Аппроксимация синусоиды

@hudrogen · Регистрация: 19.05.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Помогите с аппроксимацией.

С шагом в 1 на отрезке от 0 до 360 для каждого X сопоставляется другое значение Y.
Y = sin(x) +delta delta={-0.01..0.01}
Если это все отобразить графически то получится корявая синусоида

Нужно аппроксимировать это синусоиду в нормальную. Какие методы применять в конкретном случае, может есть готовые алгоритмы?

@Mysterious Light · 17.10.2015, 16:44

Если я правильно понял суть задачи, что дан набор точек, которые лежат почти на синусоиде, и необходимо определить параметры этой самой синусоиды, то достаточно метода наименших квадратов.

Суть в минимизации функции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(a,k) = \sum_n (y_n - a\sin(kx_n))^2$

которая соотв. уравнениям

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_n \sin(kx_n)(y_n - a\sin(kx_n)) = 0, \\<br /> \sum_n \cos(kx_n)(y_n-a\sin(kx_n))=0$

Эти уравнения решаются относительно (a,k) любыми численными методами. Например, методом градиентного спуска или методом Ньютона.

Если честность не очень важна, то можно найти любые две точки, которые будут достаточно далеко друг от друга по X, но Y~0 у обеих.
Далее считаем сумму всех Y точек, которые по X располагаются между ними, ищем среди них попутно наибольший Y. Делим сумму на наибольший Y, делим на число точек, умножаем на разницу X крайних точек, получаем оценку (с точностью до константы) на период синусоиды. Ну и так далее.

@hudrogen · 20.10.2015, 16:19 **[ТС]**

С учетом вашего сообщения переделал задачу, для моего случая она будет выглядеть вот-так. С методами решения систем уравнений не разобрался, слишком математическим языком описывается алгоритм. Нуждаюсь в вашей помощи.

Не по теме:

Не знаю как вбивать здесь формулы поэтому пришлось воспользоваться Google Docs и привести скриншот задачи

@Mysterious Light · 20.10.2015, 17:55

Возьмём к примеру итеративный метод Ньютона решения системы уравнений F(a,b,c)=0, который заключается в переходе на каждом шаге от точки A к точке , где J — матрица из производных компонент вектора F по компонентам A=(a,b,c).

F имеет вид:

Code
1
2
3
4
5
F[a,b,c] = Sum[{
   y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c],
   Sin[x[[n]] + c] (y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c]),
   Cos[x[[n]] + c] (y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c])
   }, {n, 1, len}];

J можно считать конечными разницами или выписать аналитическую формулу. Я переложил эту задачу на Wolfram Mathematica.

В качестве начальной точки я использовал a=b=c=0, 10 шагов.

Итак, вот решение:

@hudrogen · 05.11.2015, 13:23 **[ТС]**

По вашей схеме не получилось сделать, не разобрался в ней все равно. Мне всю эту аппроксимацию надо реализовать на Delphi.

Попробовал "аппроксимировать" по трем точкам по схеме z[n] = (y[n-1] + y[n] + y[n+1] )/3. где Y[n] - изначально данный массив значений по Х.
По этой схеме параметры a, b находятся достаточно точно, ошибки во втором знаке после запятой. У фазы получается разброс +- 10 градусов. Далее считая что параметры a,b правильные пытался решить уравнение одной неизвестной - по фазе. Ответ получается почему-то всегда равен - 180 градусам. Буду благодарен если опишите ваш алгоритм более подробно на Delphi (или похожем ЯП)

@hudrogen · 09.11.2015, 11:34 **[ТС]**

В общем расписываю одно из верных решений для моего случая с сайта

Если X идёт с равномерным шагом, то МНК не нужен.
Сначала сводите задачу к Y=a+d*sin(X)+f*cos(X).
Довольно очевидно, что a=sum(Y)/n (поскольку sum(sin(X))=sum(cos(X))=0).
Далее, умножаете обе части исходной формулы на sin(X):
sum(Y*sin(x))=a*sum(sin(X))+d*sum(sin(X) ^2)+f*sum(sin(X)*cos(X))
Выполняются условия sum(sin(X))=sum(sin(X)*cos(X))=0, sum(sin(X)^2)=n/2 (если n > 2). Отсюда d=sum(Y*sin(X))*2/n. Аналогично, f=sum(Y*cos(X))*2/n.

b и c вычисляется из системы уравнений
b*cos(c) = d
b*sin(c) = f

@Excalibur921 · 12.11.2015, 20:05

А зачем перемалывать кучу тригонометрии? А не проще визуально на графике таская всего 2 точки задать одной амплитуду а второй частоту? И взять формулу синусоиды где будут всего 2 параметра A0 частота, A1 амплитуда.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134

	Аппроксимация синусоиды 16.10.2015, 15:02. Показов 20618. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Помогите с аппроксимацией. С шагом в 1 на отрезке от 0 до 360 для каждого X сопоставляется другое значение Y. Y = sin(x) +delta delta={-0.01..0.01} Если это все отобразить графически то получится корявая синусоида Нужно аппроксимировать это синусоиду в нормальную. Какие методы применять в конкретном случае, может есть готовые алгоритмы? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4310 / 2102 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,184 Записей в блоге: 24
	17.10.2015, 16:44
	Если я правильно понял суть задачи, что дан набор точек, которые лежат почти на синусоиде, и необходимо определить параметры этой самой синусоиды, то достаточно метода наименших квадратов. Суть в минимизации функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(a,k) = \sum_n (y_n - a\sin(kx_n))^2$ которая соотв. уравнениям $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_n \sin(kx_n)(y_n - a\sin(kx_n)) = 0, \\<br /> \sum_n \cos(kx_n)(y_n-a\sin(kx_n))=0$ Эти уравнения решаются относительно (a,k) любыми численными методами. Например, методом градиентного спуска или методом Ньютона. Если честность не очень важна, то можно найти любые две точки, которые будут достаточно далеко друг от друга по X, но Y~0 у обеих. Далее считаем сумму всех Y точек, которые по X располагаются между ними, ищем среди них попутно наибольший Y. Делим сумму на наибольший Y, делим на число точек, умножаем на разницу X крайних точек, получаем оценку (с точностью до константы) на период синусоиды. Ну и так далее. 2

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
	20.10.2015, 16:19 [ТС]
	С учетом вашего сообщения переделал задачу, для моего случая она будет выглядеть вот-так. С методами решения систем уравнений не разобрался, слишком математическим языком описывается алгоритм. Нуждаюсь в вашей помощи. Не по теме: Не знаю как вбивать здесь формулы поэтому пришлось воспользоваться Google Docs и привести скриншот задачи 0

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
	05.11.2015, 13:23 [ТС]
	По вашей схеме не получилось сделать, не разобрался в ней все равно. Мне всю эту аппроксимацию надо реализовать на Delphi. Попробовал "аппроксимировать" по трем точкам по схеме z[n] = (y[n-1] + y[n] + y[n+1] )/3. где Y[n] - изначально данный массив значений по Х. По этой схеме параметры a, b находятся достаточно точно, ошибки во втором знаке после запятой. У фазы получается разброс +- 10 градусов. Далее считая что параметры a,b правильные пытался решить уравнение одной неизвестной - по фазе. Ответ получается почему-то всегда равен - 180 градусам. Буду благодарен если опишите ваш алгоритм более подробно на Delphi (или похожем ЯП) 0

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
	09.11.2015, 11:34 [ТС]
	В общем расписываю одно из верных решений для моего случая с сайта Если X идёт с равномерным шагом, то МНК не нужен. Сначала сводите задачу к Y=a+dsin(X)+fcos(X). Довольно очевидно, что a=sum(Y)/n (поскольку sum(sin(X))=sum(cos(X))=0). Далее, умножаете обе части исходной формулы на sin(X): sum(Ysin(x))=asum(sin(X))+dsum(sin(X) ^2)+fsum(sin(X)cos(X)) Выполняются условия sum(sin(X))=sum(sin(X)cos(X))=0, sum(sin(X)^2)=n/2 (если n > 2). Отсюда d=sum(Ysin(X))2/n. Аналогично, f=sum(Ycos(X))2/n. b и c вычисляется из системы уравнений bcos(c) = d bsin(c) = f 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	12.11.2015, 20:05
	А зачем перемалывать кучу тригонометрии? А не проще визуально на графике таская всего 2 точки задать одной амплитуду а второй частоту? И взять формулу синусоиды где будут всего 2 параметра A0 частота, A1 амплитуда. 0