Вычислить и вывести на экран в виде таблицы значения функции, заданной в виде ряда Тейлора

@Регина1 · Регистрация: 28.11.2016

Вычислить и вывести на экран в виде таблицы значения функции, заданной с помощью
ряда Тейлора, на интервале от хнач до xкон с шагом dx с точностью ε. Таблицу снабдить
заголовком и шапкой. Каждая строка таблицы должна содержать значение аргумента,
значение функции и количество просуммированных членов ряда.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \ln (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-1)^{n+1}}{n+1}=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-...,\ \ \ 0<x\leq 2 $

@Cyborg Drone · 17.02.2017, 20:34

Для начала можно произвести замену n := n + 1, чтобы не возиться с прибавлением единицы. Получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left. \ln (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-1)^{n+1}}{n+1}=\right|_{n := n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a_n $

Найдём рекуррентное соотношение для членов (преобразованного) ряда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_1=x-1;\ a_n=\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n};\ a_{n-1}=\frac{(-1)^n(x-1)^{n-1}}{n-1}; $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}}{\frac{(-1)^n(x-1)^{n-1}}{n-1}}=\frac{(x-1)(1-n)}{n};\ a_n=\frac{(x-1)(1-n)a_{n-1}}{n} $

Конечно, можно было бы использовать очевидные рекуррентные соотношения отдельно для числителя и отдельно для знаменателя, но программа получается чуть длиннее.

Pascal

const st = '+-----------------+-----------------+------------+';
var xn, xk, x, dx, eps, a, s: double;
    n: longword;
begin
  write('Xn = ');
  readln(xn);
  repeat
    write('Xk > Xn;  Xk = ');
    readln(xk)
  until xk > xn;
  repeat
    write('dx > 0;  dx = ');
    readln(dx)
  until dx > 0;
  repeat
    write('eps > 0;  eps = ');
    readln(eps)
  until eps > 0;
  xk := xk + dx / 2;
  x := xn;
  writeln(st);
  writeln('|        x        |       ln(x)     |      n     |');
  writeln(st);
  while x < xk do
    begin
      write('| ', x:15, ' | ');
      if (0 >= x) or (x > 2)
        then writeln('      undefined |    unknown |')
        else begin
          n := 1;
          a := x - 1;
          s := a;
          while abs(a) > eps do
            begin
              inc(n);
              a := (1 - n) / n * (x - 1) * a;
              s := s + a
            end;
          writeln(s:15, ' | ', n:10, ' |')
        end;
      x := x + dx
    end;
  writeln(st);
  readln
end.

@Регина1 · 01.03.2017, 12:40 **[ТС]**

А вот для этого уравнения?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \ln x =2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^{2n+1}}{(2n+1)(x+1)^{2n+1}}=2\left( \frac{x-1}{x+1}+\frac{(x-1)^3}{3(x+1)^3}+...\right),\ \ \ x>0 $

@Cyborg Drone · 01.03.2017, 23:15

Нет. В этом случае не совсем помогу, поскольку корректно данное задание не очень-то и выполнимо. Этот ряд практически неприменим для вычисления значения логарифма числа с заданной точностью с помощью компьютера. Посмотрим, почему это так.

Для простоты поделим всё на 2 и приступим...

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\ln x}{2}=\left. \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^{2n+1}}{2n+1}=\right|_{z=\frac{x-1}{x+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\ \ \ \ \ \begin{array}{l}x\,>\,0\\ 0\,<\,z\,<\,1\end{array}$

Это знакопостоянный ряд, "обычный" критерий окончания вычислений (если модуль очередного члена ряда < ε) не подходит. Воспользуемся оценкой остатка ряда по интегральному признаку Коши-Маклорена для знакоположительного ряда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? r_n\ \leq \ \int_{k}^{\infty}f(n)\operatorname{d}n $

Вот тут-то и загвоздка.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_{k}^{\infty}f(n)\operatorname{d}n=\int_{k}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{2n+1}\operatorname{d}n=\left. \frac{1}{2}\operatorname{Ei}\left((2n+1)\ln (z)\right)\right|_k^{\infty} $

Получается, что для того, чтобы корректно вычислить ln(x) с помощью ряда, нужно вычислить ln((x-1)/(x+1)). Мало того, в первообразной нагло торчит интегральная показательная функция, а это уже совсем труба. Обозначим для простоты аргумент Ei как t=(2n+1)ln(z). Ei - функция, не вычисляемая аналитически, но её можно вычислить, например, с помощью ряда Тейлора:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \operatorname{Ei}(t)=\int_{-\infty}^{t}\frac{e^q}{q}\operatorname{d}q=\gamma +\ln |t|+\sum_{p=1}^{\infty}\frac{t^p}{p\cdot p!} $

где γ≈0.5772156649015328606065 - постоянная Эйлера, которую, если не задавать константой, тоже надо вычислять, например, как предел частичной разности гармонического ряда и логарифма (sic!) от количества членов ряда.

Аж смешно. Для того, чтобы правильно вычислить логарифм, нужно минимум два раза вычислить логарифм. Это напоминает действия Мюнхаузена по вытаскиванию себя вместе с лошадью из болота за собственные волосы.

Вообще говоря, я давно уже (некорректно) решил эту задачу, программа вот в этой теме: Циклы: вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью, пост #3. Однако, сейчас я бы вычислил рекуррентное соотношение несколько по-другому:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_0=z;\ \ \ a_n=\frac{z^{2n+1}}{2n+1};\ \ \ a_{n-1}=\frac{z^{2n-1}}{2n-1}; $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? k=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{z^{2n+1}}{2n+1}}{\frac{z^{2n-1}}{2n-1}}=\frac{z^2(2n-1)}{2n+1}=\frac{z^2(n-0.5)}{n+0.5};\ \ \ a_n=\frac{z^2a_{n-1}(n-0.5)}{n+0.5} $

Для Вашего случая в программе нужно заменить

Pascal

21
22

  writeln('    S = ', 2 * s);
  write  ('ln(x) = ', ln(x));

Далее. При ("большом") отклонении x от 1 в любую сторону точность вычислений ни в какое эпсилон не лезет из-за неверного критерия окончания вычислений (применён критерий для рядов, сходящихся по Лейбницу, а нужен критерий по интегральному признаку Коши-Маклорена). Кроме того, при малых ε из-за ограниченности разрядной сетки компьютера точность тоже страдает (начиная с некоторого номера, очередной член ряда становится меньше веса последнего значащего разряда суммы, при этом реальный остаток ряда существенно превосходит заданную точность). Короче, все беды из-за того, что этот ряд знакопостоянный.

Есть некоторый смысл вычислить сумму ряда с точностью до компьютерного эпсилон:

Pascal

var n: integer;
    x, z, a, s, st: extended;
begin
  repeat
    write('x > 0;  x = ');
    readln(x)
  until x > 0;
  z := (x - 1) / (x + 1);
  a := z;
  s := a;
  n := 0;
  repeat
    st := s;
    inc(n);
    a := z * z * a * (n - 0.5) / (n + 0.5);
    s := s + a
  until abs(st - s) = 0;
  writeln('    S = ', 2 * s);
  write  ('ln(x) = ', ln(x));
  readln
end.

Такой вариант программы более-менее корректный, результат получается с приличной точностью (порядка 10^-18) при 10^-6<x<10⁶, но, к примеру, уже при x=10^-8 или x=10⁸ точность получается где-то 10^-5. Слишком малые и слишком большие числа вводить опять же не рекомендую: считает долго, поскольку в этом случае ряд сходится очень медленно, и вдобавок результат может быть неверным из-за целочисленного переполнения в переменной n.

Вот, как-то так... Думаю, что подобные задания сегодня попадаются из-за некомпетентности составителей задач. Я уверен на 99%, что составитель этой задачи наивно полагал, что вычисления следует прекратить, как только очередной член ряда станет меньше ε. Ну что тут поделаешь... Молодые, необстрелянные ребята, впервые взявшие в руки лопату... Не ведают, каким концом землю ковырять, а задачки уже составляют со святой верой в свою непогрешимость. Обидно мне как-то. Что-то неладное случилось с качеством знаний после постсоветской реформы образования.

@Регина1 · 03.03.2017, 07:59 **[ТС]**

Cyborg Drone, а почему в первой формуле нельзя ввести значение больше 2х?

@Puporev · 03.03.2017, 08:36

Потому что при x>2 числитель дробей растет быстрее чем знаменатель и ряд не сойдется.

@Cyborg Drone · 16.11.2019, 14:47

Дополнение к моему ответу: даже если удастся для данного ряда найти верный критерий окончания вычислений, обычным способом вычислить сумму с заданной точностью не удастся. Так как ряд сходится очень медленно, то, чтобы не потерять точность, придётся вычислять сумму ряда "задом наперёд": начиная с последнего не отбрасываемого члена ряда, и оканчивая членом ряда с номером 0.

Вычислить и вывести на экран в виде таблицы значения функции, заданной в виде ряда Тейлора

Решение

Решение

@Регина1 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.11.2016 Сообщений: 67
		1
	Вычислить и вывести на экран в виде таблицы значения функции, заданной в виде ряда Тейлора 17.02.2017, 07:48. Просмотров 3255. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Вычислить и вывести на экран в виде таблицы значения функции, заданной с помощью ряда Тейлора, на интервале от хнач до xкон с шагом dx с точностью ε. Таблицу снабдить заголовком и шапкой. Каждая строка таблицы должна содержать значение аргумента, значение функции и количество просуммированных членов ряда. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \ln (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-1)^{n+1}}{n+1}=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-...,\ \ \ 0<x\leq 2<br />$ 0

@Регина1 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.11.2016 Сообщений: 67
	01.03.2017, 12:40 [ТС]	3
	А вот для этого уравнения? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \ln x =2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^{2n+1}}{(2n+1)(x+1)^{2n+1}}=2\left( \frac{x-1}{x+1}+\frac{(x-1)^3}{3(x+1)^3}+...\right),\ \ \ x>0<br />$ 0

@Регина1 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.11.2016 Сообщений: 67
	03.03.2017, 07:59 [ТС]	5
	Cyborg Drone, а почему в первой формуле нельзя ввести значение больше 2х? 0

@Puporev Модератор 62901 / 46931 / 32344 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 113,721
	03.03.2017, 08:36	6
	Потому что при x>2 числитель дробей растет быстрее чем знаменатель и ряд не сойдется. 1

@Cyborg Drone Модератор 8397 / 4151 / 2871 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 13,231
	16.11.2019, 14:47	7
	Дополнение к моему ответу: даже если удастся для данного ряда найти верный критерий окончания вычислений, обычным способом вычислить сумму с заданной точностью не удастся. Так как ряд сходится очень медленно, то, чтобы не потерять точность, придётся вычислять сумму ряда "задом наперёд": начиная с последнего не отбрасываемого члена ряда, и оканчивая членом ряда с номером 0. 0

Опции темы