любительматем

Здравствуйте, уважаемые форумчане. Вот очень интересное задание:

Найдите наибольшее отрицательное значение параметра "а", при котором уравнение
((x-1)^(1/4))-2x=a (1)
имеет единственное решение.

Решение1.
Рассматривая левую часть уравнения как функцию от переменной "x", определённой при x>=1,
найдём её критические точки, приравняв производную данной функции к нулю.
Корнем уравнения y'=0 окажется число x0=1,0625. Легко проверить, что это точка максимума
функции левой части уравнения (1), поскольку при переходе через эту точку её производная меняет
знак с "+" на "-". Таким образом, уравнение (1) будет иметь единственное решение лишь в случае,
когда касательная к функции f(x)=((x-1)^(1/4))-2x в точке x0=1,0625 y=f(x0)=a.
Итак, положив в уравнение (1) x0=1,0625, получаем ответ a=-1,625
Решение2.
Преобразуем уравнение (1), перенеся 2x в правую часть. Получим
(x-1)^(1/4)=2x+a (2)
Построив графики функций f1(x)=(x-1)^(1/4) и f2(x)=2x становится ясно,
что наибольшее отрицательное значение параметра "а", при котором уравнения (1) и (2)
имеют единственное решение a=-2 .

То есть, решив уравнение двумя разными методами получаем разные решения a=-1,625 и a=-2.

Буду признателен человеку, который объяснит данный феномен.

@кот Бегемот

А никакого феномена здесь нет. Графики надо уметь строить и анализировать. Решение единственное - оно указано Вами в части 1. Второе значение параметра а=-2 решением не является, т.к. не выполняется условие единственности. При а=-2 уравнение имеет 2 решения.
Постройте график функции у=(х-1)^(1/4)-2х+2 и убедитесь в этом сами.

Функция обращается в 0 при х=1 и х=1,397

3

@helter

По поводу парадокса.

Правда, мне лень строить графики. А как именно становится ясно?

0

Байт

y = x^1/4 - "парабола", y = 2x -2 - прямая, пересекающая эту параболу в точках (1,0) и еще какой-то (ее точные координаты не имеют никакого значения.

1