Выяснить, образует ли заданное множество натуральных чисел группу

@vvisiliy96 · Регистрация: 23.09.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!

В общем вот такая задачка:
Выяснить, образует ли множество натуральных чисел Название: 1w.png
Просмотров: 188

Размер: 3.0 Кб

группу относительно операции сложения.

Мне не так важно решение этой задачки, как понять как это нужно делать. Если я верно понимаю, то так как у групп есть 4 аксиомы:замкнутость, ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент, то тут нам нужно проверить ассоциативность?

Т.е.:
(2n+5)+X = X+(2n+5); , где X - это такое число, при котором уравнение выполняется.

И нет? Объясните, буду очень признателен.

@Alex5 · 05.10.2014, 16:19

Сообщение от vvisiliy96

тут нам нужно проверить ассоциативность

Ассоциативность. a, b, c - какие-то элементы множества. Верно ли что выполняется свойство a+(b+c) = (a+b)+c ?

Сообщение от vvisiliy96

образует ли ... группу

vvisiliy96, понятно ли, какое множество задано? Какие из чисел 4, 8, 11, -10, -3 принадлежат, а какие не принадлежат этому множеству?

Сообщение от vvisiliy96

Если я верно понимаю, то так как у групп есть 4 аксиомы:замкнутость, ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент

vvisiliy96, да, правильно.

@vvisiliy96 · 05.10.2014, 16:37 **[ТС]**

Сообщение от Alex5

Какие из чисел 4, 8, 11, -10, -3 принадлежат, а какие не принадлежат этому множеству?

Раз натуральные то 4,8,11

Получается что множество натуральных чисел образует группу относительно операции сложения? Ведь 2n+6 = 2n+6, если мы берём с=1 (например).

Так?

@RefSol · 05.10.2014, 16:56

(2n + 5) + (2n + 5) = (2+2)*n +(5+5) != 2*(p+n) + 5 - значит относительно операции сложения алгебраическая структура не замкнута, следовательно группой не является

@vvisiliy96 · 05.10.2014, 17:23 **[ТС]**

Сообщение от RefSol

(2n + 5) + (2n + 5) = (2+2)*n +(5+5)! = 2*(p+n) + 5

А почему (5+5)! ?

Добавлено через 19 минут

Сообщение от RefSol

2*(p+n) + 5

И (p+n) ?

@Alex5 · 05.10.2014, 18:06

Сообщение от vvisiliy96

Раз натуральные

vvisiliy96, не все натуральные числа принадлежат Вашему множеству, а такие: 2*1+5, 2*2+5, 2*3+5, 2*4+5, 2*5+5, и т.д.

(То есть 7, 9, 11, 13, 15, ... ).

GpHUO7uk · 05.10.2014, 18:52

Берем один элемент множества: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = 2n + 5$ . Берем другой элемент $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B = 2m + 5$ . Складываем два нечетных числа A и B, получаем четное. Это четное число нельзя представить в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2q + 5$ ни для какого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q \in \mathbb{N}$ , значит, оно к множеству не принадлежит.
Вывод: условие замкнутости не выполнено, множество не является группой относительно сложения.

@vvisiliy96 · 05.10.2014, 18:55 **[ТС]**

А вот предположим задача будет стоять так:

Узнать, какие аксиомы выполняются для уравнения:
aob = a^b;
или
aob=a^2 *b^2;
Ну или вообще:
aob= min(a,b);

В них ведь совсем не такое дано как у меня в первом задании.

Добавлено через 1 минуту

Добавлено через 57 секунд
Если замкнутость проходит то проверяем следующую аксиому?

@RefSol · 05.10.2014, 20:24

vvisiliy96, потому что != - это знак "не равно" а не (5+5)!
получаем (2n + 5) + (2n + 5) = (2+2)*n +(5+5) != 2*(p+n) + 5

Добавлено через 3 минуты
(2+2)*n +(5+5) - это чётное число
а множество задано 2n+5 - нечётными,
сумма двух нечётных будет чётным числом

@vvisiliy96 · 05.10.2014, 22:23 **[ТС]**

Сообщение от RefSol

(2+2)*n +(5+5) - это чётное число
а множество задано 2n+5 - нечётными,
сумма двух нечётных будет чётным числом

Понял. Только вопрос.
В условии указано:

Сообщение от vvisiliy96

...относительно операции сложения

Если бы было написано например, относительно операции умножения, то как решать нужно было тогда?

@RefSol · 05.10.2014, 22:36

Сообщение от vvisiliy96

Если бы было написано например, относительно операции умножения, то как решать нужно было тогда?

тогда нужно было бы умножать, например,
(2n + 5) * (2p + 5) = 4np + 10p + 10n + 25 = (т.к. 4np + 10p + 10n + 20 -- чётное, а 25 -- нечётное, то ) = 4np + 10p + 10n + 25 -- нечётное, следовательно принадлежит указанному множеству нечётных чисел и относительно умножения является мультипликативной группой (причём ещё и абелевой т.к. операция коммутативна x*y = y*x )

Добавлено через 4 минуты
P.S.: Группа
коммутативна (или абелева), если выполняется: x∗y = y∗x.

@vvisiliy96 · 05.10.2014, 23:22 **[ТС]**

Можете тогда ещё объяснить как эти аксиомы находить?
Вот на пример задачка к этому же множеству - какие аксиомы тут выполняются? Просто я не до конца понимаю как их всех проверять.

@RefSol · 05.10.2014, 23:53

1. (x∗y)∗z = x∗(y∗z) 2. x^-1∗x = x∗x^-1 = e 3. x∗e = e∗x = x.
x^-1 -- обратный элемент
e -- единичный элемент
Проверка осуществляется при помощи анализа соответствующих выражений и множеств на соответствие аксиомам.
Обычно используют законы элементарной алгебры, метод математической индукции, теорию матриц и т.д.
В зависимости от того какое именно множество образует группу (а в общем случае алгебраическую структуру).

Добавлено через 4 минуты
кстати, приведённое вами множество $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X | x = 2n+5, n\in N (N = 0,1,2,....)$ не содержит обратного элемента и единичного элемента поэтому группой не является.

@vvisiliy96 · 06.10.2014, 00:31 **[ТС]**

Верно я понимаю на счёт обратного элемента для своего примера:
2n^-1+5 = 2n+5^-1 = 1/2n +5 = 2n+1/5 = (подставив в n=1 например) = 1/2+5 != 2+1/5;
И тогда не получается что множество не содержит обратного элемента. Так?

@Alex5 · 06.10.2014, 00:53

Сообщение от vvisiliy96

2n^-1+5 = 2n+5^-1

vvisiliy96, сначала можно бы разобраться, о чём говорится в условии задачи.

Если непонятно, что означает запись $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{ 2n+5 | n \in N \}$ , нет смысла что-то решать дальше.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{ x = 2n+5 | n \in N \}$ , что означают скобки { и }, что здесь означает символ |
x=2n+5, как следует понимать это равенство.

@vvisiliy96 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.09.2014 Сообщений: 14
	05.10.2014, 23:22 [ТС]	12
	Можете тогда ещё объяснить как эти аксиомы находить? Вот на пример задачка к этому же множеству - какие аксиомы тут выполняются? Просто я не до конца понимаю как их всех проверять. 0

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	05.10.2014, 16:19	2
	Сообщение от vvisiliy96 тут нам нужно проверить ассоциативность Ассоциативность. a, b, c - какие-то элементы множества. Верно ли что выполняется свойство a+(b+c) = (a+b)+c ? Сообщение от vvisiliy96 образует ли ... группу vvisiliy96, понятно ли, какое множество задано? Какие из чисел 4, 8, 11, -10, -3 принадлежат, а какие не принадлежат этому множеству? Сообщение от vvisiliy96 Если я верно понимаю, то так как у групп есть 4 аксиомы:замкнутость, ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент vvisiliy96, да, правильно. 0

@vvisiliy96 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.09.2014 Сообщений: 14
	05.10.2014, 16:37 [ТС]	3
	Сообщение от Alex5 Какие из чисел 4, 8, 11, -10, -3 принадлежат, а какие не принадлежат этому множеству? Раз натуральные то 4,8,11 Получается что множество натуральных чисел образует группу относительно операции сложения? Ведь 2n+6 = 2n+6, если мы берём с=1 (например). Так? 0

@RefSol 504 / 247 / 75 Регистрация: 31.10.2010 Сообщений: 742
	05.10.2014, 16:56	4
	(2n + 5) + (2n + 5) = (2+2)n +(5+5) != 2(p+n) + 5 - значит относительно операции сложения алгебраическая структура не замкнута, следовательно группой не является 0

@vvisiliy96 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.09.2014 Сообщений: 14
	05.10.2014, 17:23 [ТС]	5
	Сообщение от RefSol (2n + 5) + (2n + 5) = (2+2)n +(5+5)!* = 2(p+n) + 5 А почему (5+5)!* ? Добавлено через 19 минут Сообщение от RefSol 2*(p+n) + 5 И (p+n) ? 0

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	05.10.2014, 18:06	6
	Сообщение от vvisiliy96 Раз натуральные vvisiliy96, не все натуральные числа принадлежат Вашему множеству, а такие: 21+5, 22+5, 23+5, 24+5, 2*5+5, и т.д. (То есть 7, 9, 11, 13, 15, ... ). 0

GpHUO7uk 102 / 81 / 17 Регистрация: 08.06.2014 Сообщений: 316
	05.10.2014, 18:52	7
	Берем один элемент множества: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = 2n + 5$ . Берем другой элемент $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B = 2m + 5$ . Складываем два нечетных числа A и B, получаем четное. Это четное число нельзя представить в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2q + 5$ ни для какого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q \in \mathbb{N}$ , значит, оно к множеству не принадлежит. Вывод: условие замкнутости не выполнено, множество не является группой относительно сложения. 0

@vvisiliy96 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.09.2014 Сообщений: 14
	05.10.2014, 18:55 [ТС]	8
	А вот предположим задача будет стоять так: Узнать, какие аксиомы выполняются для уравнения: aob = a^b; или aob=a^2 b^2; Ну или вообще: aob= min(a,b); В них ведь совсем не такое дано как у меня в первом задании. Добавлено через 1 минуту* Добавлено через 57 секунд Если замкнутость проходит то проверяем следующую аксиому? 0

@RefSol 504 / 247 / 75 Регистрация: 31.10.2010 Сообщений: 742
	05.10.2014, 20:24	9
	vvisiliy96, потому что != - это знак "не равно" а не (5+5)! получаем (2n + 5) + (2n + 5) = (2+2)n +(5+5) != 2(p+n) + 5 Добавлено через 3 минуты (2+2)*n +(5+5) - это чётное число а множество задано 2n+5 - нечётными, сумма двух нечётных будет чётным числом 0

@vvisiliy96 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.09.2014 Сообщений: 14
	05.10.2014, 22:23 [ТС]	10
	Сообщение от RefSol (2+2)n +(5+5) - это чётное число а множество задано 2n+5 - нечётными, сумма двух нечётных будет чётным числом Понял. Только вопрос. В условии указано: Сообщение от vvisiliy96* ...относительно операции сложения Если бы было написано например, относительно операции умножения, то как решать нужно было тогда? 0

@RefSol 504 / 247 / 75 Регистрация: 31.10.2010 Сообщений: 742
	05.10.2014, 22:36	11
	Сообщение от vvisiliy96 Если бы было написано например, относительно операции умножения, то как решать нужно было тогда? тогда нужно было бы умножать, например, (2n + 5) * (2p + 5) = 4np + 10p + 10n + 25 = (т.к. 4np + 10p + 10n + 20 -- чётное, а 25 -- нечётное, то ) = 4np + 10p + 10n + 25 -- нечётное, следовательно принадлежит указанному множеству нечётных чисел и относительно умножения является мультипликативной группой (причём ещё и абелевой т.к. операция коммутативна xy = yx ) Добавлено через 4 минуты P.S.: Группа коммутативна (или абелева), если выполняется: x∗y = y∗x. 0

	06.10.2014, 00:53

@RefSol 504 / 247 / 75 Регистрация: 31.10.2010 Сообщений: 742
	05.10.2014, 23:53	13
	1. (x∗y)∗z = x∗(y∗z) 2. x^-1∗x = x∗x^-1 = e 3. x∗e = e∗x = x. x^-1 -- обратный элемент e -- единичный элемент Проверка осуществляется при помощи анализа соответствующих выражений и множеств на соответствие аксиомам. Обычно используют законы элементарной алгебры, метод математической индукции, теорию матриц и т.д. В зависимости от того какое именно множество образует группу (а в общем случае алгебраическую структуру). Добавлено через 4 минуты кстати, приведённое вами множество $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X \| x = 2n+5, n\in N (N = 0,1,2,....)$ не содержит обратного элемента и единичного элемента поэтому группой не является. 0

@vvisiliy96 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.09.2014 Сообщений: 14
	06.10.2014, 00:31 [ТС]	14
	Верно я понимаю на счёт обратного элемента для своего примера: 2n^-1+5 = 2n+5^-1 = 1/2n +5 = 2n+1/5 = (подставив в n=1 например) = 1/2+5 != 2+1/5; И тогда не получается что множество не содержит обратного элемента. Так? 0

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	06.10.2014, 00:53	15
	Сообщение от vvisiliy96 2n^-1+5 = 2n+5^-1 vvisiliy96, сначала можно бы разобраться, о чём говорится в условии задачи. Если непонятно, что означает запись $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{ 2n+5 \| n \in N \}$ , нет смысла что-то решать дальше. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{ x = 2n+5 \| n \in N \}$ , что означают скобки { и }, что здесь означает символ \| x=2n+5, как следует понимать это равенство. 0