Алгоритм для нахождения в массиве чисел максимально длинной последовательности в порядке возрастания

@Fatmarmelad · Регистрация: 20.02.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день!
Есть массив из разных чисел, следующих в случайном порядке. Какой может быть алгоритм для нахождения максимально длинной цепочки значений в порядке возрастания?
Например

[12, 0, 1, 5, 9, 8, 7, 3, 4, 5, 6, 10, 10, 11, 2]

Может быть последовательность 0-1-2 или 0-1-5-9-10-11. Но может быть и такая- более длинная - 0-1-3-4-5-6-10-11.
Может уже существуют алгоритмы для такого задания?

@Mikhaylo · 12.10.2024, 19:17

Учи динамическое программирование.
Смысл такой: пусть ранее была найдена цепочка длиной n. Посмотрим на элемент последовательности справа от цепочки: 1. Этот элемент продолжает цепочку, т.е. больше или равен последнему элементу цепочки. 2. Элемент завершает цепочку, т.е. меньше последнего элемента цепочки. В первом случае понятно. Во втором случае сравниваем текущую цепочку с максимально длинной найденной ранее. 3. Если цепочка длиннее, то ею замещаем максимальную. 4. Если цепочка меньше, то забываем её. 5. Продолжаем искать новую цепочку: первым элементом в ней будет тот элемент, который завершил последнюю цепочку в п.2.

Начинается поиск с цепочки, состоящего из одного элемента - первого в общей последовательности. Длина максимальной цепочки на старте равна нулю. Смотрим элемент справа....... [см. выше]

@Fatmarmelad · 13.10.2024, 11:45 **[ТС]**

Если выстраивать последовательность из чисел, каждое из которых больше предыдущего, "на пути" такой цепочки может встретиться число, которое меньше последнего в уже созданной цепочки, и оно может быть меньше предпоследнего числа в создающейся цепочке и меньше того, что находится перед предпоследним. То есть, в случае попадания на число которое меньше, чем последнее в создающейся последовательности, его нужно сравнивать с каждым из этой последовательности - предпоследним, пред-предпоследним и т.д, пока не будет найдено число, которое меньше. Потом уже, когда, выстраивание текущей последовательности закончено, можно создавать новую, имея найденное выше число, и фрагмент уже созданной цепочки от её начала и до первого числа, которое оказалось меньше, чем упомянутое выше. То есть, при нахождение первого же числа, которое меньше, чем крайнее в создаваемой последовательности, нужно возвращаться вниз по этой последовательности и сравнивать каждое число в ней, с тем, на которое "наткнулись".
Но может есть, какой-то другой алгоритм? Массив выше был приведён только для примера.

@Mikhaylo · 13.10.2024, 13:05

Ага, я понял. Я не учёл, что цепочка строится необязательно из соседствующих элементов.

Тогда важным является значение элементов.

[12, 0, 1, 5, 9, 8, 7, 3, 4, 5, 6, 10, 10, 11, 2]

Пробежимся по последовательности и преобразуем убывающие подпоследовательности так:
[(0, 12), 1, 5, (3, 7, 8, 9), 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)]
В итоге последовательность из 15 элементов содержит теперь 9 элементов (но сложных).
1 - (0, 12)
2 - 1
3 - 5
4 - (3, 7, 8, 9)
5 - 4
6 - 5
7 - 6
8 - 10
9 - (2, 11)

Найти цепочку - это значит выбрать один элемент по индексу, либо не выбирать ни один из них.

Динамическое программирование: допустим мы просмотрели первые m элементов и выбрали какие-то из них, последний выбранный элемент имеет индекс n (индексация начинается с 1).
Смотрим на элемент под номером (m+1).
1. Если все числа A[m+1] <= A*[n], то переходим к следующему элементу. Здесь звёздочка в обозначении A*[n] означает число, которое было выбрано ранее из нескольких вариантов.
2. Если есть одно или несколько чисел таких, что A[m+1] > A*[n], то рассматриваем только наименьшее из них. Обозначим его A*[m+1]:
2.1 Мы можем добавить число A*[m+1] в цепочку.
2.2 Но в некоторых случаях лучше не добавлять.

Чтобы определить 2.1 или 2.2, найдем ближайший справа элемент x, который A*[n] < x <= A*[m+1]. Если между элементом A*[m+1] и x имеется хотя бы один элемент, то поступаем по п.2.2.

Добавлено через 28 минут
Самые длинные цепочки могут начинаться только на первом элементе, либо на одной из убывающих подпоследовательностей, то есть всего три варианта начала цепочек
1 - (0, 12)
4 - (3, 7, 8, 9)
9 - (2, 11)

Выбираем минимальные числа, то есть такие
1 - 0
4 - 3
9 - 2

Ниже я рассмотрю поиск первой цепочки, которая начинается с элемента "0":

Кликните здесь для просмотра всего текста

Шаг №1
[0, 1, 5, (3, 7, 8, 9), 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)]
Рассматриваем элемент "1". Между элементом 0 и 1 не может быть промежуточных чисел, поэтому п.2.1 без поиска справа.

Шаг №2
[0, 1, 5, (3, 7, 8, 9), 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)]
Элемент "5"? Между последним выбранным элементом "1" и "5" справа обнаруживаются целых три элемента 3, 4, 5, значит по п.2.2 пропускаем элемент.

Шаг №3
[0, 1, (3, 7, 8, 9), 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)]
Из элементов (3, 7, 8, 9) выбираем минимальный, то есть "3". На возрастающей подпоследовательности справа нет чисел в диапазоне 1...3, значит идём по п.2.1, добавляем "3" в нашу цепочку.

Шаг №4
[0, 1, 3, 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)]
Несколько простых шагов без комментариев.

Шаг №5
[0, 1, 3, 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)]

Шаг №6
[0, 1, 3, 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)]

Шаг №7
[0, 1, 3, 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)]
Минимальное число "10". Справа в диапазоне 6...10 нет чисел, поэтому п.2.1, добавляем число "10".

Шаг №8
[0, 1, 3, 4, 5, 6, 10, (2, 11)]
"11" - минимальное число, удовлетворяющее условию п.2. Мы его забираем, так как справа чисел больше нет.

Ответ:
[0, 1, 3, 4, 5, 6, 10, 11]

Не забудьте собрать оставшиеся две цепочки. И выбрать среди них максимальную.

@avk959 · 13.10.2024, 15:05

Сообщение от Fatmarmelad

Может уже существуют алгоритмы для такого задания?

Конечно, всё уже давно ~~украдено~~придумано до нас, задача прямо так и называется: "наибольшая возрастающая подпоследовательность"(LIS в англоязычном варианте).

@Mikhaylo · 13.10.2024, 15:58

Сообщение от Mikhaylo

Самые длинные цепочки могут начинаться только на первом элементе, либо на одной из убывающих подпоследовательностей, то есть всего три варианта начала цепочек
1 - (0, 12)
4 - (3, 7, 8, 9)
9 - (2, 11)

Выбираем минимальные числа, то есть такие
1 - 0
4 - 3
9 - 2

Если цепочка начинается с "3" или "2", то к началу этих цепочек можно добавить как минимум один элемент "0" и цепочка станет длиннее, и эта цепочка не будет начинаться с "3" или "2". Значит две оставшиеся цепочки можно даже не рассматривать.

@Igor3D · 13.10.2024, 16:24

Проще написать чем объяснять

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
struct Path {
 int index_prev = -1;  // индекс предыдущего в цепочке
 int count = 1;           // число эл-тов в цепочке
};
 
std::vector<int> GetMaxChain( const std::vector<int> & a )
{
// строим цепочки
 std::vector<Path> path(a.size());
 for (int i = 0; i < a.size(); ++i) {
  for (int j = 0; j < i; ++j) {
   if (a[i] < a[j]) continue; 
   if (path[j].count >= path[i].count) {
    path[i].count = path[j].count + 1;
    path[i].index_prev = j;
   }
 }
 
// выбираем самую длинную цепочку
 int maxC = 0;
 for (int i = 0; i < path.size(); ++i) {
  if (path[i].count > path[maxC].count)
   maxC = i;
 }
 
// выдаем рез-т
 std::vector<int> result;
 while (true) {
  result.push_back(a[maxC]);
  maxC = path[maxC].index_prev;
  if (maxC < 0) break;
 }
 return result;
}

Писал здесь, возможны ошибки. Что неясно - спрашивайте

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@Fatmarmelad 34 / 10 / 2 Регистрация: 20.02.2016 Сообщений: 1,613

	Алгоритм для нахождения в массиве чисел максимально длинной последовательности в порядке возрастания 12.10.2024, 18:59. Показов 856. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Добрый день! Есть массив из разных чисел, следующих в случайном порядке. Какой может быть алгоритм для нахождения максимально длинной цепочки значений в порядке возрастания? Например [12, 0, 1, 5, 9, 8, 7, 3, 4, 5, 6, 10, 10, 11, 2] Может быть последовательность 0-1-2 или 0-1-5-9-10-11. Но может быть и такая- более длинная - 0-1-3-4-5-6-10-11. Может уже существуют алгоритмы для такого задания? 0

@Mikhaylo 698 / 572 / 75 Регистрация: 20.09.2014 Сообщений: 3,697
	12.10.2024, 19:17
	Учи динамическое программирование. Смысл такой: пусть ранее была найдена цепочка длиной n. Посмотрим на элемент последовательности справа от цепочки: 1. Этот элемент продолжает цепочку, т.е. больше или равен последнему элементу цепочки. 2. Элемент завершает цепочку, т.е. меньше последнего элемента цепочки. В первом случае понятно. Во втором случае сравниваем текущую цепочку с максимально длинной найденной ранее. 3. Если цепочка длиннее, то ею замещаем максимальную. 4. Если цепочка меньше, то забываем её. 5. Продолжаем искать новую цепочку: первым элементом в ней будет тот элемент, который завершил последнюю цепочку в п.2. Начинается поиск с цепочки, состоящего из одного элемента - первого в общей последовательности. Длина максимальной цепочки на старте равна нулю. Смотрим элемент справа....... [см. выше] 0

@Fatmarmelad 34 / 10 / 2 Регистрация: 20.02.2016 Сообщений: 1,613
	13.10.2024, 11:45 [ТС]
	Если выстраивать последовательность из чисел, каждое из которых больше предыдущего, "на пути" такой цепочки может встретиться число, которое меньше последнего в уже созданной цепочки, и оно может быть меньше предпоследнего числа в создающейся цепочке и меньше того, что находится перед предпоследним. То есть, в случае попадания на число которое меньше, чем последнее в создающейся последовательности, его нужно сравнивать с каждым из этой последовательности - предпоследним, пред-предпоследним и т.д, пока не будет найдено число, которое меньше. Потом уже, когда, выстраивание текущей последовательности закончено, можно создавать новую, имея найденное выше число, и фрагмент уже созданной цепочки от её начала и до первого числа, которое оказалось меньше, чем упомянутое выше. То есть, при нахождение первого же числа, которое меньше, чем крайнее в создаваемой последовательности, нужно возвращаться вниз по этой последовательности и сравнивать каждое число в ней, с тем, на которое "наткнулись". Но может есть, какой-то другой алгоритм? Массив выше был приведён только для примера. 0

@Mikhaylo 698 / 572 / 75 Регистрация: 20.09.2014 Сообщений: 3,697
	13.10.2024, 13:05
	Ага, я понял. Я не учёл, что цепочка строится необязательно из соседствующих элементов. Тогда важным является значение элементов. [12, 0, 1, 5, 9, 8, 7, 3, 4, 5, 6, 10, 10, 11, 2] Пробежимся по последовательности и преобразуем убывающие подпоследовательности так: [(0, 12), 1, 5, (3, 7, 8, 9), 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)] В итоге последовательность из 15 элементов содержит теперь 9 элементов (но сложных). 1 - (0, 12) 2 - 1 3 - 5 4 - (3, 7, 8, 9) 5 - 4 6 - 5 7 - 6 8 - 10 9 - (2, 11) Найти цепочку - это значит выбрать один элемент по индексу, либо не выбирать ни один из них. Динамическое программирование: допустим мы просмотрели первые m элементов и выбрали какие-то из них, последний выбранный элемент имеет индекс n (индексация начинается с 1). Смотрим на элемент под номером (m+1). 1. Если все числа A[m+1] <= A[n], то переходим к следующему элементу. Здесь звёздочка в обозначении A[n] означает число, которое было выбрано ранее из нескольких вариантов. 2. Если есть одно или несколько чисел таких, что A[m+1] > A[n], то рассматриваем только наименьшее из них. Обозначим его A[m+1]: 2.1 Мы можем добавить число A[m+1] в цепочку. 2.2 Но в некоторых случаях лучше не добавлять. Чтобы определить 2.1 или 2.2, найдем ближайший справа элемент x, который A[n] < x <= A[m+1]. Если между элементом A[m+1] и x имеется хотя бы один элемент, то поступаем по п.2.2. Добавлено через 28 минут Самые длинные цепочки могут начинаться только на первом элементе, либо на одной из убывающих подпоследовательностей, то есть всего три варианта начала цепочек 1 - (0, 12) 4 - (3, 7, 8, 9) 9 - (2, 11) Выбираем минимальные числа, то есть такие 1 - 0 4 - 3 9 - 2 Ниже я рассмотрю поиск первой цепочки, которая начинается с элемента "0": Кликните здесь для просмотра всего текста Шаг №1 [0, 1, 5, (3, 7, 8, 9), 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)] Рассматриваем элемент "1". Между элементом 0 и 1 не может быть промежуточных чисел, поэтому п.2.1 без поиска справа. Шаг №2 [0, 1, 5, (3, 7, 8, 9), 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)] Элемент "5"? Между последним выбранным элементом "1" и "5" справа обнаруживаются целых три элемента 3, 4, 5, значит по п.2.2 пропускаем элемент. Шаг №3 [0, 1, (3, 7, 8, 9), 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)] Из элементов (3, 7, 8, 9) выбираем минимальный, то есть "3". На возрастающей подпоследовательности справа нет чисел в диапазоне 1...3, значит идём по п.2.1, добавляем "3" в нашу цепочку. Шаг №4 [0, 1, 3, 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)] Несколько простых шагов без комментариев. Шаг №5 [0, 1, 3, 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)] Шаг №6 [0, 1, 3, 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)] Шаг №7 [0, 1, 3, 4, 5, 6, (10, 10), (2, 11)] Минимальное число "10". Справа в диапазоне 6...10 нет чисел, поэтому п.2.1, добавляем число "10". Шаг №8 [0, 1, 3, 4, 5, 6, 10, (2, 11)] "11" - минимальное число, удовлетворяющее условию п.2. Мы его забираем, так как справа чисел больше нет. Ответ: [0, 1, 3, 4, 5, 6, 10, 11] Не забудьте собрать оставшиеся две цепочки. И выбрать среди них максимальную. 0