N-тая производная

@PrestoConFuoco · Регистрация: 11.11.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В порядке баловства написал следующие функции вычисления производных:

Haskell
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
deriv :: (Floating a, Ord a) => a -> (a -> a) -> a -> a
deriv eps f x = deriv' f x 0.1 eps
 
deriv' :: (Floating a, Ord a) => (a -> a) -> a -> a -> a -> a
deriv' f x delta eps = if abs(rightd - leftd) < eps 
                       then (rightd + leftd)/2 
                       else deriv' f x (delta/2) eps
   
   where rightd = (f (x+delta) - f x)/delta
         leftd =  (f x - f (x-delta))/delta
 
 
 
deriv_n :: (Floating a, Ord a) => Int -> a -> (a -> a) -> a -> a
deriv_n 0 eps f x = f x
deriv_n n eps f x = deriv_n (n-1) eps (deriv eps f) x

Запускаю ghci, смотрю как результат изменяется в зависимости от eps. Для deriv всё нормально, чем меньше eps, тем точнее ответ к вычисленному аналитически.
Потом то же самое проделываю для deriv_n:

Haskell
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
*Main> let q x = x^3
*Main> deriv_n 2 0.1 q 1
6.000000000000227
*Main> deriv_n 2 0.01 q 1
5.999999999971806
*Main> deriv_n 2 0.001 q 1
5.99999999103602
*Main> deriv_n 2 0.0001 q 1
6.000000238418579
*Main> deriv_n 2 0.00001 q 1
6.005859375
*Main> deriv_n 2 0.000001 q 1
6.00433349609375

Какая-то магия, не иначе. Можно ли как-то это объяснить?
Спасибо.

Добавлено через 3 часа 29 минут
Попробовал с четвертой степенью. Вот что получилось:

Haskell
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
*Main> let q x = x^4
*Main> deriv_n 2 0.1 q 1
12.000195312499784
*Main> deriv_n 2 0.01 q 1
12.00000305134381
*Main> deriv_n 2 0.001 q 1
11.999999894760549
*Main> deriv_n 2 0.0001 q 1
11.99999749660492
*Main> deriv_n 2 0.00001 q 1
12.0025634765625
*Main> deriv_n 2 0.000001 q 1
12.01171875
*Main> deriv_n 2 0.0000001 q 1
0.0
*Main> deriv_n 2 0.00000001 q 1
0.0
*Main> deriv_n 2 0.000000001 q 1
0.0

И дальше уже только нули.
Видно, что сначала точность все-таки увеличивается, но потом падает, как и с кубом.

@Catstail · 26.11.2018, 07:43

Надо бы убедиться, какова реальная точность в Вашем примере (Float или Double). В частности, для Float повышать точность до 0.0000001 уже бессмысленно - Float "вытягивает" 7 значащих цифр в десятичной мантиссе.

Добавлено через 48 минут
Нет, дело здесь не в Float-Double... Нужно анализировать вычислительную схему.

"... Анализ остаточного члена нетривиален, и сведения по этому вопросу можно найти в более полных курсах по численным методам и теории разностных схем. Отметим лишь, что погрешность аппроксимации при уменьшении шага , как правило, уменьшается.

Погрешности, возникающие при численном дифференцировании, определяются также неточными значениями функции в узлах и погрешностями округлений при проведении расчетов на ЭВМ. В отличие от погрешности аппроксимации погрешность округления возрастает с уменьшением шага . Поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результатов.

Оптимальная точность может быть достигнута за счет регуляризации процедуры численного дифференцирования. Простейшим способом регуляризации является такой выбор шага , при котором справедливо неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|f(x)-f(x+h)| > \varepsilon$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ - некоторое малое число. При вычислении производной это исключает вычитание близких по величине чисел, которое обычно приводит к увеличению погрешности. Это тем более опасно при последующем делении приращения функции на малое число . Другой способ регуляризации — сглаживание табличных значений функции подбором некоторой гладкой аппроксимирующей функции, например многочлена..." - взято отсюда

@PrestoConFuoco · 26.11.2018, 14:44 **[ТС]**

Поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результатов.

Ну, это понятно. Смущает как раз то, что при уменьшении шага точность уменьшается.

@Catstail · 26.11.2018, 15:32

Сообщение от PrestoConFuoco

Смущает как раз то, что при уменьшении шага точность уменьшается

- так вычитаются очень близкие числа...

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .	Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Рецензия / Мнение/ Перевод Нашел на реддите интересную статью под названием The Thinkpad X220 Tablet is the best budget school laptop period . Ниже её машинный перевод. Thinkpad X220 Tablet —. . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .

@Catstail Супер-модератор 38162 / 21097 / 4306 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,685 Записей в блоге: 14
	26.11.2018, 07:43
	Надо бы убедиться, какова реальная точность в Вашем примере (Float или Double). В частности, для Float повышать точность до 0.0000001 уже бессмысленно - Float "вытягивает" 7 значащих цифр в десятичной мантиссе. Добавлено через 48 минут Нет, дело здесь не в Float-Double... Нужно анализировать вычислительную схему. "... Анализ остаточного члена нетривиален, и сведения по этому вопросу можно найти в более полных курсах по численным методам и теории разностных схем. Отметим лишь, что погрешность аппроксимации при уменьшении шага , как правило, уменьшается. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании, определяются также неточными значениями функции в узлах и погрешностями округлений при проведении расчетов на ЭВМ. В отличие от погрешности аппроксимации погрешность округления возрастает с уменьшением шага . Поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результатов. Оптимальная точность может быть достигнута за счет регуляризации процедуры численного дифференцирования. Простейшим способом регуляризации является такой выбор шага , при котором справедливо неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|f(x)-f(x+h)\| > \varepsilon$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ - некоторое малое число. При вычислении производной это исключает вычитание близких по величине чисел, которое обычно приводит к увеличению погрешности. Это тем более опасно при последующем делении приращения функции на малое число . Другой способ регуляризации — сглаживание табличных значений функции подбором некоторой гладкой аппроксимирующей функции, например многочлена..." - взято отсюда 0