Вычислить интегралы

@K1r1zaN · Регистрация: 07.05.2020

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Я не понимаю как вычислять такие интегралы, я помню что надо выбрать контур интегрирования и посмотреть какие оособые точки в нём есть, далее посчитать вычеты из этих точек.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1) \int_{0}^{\pi }\frac{cos(\varphi )d\varphi}{ \left(5 + 4cos\varphi)$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2) \int_{0}^{\infty }\frac{x^2dx}{(x^2+2)(x^2+8)}$

@mihailm · 03.06.2021, 10:13

Сообщение от K1r1zaN

я помню что надо выбрать контур интегрирования и посмотреть какие оособые точки в нём есть, далее посчитать вычеты из этих точек

Да как то так)

@Volga_ · 03.06.2021, 10:30

Пример для 1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\pi }\frac{cos\varphi d\varphi }{5+4cos\varphi }=\frac{1}{2}\int_{-\pi }^{\pi }\frac{cos\varphi d\varphi }{5+4cos\varphi }=\frac{1}{2} \oint_{|z|=1}\frac{z^2+1}{4iz(z+\frac{1}{2})(z+2)}dz=\frac{2\pi i}{8i}[res(f,z=0)+res(f,z=-\frac{1}{2}]=\frac{\pi }{4}(1-\frac{5}{3})=-\frac{\pi }{6}$ .
Проверьте мои шаги при расчете !

@mathmichel · 03.06.2021, 10:37

Здесь использовалась замена: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos \varphi =\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z} \right)$ .
А множитель z в знаменателе кажется лишним! В итоге вычет берётся только в одной точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-\frac{1}{2}$ .

@Volga_ · 03.06.2021, 10:46

Сообщение от mathmichel

А множитель z в знаменателе кажется лишним!

У вас еще $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d\varphi =\frac{dz}{iz}$ . Поэтому это не лишним по-моему.

@mathmichel · 03.06.2021, 10:55

Согласен, просто показалось сначала!

@K1r1zaN · 03.06.2021, 11:43 **[ТС]**

Всё всем спасибо выручили, второй интеграл я сумел посчитать сам используя знания из первого.

Всем добра

@K1r1zaN 1 / 1 / 0 Регистрация: 07.05.2020 Сообщений: 43
		1
	Вычислить интегралы 03.06.2021, 09:45. Показов 1346. Ответов 6 Метки help me, help me please (Все метки) Я не понимаю как вычислять такие интегралы, я помню что надо выбрать контур интегрирования и посмотреть какие оособые точки в нём есть, далее посчитать вычеты из этих точек. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1) \int_{0}^{\pi }\frac{cos(\varphi )d\varphi}{ \left(5 + 4cos\varphi)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2) \int_{0}^{\infty }\frac{x^2dx}{(x^2+2)(x^2+8)}$ 0

@mihailm 1588 / 1038 / 278 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,106
	03.06.2021, 10:13	2
	Сообщение от K1r1zaN я помню что надо выбрать контур интегрирования и посмотреть какие оособые точки в нём есть, далее посчитать вычеты из этих точек Да как то так) 0

@Volga_ Модератор 5164 / 2889 / 1498 Регистрация: 14.12.2018 Сообщений: 5,225 Записей в блоге: 1
	03.06.2021, 10:30	3
	Сообщение было отмечено K1r1zaN как решение Решение Пример для 1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\pi }\frac{cos\varphi d\varphi }{5+4cos\varphi }=\frac{1}{2}\int_{-\pi }^{\pi }\frac{cos\varphi d\varphi }{5+4cos\varphi }=\frac{1}{2} \oint_{\|z\|=1}\frac{z^2+1}{4iz(z+\frac{1}{2})(z+2)}dz=\frac{2\pi i}{8i}[res(f,z=0)+res(f,z=-\frac{1}{2}]=\frac{\pi }{4}(1-\frac{5}{3})=-\frac{\pi }{6}$ . Проверьте мои шаги при расчете ! 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10417 / 6909 / 3760 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,886
	03.06.2021, 10:37	4
	Здесь использовалась замена: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos \varphi =\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z} \right)$ . А множитель z в знаменателе кажется лишним! В итоге вычет берётся только в одной точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=-\frac{1}{2}$ . 1

@Volga_ Модератор 5164 / 2889 / 1498 Регистрация: 14.12.2018 Сообщений: 5,225 Записей в блоге: 1
	03.06.2021, 10:46	5
	Сообщение от mathmichel А множитель z в знаменателе кажется лишним! У вас еще $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d\varphi =\frac{dz}{iz}$ . Поэтому это не лишним по-моему. 2

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10417 / 6909 / 3760 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,886
	03.06.2021, 10:55	6
	Согласен, просто показалось сначала! 1

@K1r1zaN 1 / 1 / 0 Регистрация: 07.05.2020 Сообщений: 43
	03.06.2021, 11:43 [ТС]	7
	Всё всем спасибо выручили, второй интеграл я сумел посчитать сам используя знания из первого. Всем добра 1

Опции темы

Вычислить интегралы

Решение