Аппроксимация синусоиды

@hudrogen · Регистрация: 19.05.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Помогите с аппроксимацией.

С шагом в 1 на отрезке от 0 до 360 для каждого X сопоставляется другое значение Y.
Y = sin(x) +delta delta={-0.01..0.01}
Если это все отобразить графически то получится корявая синусоида

Нужно аппроксимировать это синусоиду в нормальную. Какие методы применять в конкретном случае, может есть готовые алгоритмы?

@Mysterious Light · 17.10.2015, 16:44

Если я правильно понял суть задачи, что дан набор точек, которые лежат почти на синусоиде, и необходимо определить параметры этой самой синусоиды, то достаточно метода наименших квадратов.

Суть в минимизации функции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(a,k) = \sum_n (y_n - a\sin(kx_n))^2$

которая соотв. уравнениям

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_n \sin(kx_n)(y_n - a\sin(kx_n)) = 0, \\<br /> \sum_n \cos(kx_n)(y_n-a\sin(kx_n))=0$

Эти уравнения решаются относительно (a,k) любыми численными методами. Например, методом градиентного спуска или методом Ньютона.

Если честность не очень важна, то можно найти любые две точки, которые будут достаточно далеко друг от друга по X, но Y~0 у обеих.
Далее считаем сумму всех Y точек, которые по X располагаются между ними, ищем среди них попутно наибольший Y. Делим сумму на наибольший Y, делим на число точек, умножаем на разницу X крайних точек, получаем оценку (с точностью до константы) на период синусоиды. Ну и так далее.

@hudrogen · 20.10.2015, 16:19 **[ТС]**

С учетом вашего сообщения переделал задачу, для моего случая она будет выглядеть вот-так. С методами решения систем уравнений не разобрался, слишком математическим языком описывается алгоритм. Нуждаюсь в вашей помощи.

Не по теме:

Не знаю как вбивать здесь формулы поэтому пришлось воспользоваться Google Docs и привести скриншот задачи

@Mysterious Light · 20.10.2015, 17:55

Возьмём к примеру итеративный метод Ньютона решения системы уравнений F(a,b,c)=0, который заключается в переходе на каждом шаге от точки A к точке , где J — матрица из производных компонент вектора F по компонентам A=(a,b,c).

F имеет вид:

Code
1
2
3
4
5
F[a,b,c] = Sum[{
   y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c],
   Sin[x[[n]] + c] (y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c]),
   Cos[x[[n]] + c] (y[[n]] - a - b Sin[x[[n]] + c])
   }, {n, 1, len}];

J можно считать конечными разницами или выписать аналитическую формулу. Я переложил эту задачу на Wolfram Mathematica.

В качестве начальной точки я использовал a=b=c=0, 10 шагов.

Итак, вот решение:

@hudrogen · 05.11.2015, 13:23 **[ТС]**

По вашей схеме не получилось сделать, не разобрался в ней все равно. Мне всю эту аппроксимацию надо реализовать на Delphi.

Попробовал "аппроксимировать" по трем точкам по схеме z[n] = (y[n-1] + y[n] + y[n+1] )/3. где Y[n] - изначально данный массив значений по Х.
По этой схеме параметры a, b находятся достаточно точно, ошибки во втором знаке после запятой. У фазы получается разброс +- 10 градусов. Далее считая что параметры a,b правильные пытался решить уравнение одной неизвестной - по фазе. Ответ получается почему-то всегда равен - 180 градусам. Буду благодарен если опишите ваш алгоритм более подробно на Delphi (или похожем ЯП)

@hudrogen · 09.11.2015, 11:34 **[ТС]**

В общем расписываю одно из верных решений для моего случая с сайта

Если X идёт с равномерным шагом, то МНК не нужен.
Сначала сводите задачу к Y=a+d*sin(X)+f*cos(X).
Довольно очевидно, что a=sum(Y)/n (поскольку sum(sin(X))=sum(cos(X))=0).
Далее, умножаете обе части исходной формулы на sin(X):
sum(Y*sin(x))=a*sum(sin(X))+d*sum(sin(X) ^2)+f*sum(sin(X)*cos(X))
Выполняются условия sum(sin(X))=sum(sin(X)*cos(X))=0, sum(sin(X)^2)=n/2 (если n > 2). Отсюда d=sum(Y*sin(X))*2/n. Аналогично, f=sum(Y*cos(X))*2/n.

b и c вычисляется из системы уравнений
b*cos(c) = d
b*sin(c) = f

@Excalibur921 · 12.11.2015, 20:05

А зачем перемалывать кучу тригонометрии? А не проще визуально на графике таская всего 2 точки задать одной амплитуду а второй частоту? И взять формулу синусоиды где будут всего 2 параметра A0 частота, A1 амплитуда.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134

	Аппроксимация синусоиды 16.10.2015, 15:02. Показов 20708. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Помогите с аппроксимацией. С шагом в 1 на отрезке от 0 до 360 для каждого X сопоставляется другое значение Y. Y = sin(x) +delta delta={-0.01..0.01} Если это все отобразить графически то получится корявая синусоида Нужно аппроксимировать это синусоиду в нормальную. Какие методы применять в конкретном случае, может есть готовые алгоритмы? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4313 / 2105 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,204 Записей в блоге: 24
	17.10.2015, 16:44
	Если я правильно понял суть задачи, что дан набор точек, которые лежат почти на синусоиде, и необходимо определить параметры этой самой синусоиды, то достаточно метода наименших квадратов. Суть в минимизации функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(a,k) = \sum_n (y_n - a\sin(kx_n))^2$ которая соотв. уравнениям $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_n \sin(kx_n)(y_n - a\sin(kx_n)) = 0, \\<br /> \sum_n \cos(kx_n)(y_n-a\sin(kx_n))=0$ Эти уравнения решаются относительно (a,k) любыми численными методами. Например, методом градиентного спуска или методом Ньютона. Если честность не очень важна, то можно найти любые две точки, которые будут достаточно далеко друг от друга по X, но Y~0 у обеих. Далее считаем сумму всех Y точек, которые по X располагаются между ними, ищем среди них попутно наибольший Y. Делим сумму на наибольший Y, делим на число точек, умножаем на разницу X крайних точек, получаем оценку (с точностью до константы) на период синусоиды. Ну и так далее. 2

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
	20.10.2015, 16:19 [ТС]
	С учетом вашего сообщения переделал задачу, для моего случая она будет выглядеть вот-так. С методами решения систем уравнений не разобрался, слишком математическим языком описывается алгоритм. Нуждаюсь в вашей помощи. Не по теме: Не знаю как вбивать здесь формулы поэтому пришлось воспользоваться Google Docs и привести скриншот задачи 0

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
	05.11.2015, 13:23 [ТС]
	По вашей схеме не получилось сделать, не разобрался в ней все равно. Мне всю эту аппроксимацию надо реализовать на Delphi. Попробовал "аппроксимировать" по трем точкам по схеме z[n] = (y[n-1] + y[n] + y[n+1] )/3. где Y[n] - изначально данный массив значений по Х. По этой схеме параметры a, b находятся достаточно точно, ошибки во втором знаке после запятой. У фазы получается разброс +- 10 градусов. Далее считая что параметры a,b правильные пытался решить уравнение одной неизвестной - по фазе. Ответ получается почему-то всегда равен - 180 градусам. Буду благодарен если опишите ваш алгоритм более подробно на Delphi (или похожем ЯП) 0

@hudrogen 8 / 8 / 2 Регистрация: 19.05.2014 Сообщений: 134
	09.11.2015, 11:34 [ТС]
	В общем расписываю одно из верных решений для моего случая с сайта Если X идёт с равномерным шагом, то МНК не нужен. Сначала сводите задачу к Y=a+dsin(X)+fcos(X). Довольно очевидно, что a=sum(Y)/n (поскольку sum(sin(X))=sum(cos(X))=0). Далее, умножаете обе части исходной формулы на sin(X): sum(Ysin(x))=asum(sin(X))+dsum(sin(X) ^2)+fsum(sin(X)cos(X)) Выполняются условия sum(sin(X))=sum(sin(X)cos(X))=0, sum(sin(X)^2)=n/2 (если n > 2). Отсюда d=sum(Ysin(X))2/n. Аналогично, f=sum(Ycos(X))2/n. b и c вычисляется из системы уравнений bcos(c) = d bsin(c) = f 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	12.11.2015, 20:05
	А зачем перемалывать кучу тригонометрии? А не проще визуально на графике таская всего 2 точки задать одной амплитуду а второй частоту? И взять формулу синусоиды где будут всего 2 параметра A0 частота, A1 амплитуда. 0