Эквивалентность двух метрик

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Как доказать эквивалентность сферической и евклидовой метрик на ограниченном множестве?

Как известно для доказательства эквивалентности метрик необходимо одну метрику ограничить снизу и сверху другой, при этом метрику которой ограничиваем необходимо брать с константными коэффициентами(Правильно ли я понимаю данное определение?).

Попробуем ограничить сферическую метрику. Ясно, что сверху она ограничена евклидовой метрикой с коэффициентом 1.
Пускай тогда R - радиус круга с началом координат, такой, что наше множество принадлежит кругу, оно ограничено, поэтому R - действительное число, не равное бесконечности. Поделим евклидову метрику на 1 + R², тогда мы по сути берём сферическую метрику, но в качестве аргументов запускаем в неё такие числа, что их аргумент будет больше чем аргументы всех чисел из нашего множества, а значит и евклидова метрика поделённая на 1 + R² тоже будет всегда меньше чем сферическая метрика и будет ограничение снизу, а 1 + R² - коэффициент для нижнего ограничения из определения.

Правильно ли всё это понимаю?

@eropegov · 09.02.2017, 21:23

А что вы здесь понимаете под евклидовой и сферической метриками?

@oobarbazanoo · 09.02.2017, 21:39 **[ТС]**

eropegov, эвклидова - модуль разности двух чисел
сферическая - эвклидова поделённая на произведение, в котором первый множитель - корень квадратный из суммы единицы и квадрата модуля одного числа, а второй множитель - корень квадратный из суммы единицы и квадрата модуля второго числа.

@eropegov · 09.02.2017, 21:53

Эге. Правильно я понял, что мы находимся в множестве комплексных чисел? Замкнём ограниченное множество, получим компакт. Частное двух рассматриваемых метрик - непрерывная функция, она будет достигать максимума и минимума на компакте. Вот вам и константы.

@oobarbazanoo · 09.02.2017, 22:45 **[ТС]**

eropegov, возможно я Вас не понимаю. Но я думаю, что Ваша идея не подходит. Тут нет константных множителей из определения эквивалентности для метрик.

@eropegov · 09.02.2017, 22:56

Я имел в виду, что выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\rho_1(x,y)}{\rho_2(x,y)}$ представляет собой непрерывную (причем строго положительную) функцию. Значит, для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x,y) \in M \times M$ (где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M$ - исходное ограниченное множество) имеем оценку

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0 < c \le \frac{\rho_1(x,y)}{\rho_2(x,y)} \le C <\infty,$

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c,C$ - минимум и максимум этой самой дроби.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835

	Эквивалентность двух метрик 09.02.2017, 18:55. Показов 3796. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Как доказать эквивалентность сферической и евклидовой метрик на ограниченном множестве? Как известно для доказательства эквивалентности метрик необходимо одну метрику ограничить снизу и сверху другой, при этом метрику которой ограничиваем необходимо брать с константными коэффициентами(Правильно ли я понимаю данное определение?). Попробуем ограничить сферическую метрику. Ясно, что сверху она ограничена евклидовой метрикой с коэффициентом 1. Пускай тогда R - радиус круга с началом координат, такой, что наше множество принадлежит кругу, оно ограничено, поэтому R - действительное число, не равное бесконечности. Поделим евклидову метрику на 1 + R², тогда мы по сути берём сферическую метрику, но в качестве аргументов запускаем в неё такие числа, что их аргумент будет больше чем аргументы всех чисел из нашего множества, а значит и евклидова метрика поделённая на 1 + R² тоже будет всегда меньше чем сферическая метрика и будет ограничение снизу, а 1 + R² - коэффициент для нижнего ограничения из определения. Правильно ли всё это понимаю? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	09.02.2017, 21:23
	А что вы здесь понимаете под евклидовой и сферической метриками? 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	09.02.2017, 21:39 [ТС]
	eropegov, эвклидова - модуль разности двух чисел сферическая - эвклидова поделённая на произведение, в котором первый множитель - корень квадратный из суммы единицы и квадрата модуля одного числа, а второй множитель - корень квадратный из суммы единицы и квадрата модуля второго числа. 1

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	09.02.2017, 21:53
	Эге. Правильно я понял, что мы находимся в множестве комплексных чисел? Замкнём ограниченное множество, получим компакт. Частное двух рассматриваемых метрик - непрерывная функция, она будет достигать максимума и минимума на компакте. Вот вам и константы. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	09.02.2017, 22:45 [ТС]
	eropegov, возможно я Вас не понимаю. Но я думаю, что Ваша идея не подходит. Тут нет константных множителей из определения эквивалентности для метрик. 1

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	09.02.2017, 22:56
	Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение Решение Я имел в виду, что выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\rho_1(x,y)}{\rho_2(x,y)}$ представляет собой непрерывную (причем строго положительную) функцию. Значит, для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x,y) \in M \times M$ (где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M$ - исходное ограниченное множество) имеем оценку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0 < c \le \frac{\rho_1(x,y)}{\rho_2(x,y)} \le C <\infty,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c,C$ - минимум и максимум этой самой дроби. 2

Эквивалентность двух метрик

Решение