Построить и записать алгоритм вычисления cos(x) для действительного числа x с точностью ε с использованием рекурсии

@vova77 · Регистрация: 04.03.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Построить и записать алгоритм вычисления cos(x) для действительного числа x с точностью ε с использованием рекурсии.

@Mysterious Light · 06.05.2013, 23:51

cos(2x) = 2 cos(x) cos(x) - 1
cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + ...
1 - cos(2x) = 2 sin(x) sin(x)
sin(x) < 2 x / Pi

| 1 - cos(2x) | < 2 (2x/Pi)^2 = 8 x^2 / Pi^2
Если x^2 < Pi^2 eps / 8, то |1-cos(2x)|<eps

Предложение: делаем рекурсивный спуск по формуле cos(x)=2cos(x/2)^2 - 1, пока x > Pi sqrt(eps)/2, затем возвращаем 1-x^2/2. Оценка x < Pi sqrt(eps)/2 делалась для неравенства |1 - cos(x)| < eps, но возвращаем не просто 1, а 1-x^2/2 — до квадратичного члена, то есть с большей точностью. Кстати, Pi/2 < 2.

JavaScript
1
2
3
4
5
6
function cos1(x, eps) {
  if(Math.abs(x) < 2*Math.sqrt(eps)) return (1-x*x/2);
  var c = cos1(x/2, eps);
  return (2*c*c - 1);
}
cos(0.5, 0.001);

Внимательно посмотрев на эту реализацию, можно увидеть хвостовую рекурсию, которую можно представить в виде цикла, что предпочтительнее, потому что не требует памяти под стек вызовов и потому является быстрее. Но это выходит за пределы рассматриваемой задачи.

P.S. Оценка рядом Маклорена-Тейлора при малых аргументах предпочтительнее: сходится быстрее.

@helter · 07.05.2013, 00:43

Можно посчитать по ряду Тейлора, стандартно превратив итерацию в хвостовую рекурсию. Для этого используется вспомогательная функция, которой в качестве дополнительных (по сравнению с изначальной функцией) аргументов передаются все величины, которые хочется помнить (в данном случае номер члена i, очередной член a и вычисленную сумму s).

Haskell
1
2
3
4
5
cos' eps x = helper 1 1 0
    where helper i a s
            | abs a < eps   = s
            | otherwise     = helper (i + 2) newa (s + a)
                where newa = - a * x^2 / (i * (i + 1))

(Применение функций в Хаскелле записывается без скобок.)

Добавлено через 49 секунд
Да, а ряд Тейлора в данном случае удовлетворяет признаку Лейбница (ну, с оговорками), поэтому можно останавливаться, когда очередной член стал меньше эпсилона.

@Alexdemath · 07.05.2013, 01:54

Вариант с помощью ряда Тейлора

JavaScript
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
<script type="text/javascript">
function Cosine(x,eps)
{
    function CosTaylor(x,n,an)
    {
        var an1 = (-1)*an*x*x/(2*n*(2*n-1));
 
        if (Math.abs(an1) < eps) return an + an1;
        else
           { return an + CosTaylor(x,n+1,an1); }
    }
 
    return CosTaylor(x,1,1);
}
</script>
 
<button onclick="alert( Cosine(0.75,0.001) )">Пример для x=0.75 и eps=0.001</button>

16.05.2013, 11:40

а как реализовать решение этой задачи на с++? помогите пожалуйста.

@insideone · 18.05.2013, 18:52

FallenDemon, Создайте тему в разделе C++ для начинающих https://www.cyberforum.ru/cpp-beginners/

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

@vova77 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.03.2013 Сообщений: 20

	Построить и записать алгоритм вычисления cos(x) для действительного числа x с точностью ε с использованием рекурсии 06.05.2013, 17:28. Показов 5283. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Построить и записать алгоритм вычисления cos(x) для действительного числа x с точностью ε с использованием рекурсии. 0

FallenDemon
	16.05.2013, 11:40
	а как реализовать решение этой задачи на с++? помогите пожалуйста.

@insideone 3687 / 964 / 114 Регистрация: 10.01.2010 Сообщений: 2,550
	18.05.2013, 18:52
	FallenDemon, Создайте тему в разделе C++ для начинающих https://www.cyberforum.ru/cpp-beginners/ 0