Разбиение числа на неповторяющиеся(различные) слагаемые

@Olegzey · Регистрация: 06.09.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Со стандартного устройства ввода вводится в первой строке число N – разбиваемое
число. 1<=N<=1000.

Нужно выдать на стандартное устройство вывода через пробел N чисел. K-тое число
должно показывать, сколько существует разбиений числа N на слагаемые без повторов, в
которых наибольшее слагаемое не превосходит K.

Например, для N=10:

0 0 0 1 3 5 7 8 9 10

Я написал решение через рекурсию с запоминанием, но не проходит по времени, хотелось бы найти решение

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
#include <iostream>
 
using namespace std;
long long Sl(long long** d, int n, int k)
//реккурентно заданная формула для нахождения количества(через рекурсию)
{
    if (n < 0 || k < 0)
        return 0;
 
    if (d[n][k] > 0 && n >= 0 && k >= 0)
        return d[n][k];
 
    if (k > n&& d[n][n] > 0)
        return d[n][n];
 
    if (k > n&& d[n][n] < 0)
        return Sl(d, n, n);
 
    if (k == 0 && n > 0)
        return 0;
    if (n - k > -1 && k - 1 > -1)
    {
        if (d[n][k - 1] > 0)
        {
            if (d[n - k][k - 1] > 0)
            {
                d[n][k] = d[n][k - 1] + d[n - k][k - 1];
            }
            else
            {
                d[n][k] = d[n][k - 1] + Sl(d, n - k, k - 1);
            }
        }
    }
    d[n][k]= Sl(d,n, k - 1) + Sl(d,n - k, k - 1);
    return d[n][k];
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    long long** d= new long long* [n+1];
    //таблица для уже найденных количеств слагаемых
    for (int i = 0; i < n+1; i++)
    {
        d[i] = new long long[n+1];
        for (int j = 0; j < n+1; j++)
        {
            d[i][j] = -1;
        }
    }
    if (n > 1)
    {
        d[0][0] = 1;
        d[1][1] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout << Sl(d,n, i) << (i == n ? "" : " ");
    }
}

@Shamil1 · 19.12.2019, 12:42

Алгоритм (без оптимизации по производительности):

F#
1
2
3
4
let solve n =
    let addWithShift xx k =
        List.append (List.replicate k 0) (List.take (n + 1 - k) xx) |> List.map2 (+) xx
    [1..n] |> List.scan addWithShift (1 :: List.replicate n 0) |> List.map List.last |> List.skip 1

Пусть список (состояние) содержит количество разбиений чисел от 0 до N на слагаемые без повторов, в которых наибольшее слагаемое не превосходит K. Чтобы получить состояние для k из состояния для k-1, нужно прибавить к нему сдвинутую на k копию. Для k = 0 список выглядит [1, 0, 0, 0, ....] (всего N+1 элементов). Выводить нужно последний элемент (количество разбиений числа N). Для k = 0 выводить не надо.

Добавлено через 2 минуты
В С++ логично для хранения состояния использовать массив, и менять его нужно справа налево (с конца).

@Olegzey · 21.12.2019, 14:51 **[ТС]**

Сообщение от Shamil1

Алгоритм (без оптимизации по производительности):

F#
1
2
3
4
let solve n =
    let addWithShift xx k =
        List.append (List.replicate k 0) (List.take (n + 1 - k) xx) |> List.map2 (+) xx
    [1..n] |> List.scan addWithShift (1 :: List.replicate n 0) |> List.map List.last |> List.skip 1

Пусть список (состояние) содержит количество разбиений чисел от 0 до N на слагаемые без повторов, в которых наибольшее слагаемое не превосходит K. Чтобы получить состояние для k из состояния для k-1, нужно прибавить к нему сдвинутую на k копию. Для k = 0 список выглядит [1, 0, 0, 0, ....] (всего N+1 элементов). Выводить нужно последний элемент (количество разбиений числа N). Для k = 0 выводить не надо.

Добавлено через 2 минуты
В С++ логично для хранения состояния использовать массив, и менять его нужно справа налево (с конца).

Не совсем понятно, как именно получать количество, а именно, что за копии сдвинутые на k ?

@Shamil1 · 22.12.2019, 10:46

Копия, сдвинутая на 2:

Code
1
2
1 1 2 3 1 0 0 0
0 0 1 1 2 3 1 0

Список (состояние) содержит количество разбиений чисел от 0 до N. Соответственно, последний элемент содержит количество разбиений числа N.

@Olegzey · 24.12.2019, 18:21 **[ТС]**

Shamil1 Спасибо большое за ваши рассуждения,но я так и не понял идеи вашего решения, но нашёл своё, может кому понадобится:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
 
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    long long** d = new long long* [n + 1];
    //таблица для уже найденных количеств слагаемых
    for (int i = 0; i < n + 1; i++)
    {
        d[i] = new long long[n + 1];
        for (int j = 0; j < n + 1; j++)
        {
            d[i][j] = 0;
        }
    }
    d[0][0] = 1;
    d[1][1] = 1;
    for (int i = 0; i < n + 1; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= i; j++)
        {
            if (j == 0 && i != 0)
            {
                d[i][j] = 0;
            }
            if (i > 0 && j > 0)
                d[i][j] = (d[i - j][j - 1] + d[i][j - 1])%1000000000;
 
        }
        for (int k = i + 1; k < n + 1; k++)
        {
            d[i][k] = d[i][i];
        }
    }
    for (int i = 1; i < n + 1; i++)
    {
        cout << (d[n][i])%1000000000 << (i == n ? "" : " ");
    }
}

@Shamil1 · 25.12.2019, 10:29

Сообщение от Olegzey

я так и не понял идеи вашего решения

Общая идея такая же, как у Вас, но немного другая реализация.

Готовим массив промежуточных решний решений d. d[i, j] - количество разбиений числа j на слагаемые не больше i.

На слагаемые не больше 0 можно разбить только 0, поэтому нулевая строка (i = 0) выглядит так:

Code
1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Чтобы посчитать d[i, j], нужно к количеству разбиений числа j без использования слагаемого i прибавить количество разбиений числа j с использованием слагаемого i.
Количеству разбиений числа j без использования слагаемого i уже посчитано раньше и равно d[i-1,j].
Количество разбиений числа j с использованием слагаемого i равно количеству разбиений числа j-i без использования слагаемого i. Оно тоже уже посчитано раньше и равно d[i-1,j-i].

Чтобы посчитать всю строку d[i], нужно к строке d[i-1] прибавить строку d[i-1], сдвинутую на j позиций вправо.
Строка 1:

Code
1
2
3
  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
= 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Строка 2:

Code
1
2
3
  1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
= 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

Строка 3:

Code
1
2
3
  1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
+ 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 
= 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0

Заметим, что для вычисления каждой строки мы используем только одну предыдущую. Поэтому весь массив хранить не нужно - достаточно хранить последнюю вычисленную строку массива. А так как для вычисления элемента мы используем только более левые элементы, то изменять её нужно справа налево.
На каждом шаге нужно печатать (или сохранять) последний элемент строки - количество разбиений числа N.

В императивном стиле код будет выглядеть так:

F#
1
2
3
4
5
6
7
let solve n = 
    let (d : int array) = Array.zeroCreate (n + 1)
    d.[0] <- 1
    for i = 1 to n do
        for j = n downto i do 
            d.[j] <- d.[j] + d.[j-i]
        printf "%i " d.[n]

@Olegzey · 27.12.2019, 16:14 **[ТС]**

Shamil1, теперь понял, ваше решение однозначно быстрее, но для меня такой быстроты и не требуется, но тем не менее, огромное вам спасибо за потраченное время, теперь то можно и тему закрыть

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Первый деплой lagorue 16.01.2026 Не спеша развернул своё 1ое приложение в kubernetes. А дальше мне интересно создать 1фронтэнд приложения и 2 бэкэнд приложения развернуть 2 деплоя в кубере получится 2 сервиса и что-бы они. . .	Расчёт переходных процессов в цепи постоянного тока igorrr37 16.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с R, L, C, k(ключ), U, E, J. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа, решает её и находит токи на L и напряжения на C в установ. режимах до и. . .	Восстановить юзерскрипты Greasemonkey из бэкапа браузера damix 15.01.2026 Если восстановить из бэкапа профиль Firefox после переустановки винды, то список юзерскриптов в Greasemonkey будет пустым. Но восстановить их можно так. Для этого понадобится консольная утилита. . .	Изучаю kubernetes lagorue 13.01.2026 А пригодятся-ли мне знания kubernetes в России?
Сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/	WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .	Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .

@Olegzey 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.09.2018 Сообщений: 8
	27.12.2019, 16:14 [ТС]
	Shamil1, теперь понял, ваше решение однозначно быстрее, но для меня такой быстроты и не требуется, но тем не менее, огромное вам спасибо за потраченное время, теперь то можно и тему закрыть 0

Разбиение числа на неповторяющиеся(различные) слагаемые

Решение