Военные разработки, многоядерные процессоры, баллистические ракеты - как оно есть на самом деле

Если гармоническую сумму вычислять в прямом порядке, суммируя 1, 1/2, 1/3, и т.д.,
слагаемые постепенно становятся все меньше и в итоге станут меньше, чем разность
между текущей суммой и следующим представимым числом. Поэтому вычисляемые
суммы, начиная с некоторого n (зависящего от точности), не будут увеличиваться.
Вычисляемое так значение Hn перестает расти, когда 1/n становится меньше половины
последнего бита мантиссы текущего значения Hn. Это случается для однократной
точности при n = 221 = 2097152, а для двойной точности при n = 248 = 281474976710656.
Соответствующие значения Hn — 15.133306695… и 33.8482803317789.... Реально же
из-за накопления ошибок округления для однократной точности получается, что
H2097152 равно 15.403683 (здесь только 2 правильных цифры!).
0
числа, имеющие нулевую мантиссу и различные экспоненты,
образуют геометрическую прогрессию с показателем 2 и включают 0
денормализованные числа
расположены через
интервалы, равные
наименьшему из них
5Наиболее простой способ исправить это — считать сумму, начиная с самых маленьких
ее членов. В этом случае H2097152 для однократной точности получается равной
15.132898 (уже 4 верных цифры). Но еще лучше использовать асимптотику.
... 2 ... 240
1
252
1
120
1
12
1
2
1 ln 2
2
2 4 6 8 − ⋅ = + + − + − + − − k
k
n k n
B
n n n n n
H n γ ,
где γ = 0.5772156649... — постоянная Эйлера-Маскерони, а B2k — число Бернулли с
номером 2k. Использование только первых трех слагаемых уже дает для H2097152
значение 15.1333065, в котором только последняя цифра отличается от верной, а для
H281474976710656 при этом получается значение со всеми верными цифрами.