIMD) stackOverflow 20.04.2025 Помимо работы с кэшем, другим ключевым аспектом низкоуровневой оптимизации является векторизация вычислений. SIMD (Single Instruction, Multiple Data) позволяет обрабатывать несколько элементов данных. . .	Максимальная производительность C#: Процессорный кэш stackOverflow 20.04.2025 Знакомство с внутренним устройством процессорного кэша — ключевой шаг в написании по-настоящему быстрого кода на C#. Этот слой архитектуры компьютера часто ускользает от внимания разработчиков, но. . .	Максимальная производительность C#: Введение в микрооптимизации stackOverflow 20.04.2025 В мире разработки на C# многие привыкли полагаться на . NET Runtime, который "магическим образом" сам оптимизирует код. И часто это работает - современные JIT-компиляторы творят чудеса. Но когда речь. . .

@Andron58 3 / 3 / 0 Регистрация: 22.09.2015 Сообщений: 58

	Радиус сходимости степенных рядов 10.10.2016, 20:40. Показов 1588. Ответов 3 Метки нет (Все метки) В задачнике Кудрявцева есть такой ряд: И надо найти его радиус сходимости( в ответах он равен 1), но почему-то , считая по выделеннной формуле, у меня получается 0... В чем ошибаюсь? 0

@Andron58 3 / 3 / 0 Регистрация: 22.09.2015 Сообщений: 58
	11.10.2016, 20:24 [ТС]
	вот сам ряд: ∞ ∑n!z^(n!) n=1 Добавлено через 2 минуты Искал по формуле R=предел\|Cn/Cn+1\| n стремиться к бесконечности 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6358 / 4065 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	11.10.2016, 21:28
	Сообщение было отмечено Andron58 как решение Решение Вы попытались применить формулу для радиуса сходимости формально. Но у вас же ряд не такой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=1}^{+\infty}n! z^n$ . Он-то, конечно, степенной, но показатель степени не n. Если вникнуть в суть формулы для R, то должен существовать предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right\|=\rho <1$ , чтобы члены вашего ряда можно было сравнивать с геометрической прогрессией - чтобы для достаточно больших n ваш ряд вёл бы себя как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?...+a_n+a_n\rho +a_n\rho ^2+...$ . Тогда если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0<\rho <1$ , то ряд сходится, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\rho >1$ , то расходится. Для того степенного ряда, который в учебнике, это предел равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{c_{n+1}z^{n+1}}{c_nz^n} \right\|=\left\|z \right\|\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{c_{n+1}}{c_n} \right\|<1 \: \Rightarrow \: \left\|z \right\|<\lim_{n \to +\infty}\left\|\frac{c_n}{c_{n+1}} \right\|$ Вот откуда берётся формула для R, которую вы пытались применить. Вот сделайте то же самое для вашего ряда, и получите 1. 1

Опции темы

Радиус сходимости степенных рядов

Решение