Аппроксимация синусоиды

@hudrogen · Регистрация: 19.05.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Помогите с аппроксимацией.

С шагом в 1 на отрезке от 0 до 360 для каждого X сопоставляется другое значение Y.
Y = sin(x) +delta delta={-0.01..0.01}
Если это все отобразить графически то получится корявая синусоида

Нужно аппроксимировать это синусоиду в нормальную. Какие методы применять в конкретном случае, может есть готовые алгоритмы?

@Mysterious Light · 17.10.2015, 16:44

Если я правильно понял суть задачи, что дан набор точек, которые лежат почти на синусоиде, и необходимо определить параметры этой самой синусоиды, то достаточно метода наименших квадратов.

Суть в минимизации функции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(a,k) = \sum_n (y_n - a\sin(kx_n))^2$

которая соотв. уравнениям

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_n \sin(kx_n)(y_n - a\sin(kx_n)) = 0, \\<br /> \sum_n \cos(kx_n)(y_n-a\sin(kx_n))=0$

Эти уравнения решаются относительно (a,k) любыми численными методами. Например, методом градиентного спуска или методом Ньютона.

Если честность не очень важна, то можно найти любые две точки, которые будут достаточно далеко друг от друга по X, но Y~0 у обеих.
Далее считаем сумму всех Y точек, которые по X располагаются между ними, ищем среди них попутно наибольший Y. Делим сумму на наибольший Y, делим на число точек, умножаем на разницу X крайних точек, получаем оценку (с точностью до константы) на период синусоиды. Ну и так далее.

@hudrogen · 20.10.2015, 16:19 **[ТС]**

С учетом вашего сообщения переделал задачу, для моего случая она будет выглядеть вот-так. С методами решения систем уравнений не разобрался, слишком математическим языком описывается алгоритм. Нуждаюсь в вашей помощи.

Не по теме:

Не знаю как вбивать здесь формулы поэтому пришлось воспользоваться Google Docs и привести скриншот задачи

@Mysterious Light · 20.10.2015, 17:55

Возьмём к примеру итеративный метод Ньютона решения системы уравнений F(a,b,c)=0, который заключается в переходе на каждом шаге от точки A к точке , где J — матрица из производных компонент вектора F по компонентам A=(a,b,c).

F имеет вид:

Код

F[a,b,c] = Sum[{
   y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c],
   Sin[x[[n]] + c] (y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c]),
   Cos[x[[n]] + c] (y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c])
   }, {n, 1, len}];

J можно считать конечными разницами или выписать аналитическую формулу. Я переложил эту задачу на Wolfram Mathematica.

В качестве начальной точки я использовал a=b=c=0, 10 шагов.

Итак, вот решение:

@hudrogen · 05.11.2015, 13:23 **[ТС]**

По вашей схеме не получилось сделать, не разобрался в ней все равно. Мне всю эту аппроксимацию надо реализовать на Delphi.

Попробовал "аппроксимировать" по трем точкам по схеме z[n] = (y[n-1] + y[n] + y[n+1] )/3. где Y[n] - изначально данный массив значений по Х.
По этой схеме параметры a, b находятся достаточно точно, ошибки во втором знаке после запятой. У фазы получается разброс +- 10 градусов. Далее считая что параметры a,b правильные пытался решить уравнение одной неизвестной - по фазе. Ответ получается почему-то всегда равен - 180 градусам. Буду благодарен если опишите ваш алгоритм более подробно на Delphi (или похожем ЯП)

@hudrogen · 09.11.2015, 11:34 **[ТС]**

В общем расписываю одно из верных решений для моего случая с сайта

Если X идёт с равномерным шагом, то МНК не нужен.
Сначала сводите задачу к Y=a+d*sin(X)+f*cos(X).
Довольно очевидно, что a=sum(Y)/n (поскольку sum(sin(X))=sum(cos(X))=0).
Далее, умножаете обе части исходной формулы на sin(X):
sum(Y*sin(x))=a*sum(sin(X))+d*sum(sin(X)^2)+f*sum(sin(X)*cos(X))
Выполняются условия sum(sin(X))=sum(sin(X)*cos(X))=0, sum(sin(X)^2)=n/2 (если n > 2). Отсюда d=sum(Y*sin(X))*2/n. Аналогично, f=sum(Y*cos(X))*2/n.

b и c вычисляется из системы уравнений
b*cos(c) = d
b*sin(c) = f

@Excalibur921 · 12.11.2015, 20:05

А зачем перемалывать кучу тригонометрии? А не проще визуально на графике таская всего 2 точки задать одной амплитуду а второй частоту? И взять формулу синусоиды где будут всего 2 параметра A0 частота, A1 амплитуда.

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
		1
	Аппроксимация синусоиды 16.10.2015, 15:02. Показов 18681. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Помогите с аппроксимацией. С шагом в 1 на отрезке от 0 до 360 для каждого X сопоставляется другое значение Y. Y = sin(x) +delta delta={-0.01..0.01} Если это все отобразить графически то получится корявая синусоида Нужно аппроксимировать это синусоиду в нормальную. Какие методы применять в конкретном случае, может есть готовые алгоритмы? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4300 / 2091 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,162 Записей в блоге: 24
	17.10.2015, 16:44	2
	Если я правильно понял суть задачи, что дан набор точек, которые лежат почти на синусоиде, и необходимо определить параметры этой самой синусоиды, то достаточно метода наименших квадратов. Суть в минимизации функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(a,k) = \sum_n (y_n - a\sin(kx_n))^2$ которая соотв. уравнениям $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_n \sin(kx_n)(y_n - a\sin(kx_n)) = 0, \\<br /> \sum_n \cos(kx_n)(y_n-a\sin(kx_n))=0$ Эти уравнения решаются относительно (a,k) любыми численными методами. Например, методом градиентного спуска или методом Ньютона. Если честность не очень важна, то можно найти любые две точки, которые будут достаточно далеко друг от друга по X, но Y~0 у обеих. Далее считаем сумму всех Y точек, которые по X располагаются между ними, ищем среди них попутно наибольший Y. Делим сумму на наибольший Y, делим на число точек, умножаем на разницу X крайних точек, получаем оценку (с точностью до константы) на период синусоиды. Ну и так далее. 2

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
	20.10.2015, 16:19 [ТС]	3
	С учетом вашего сообщения переделал задачу, для моего случая она будет выглядеть вот-так. С методами решения систем уравнений не разобрался, слишком математическим языком описывается алгоритм. Нуждаюсь в вашей помощи. Не по теме: Не знаю как вбивать здесь формулы поэтому пришлось воспользоваться Google Docs и привести скриншот задачи 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4300 / 2091 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,162 Записей в блоге: 24
	20.10.2015, 17:55	4
	Возьмём к примеру итеративный метод Ньютона решения системы уравнений F(a,b,c)=0, который заключается в переходе на каждом шаге от точки A к точке , где J — матрица из производных компонент вектора F по компонентам A=(a,b,c). F имеет вид: Код F[a,b,c] = Sum[{ y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c], Sin[x[[n]] + c] (y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c]), Cos[x[[n]] + c] (y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c]) }, {n, 1, len}]; J можно считать конечными разницами или выписать аналитическую формулу. Я переложил эту задачу на Wolfram Mathematica. В качестве начальной точки я использовал a=b=c=0, 10 шагов. Итак, вот решение: 1

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
	05.11.2015, 13:23 [ТС]	5
	По вашей схеме не получилось сделать, не разобрался в ней все равно. Мне всю эту аппроксимацию надо реализовать на Delphi. Попробовал "аппроксимировать" по трем точкам по схеме z[n] = (y[n-1] + y[n] + y[n+1] )/3. где Y[n] - изначально данный массив значений по Х. По этой схеме параметры a, b находятся достаточно точно, ошибки во втором знаке после запятой. У фазы получается разброс +- 10 градусов. Далее считая что параметры a,b правильные пытался решить уравнение одной неизвестной - по фазе. Ответ получается почему-то всегда равен - 180 градусам. Буду благодарен если опишите ваш алгоритм более подробно на Delphi (или похожем ЯП) 0

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
	09.11.2015, 11:34 [ТС]	6
	В общем расписываю одно из верных решений для моего случая с сайта Если X идёт с равномерным шагом, то МНК не нужен. Сначала сводите задачу к Y=a+dsin(X)+fcos(X). Довольно очевидно, что a=sum(Y)/n (поскольку sum(sin(X))=sum(cos(X))=0). Далее, умножаете обе части исходной формулы на sin(X): sum(Ysin(x))=asum(sin(X))+dsum(sin(X)^2)+fsum(sin(X)cos(X)) Выполняются условия sum(sin(X))=sum(sin(X)cos(X))=0, sum(sin(X)^2)=n/2 (если n > 2). Отсюда d=sum(Ysin(X))2/n. Аналогично, f=sum(Ycos(X))2/n. b и c вычисляется из системы уравнений bcos(c) = d bsin(c) = f 0

@Excalibur921 1471 / 826 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	12.11.2015, 20:05	7
	А зачем перемалывать кучу тригонометрии? А не проще визуально на графике таская всего 2 точки задать одной амплитуду а второй частоту? И взять формулу синусоиды где будут всего 2 параметра A0 частота, A1 амплитуда. 0

Опции темы