Аппроксимация функции

Добрый день. Помогите, пожалуйста с вот такой задачей по ппроксимации функции

Рассмотрим сложную математическую функцию на отрезке [1, 15]:

f(x) = sin(x / 5) * exp(x / 10) + 5 * exp(-x / 2)

Она может описывать, например, зависимость оценок, которые выставляют определенному сорту вина эксперты, в зависимости от возраста этого вина. По сути, задача машинного обучения состоит в том, чтобы приблизить сложную зависимость с помощью функции из определенного семейства. В этом задании мы будем приближать указанную функцию с помощью многочленов.

Как известно, многочлен степени n (то есть w_0 + w_1 x + w_2 x^2 + ... + w_n x^n) однозначно определяется любыми n + 1 различными точками, через которые он проходит. Это значит, что его коэффициенты w_0, ... w_n можно определить из следующей системы линейных уравнений:

где через x_1, ..., x_n, x_{n+1} обозначены точки, через которые проходит многочлен, а через f(x_1), ..., f(x_n), f(x_{n+1}) — значения, которые он должен принимать в этих точках.

Воспользуемся описанным свойством, и будем находить приближение функции многочленом, решая систему линейных уравнений.

Сформируйте систему линейных уравнений (то есть задайте матрицу коэффициентов A и свободный вектор b) для многочлена первой степени, который должен совпадать с функцией f в точках 1 и 15. Решите данную систему с помощью функции scipy.linalg.solve. Нарисуйте функцию f и полученный многочлен. Хорошо ли он приближает исходную функцию?
Повторите те же шаги для многочлена второй степени, который совпадает с функцией f в точках 1, 8 и 15. Улучшилось ли качество аппроксимации?
Повторите те же шаги для многочлена третьей степени, который совпадает с функцией f в точках 1, 4, 10 и 15. Хорошо ли он аппроксимирует функцию? Коэффициенты данного многочлена (четыре числа в следующем порядке: w_0, w_1, w_2, w_3) являются ответом на задачу. Округлять коэффициенты не обязательно, но при желании можете произвести округление до второго знака (т.е. до числа вида 0.42)

Миниатюры

   

0

Что непонятно? Задание, общий принцип решения, конкретные шаги решения?

0

Шаги решения. Буду признателен за любую помощь.

Добавлено через 7 минут
Я просто python 5-й день ковыряю. А до этого не особо программировал.

Добавлено через 3 часа 18 минут

Сообщение от vrm2 Что непонятно? Задание, общий принцип решения, конкретные шаги решения?

Не понятно, как для данного уравнения f(x) = sin(x / 5) * exp(x / 10) + 5 * exp(-x / 2) сформировать систему линейных уравнений (или матрицу коэффициентов A и свободный вектор b) для многочлена первой степени, который должен совпадать с функцией f в точках 1 и 15

Какие для этого многочлена коэффициенты?

0

Берем многочлен первой степени w0 + w1*x = y
Подставляем в него x (1 и 5) и y (вычисляем f от x)
В точке 1 получаем: w0 + w1 * 1 = sin(1/5) * exp(1/10) + 5*exp(-1/2)
В точке 15 получаем: w0 + w1 * 15 = sin(15/5) * exp(15/10) + 5*exp(-15/2)

Получаем систему уравнений:
w0 + 1 * w1 = 3.252
w0 + 15 * w1 = 0.635

Решаем ее, w1 = -0.187, w0 = 3.439
Итоговый многочлен y = 3.439 - 0.187x

Далее повторяем для многочлена второй и третей степеней.

2

правильно ли я понимаю, для многочлена 3-й степени:
w0+w1+w2+w3=3.252
w0+4w1+16w2+64w3=0.6958
w0+10w1+100w2+1000w3=0.1286
w0+15w1+225w2+3375w3=0.635
?

0

Да, очень похоже (но вычисления в правой часть уравнений не проверял)

Добавлено через 1 час 28 минут
Не. Похоже f(4) и f(10) посчитали неправильно. Посчитанные Вами значения сильно разнятся с графиком в начале темы. пересчитайте

0

@vrm2 Спасибо Вам большое. Правильно ли я понимаю, что для многочлена 2-й степени будет вот такое уравнение?

w0 + w1 * x + w2 * x^2 = sin(x / 5) * exp(x / 10) + 5 * exp(-x / 2)

Для точек 1, 8 и 15 получим:

w0 + w1 * 1 + w2*1^2 = sin(1 / 5) * exp(1 / 10) + 5 * exp(-1 / 2)
w0 + w1 * 8 + w2*8^2 = sin(8 / 5) * exp(8 / 10) + 5 * exp(-8 / 2)
w0 + w1 * 15 + w2*15^2 = sin(15 / 5) * exp(15 / 10) + 5 * exp(-15 / 2)

Система ур-й:

w0 + w1*1 + w2*1^2 = 3.25
w0 + w1*8 + w2*8^2 = 2.31
w0 + w1*15 + w2*15^2 = 0.63


Для точек 1, 4, 10 и 15

w0 + w1 * 1 + w2*1^2 + w3*1^3 = sin(1 / 5) * exp(1 / 10) + 5 * exp(-1 / 2)
w0 + w1 * 4 + w2*4^2 + w3*4^3 = sin(4 / 5) * exp(4 / 10) + 5 * exp(-4 / 2)
w0 + w1 * 10 + w2*10^2 + w3*10^3 = sin(10 / 5) * exp(10 / 10) + 5 * exp(-10 / 2)
w0 + w1 * 15 + w2*15^2 + w3*15^3 = sin(15 / 5) * exp(15 / 10) + 5 * exp(-15 / 2)

Система ур-й:

w0 + w1*1 + w2*1^2 +w3*1^3 = 3.25
w0 + w1*4 + w2*4^2 + w3*4^3 = 1.74
w0 + w1*10 + w2*10^2 + w3*10^3 = 2.50
w0 + w1*15 + w2*15^2 + w3*15^3 = 0.63

Вопрос: а как дальше находить коэффициенты w0, w1, w2, w3 ?

0

Да, правильно

Чтобы решить эти системы уравнений понадобится питон и функция scipy.linalg.solve.
Попробуйте решить с помощью этой функции систему из двух уравнений (для много члена первой степени)

Добавлено через 2 минуты
Вот пример http://кофедизайн.рф/informati... in_python/
Разбирайтесь

1

@vrm2 Спасибо за статью. У меня интерпритатор ругается на запятую в векторе. В чем может быть проблема?

Миниатюры

 

0

А что это за число такое - 3.25. - с двумя десятичными точками?

Дробные числа записываются как 3.25
А вот целые можно записать как 1 или 1. или 1.0 и т.п.

Добавлено через 2 минуты
Кстати, в питон 2 целые числа лучше записывать как 1. (с явной десятичной точкой)
А в питоне 3 уже без разницы, как писать - 1 или 1.

1

Да, спасибо. Это я втыкнул с точками для нецелых чисел. Теперь другая проблема
Опять видимо с синтаксисом что-то не то?

Миниатюры

 

0

1. Самый простой способ решать такие проблемы, это поискать текст ошибки в гугл. Первое время эту процедуру Вам придется повторять достаточно часто.

2. Эта ошибка, как и следует из ее текста, говорит о том, что матрица, которую Вы передали, является вырожденной (singular). А значит решения системы уравнений не существует

3. А произошло это из-за того, что неправильно сформировали матрицу, соответствующую системе линейных уравнений
Неверно вычислили коэффициенты в линейных уравнениях: 4^2 = 16 ≠ 8, 15^2 = 225 ≠ 30
Вдобавок, откуда то появились нули в матрице, а в Вашем случае их там быть не должно.

В общем, разбирайте ссылку еще раз. Для начала, решите систему двух уравнений.

1

В самом первом Вашем примере

Получаем систему уравнений:
w0 + 1 * w1 = 3.252
w0 + 15 * w1 = 0.635

Я думал, что тут при w0 коэффициент 0 - отсюда и нули.

0

0 * w0 = 0
1 * w0 = w0

Поэтому
w0 + 1 * w1 = 3.252

То же, что и
1 * w0 + 1 * w1 = 3.252

1

Т.е. для 2-х уравнений матрица будет:

1 1
1 15

вектор
3.25
0.63

Для второй степени:

1 1 1
1 8 16
1 15 30

вектор
3,25
2,31
0,63

Для 3-й степени

1 1 1 1
1 4 8 64
1 10 100 1000
1 15 225 3375

вектор
3,25
1,74
2,50
0,63

При таком раскладе, в ответах отрицательные значения. Это не правильный ответ

Миниатюры

 

0

Может матрица коэффициентов, все-таки составлена неправильно ?

0

Часть уравнений построено неверно (см. пометки)

Сообщение от plywoods Для второй степени: 1 1 1 - верно 1 8 16 - НЕВЕРНО 1 15 30 - НЕВЕРНО

Сообщение от plywoods 1 1 1 1 - верно 1 4 8 64 - НЕВЕРНО 1 10 100 1000 - верно 1 15 225 3375 - верно

Добавлено через 2 минуты
По-моему, это обычная невнимательность

0

Да, так и есть. Большое Вам спасибо за терпение и за помощь

1

В матрице для многочлена 3й степени ошибка. Третий элемент во второй строке это 4 в квадрате, т.е. 16, а не 8.

0

Думаю так правильно:

Миниатюры

 

0