Как вписать в окружность трапецию с данным острым углом и максимальной площадью

@Инкогнито_92 · Регистрация: 10.12.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

@mathmichel · 10.12.2016, 11:40

Пусть у нас трапеция ABCD с параллельными основаниями AD и ВС и заданным углом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle BAD=\alpha$ . Роль переменного параметра играет угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle AOD=2\beta$ . Тогда после несложных манипуляций получим площадь трапеции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{ABCD}=-4R^2sin(2\alpha +2\beta )sin^2\alpha$ (знак минус потому что под синусом стоит угол больше 180^о). После дифференцирования получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(2\alpha +2\beta )=0$ , подходящим решением является только $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\alpha +2\beta =270^o$ , отсюда находим по заданному значению угла альфа угол бета, который однозначно задает трапецию

Добавлено через 6 минут
На всякий случай следует напомнить, что трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная

@Nacuott · 10.12.2016, 20:08

Решал по-другому. За независимую переменную выбрал длину боковой стороны трапеции. Радиус окружности положил равным 1. Оказалось, чтобы в окружность вписать трапецию максимальной площади ее боковая сторона
должна быть равна стороне, вписанного в окружность квадрата. (для любого угла при нижнем основании трапеции).
См.картинку. Внизу графики зависимости площади вписанной трапеции от угла альфа.

@Nacuott · 12.12.2016, 20:54

К этой задаче нужно добавить следующее:
Если угол при нижнем основании основании трапеции меньше 45 градусов, то задача становится некорректной
в том смысле, что трапеция максимальной площади вырождается в треугольник.

@Инкогнито_92 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.12.2016 Сообщений: 1
		1
	Как вписать в окружность трапецию с данным острым углом и максимальной площадью 10.12.2016, 08:59. Показов 1199. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Как вписать в окружность трапецию с данным острым углом и максимальной площадью 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10450 / 6931 / 3772 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,916
	10.12.2016, 11:40	2
	Пусть у нас трапеция ABCD с параллельными основаниями AD и ВС и заданным углом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle BAD=\alpha$ . Роль переменного параметра играет угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\angle AOD=2\beta$ . Тогда после несложных манипуляций получим площадь трапеции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_{ABCD}=-4R^2sin(2\alpha +2\beta )sin^2\alpha$ (знак минус потому что под синусом стоит угол больше 180^о). После дифференцирования получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(2\alpha +2\beta )=0$ , подходящим решением является только $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\alpha +2\beta =270^o$ , отсюда находим по заданному значению угла альфа угол бета, который однозначно задает трапецию Добавлено через 6 минут На всякий случай следует напомнить, что трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная 2

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,923 Записей в блоге: 12
	10.12.2016, 20:08	3
	Решал по-другому. За независимую переменную выбрал длину боковой стороны трапеции. Радиус окружности положил равным 1. Оказалось, чтобы в окружность вписать трапецию максимальной площади ее боковая сторона должна быть равна стороне, вписанного в окружность квадрата. (для любого угла при нижнем основании трапеции). См.картинку. Внизу графики зависимости площади вписанной трапеции от угла альфа. Миниатюры 1

@Nacuott 1806 / 1001 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,923 Записей в блоге: 12
	12.12.2016, 20:54	4
	К этой задаче нужно добавить следующее: Если угол при нижнем основании основании трапеции меньше 45 градусов, то задача становится некорректной в том смысле, что трапеция максимальной площади вырождается в треугольник. 0