Неопределенный интеграл

@mishin05 · Регистрация: 14.01.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

...

Вот самое простейшее доказательство того, что интеграл без пределов интегрирования - это не НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл согласно трактовке некоторых основателей *матана, а ОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл с неопределенными границами интегрирования. Т.е. результат вычисления *интеграла с определенными границами интегрирования - часть области значений первообразной (приращение), ограниченное приращением аргумента. Результат вычисления интеграла с неопределенными границами интегрирования есть ВСЯ ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ (не ограниченная приращением) первообразной, т.к. для решения используется вся область допустимых значений (значений аргумента):

Одна из двух основных формул основной теоремы анализа:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)~dt = f(x);$

Производим преобразования:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dx \cdot\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)~dt = f(x)\cdot dx;$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int d \int_a^x f(t)~dt =\int f(x)~dx;$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_a^x f(t)~dt =\int f(x)~dx;$

Последняя формула доказывает, что тот интеграл, который назван НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ, на самом деле - предельный случай определенного интеграла.

Следовательно, определение НЕОПРЕДЕЛЕННОГО интеграла не имеет смысла, как и понятие СЕМЕЙСТВА ПЕРВООБРАЗНЫХ, т. к. одинаковую производную имеют функции, приращения которых по одному и тому же аргументу равны, независимо от общего числа аргументов.

iifat · 30.01.2013, 10:44

Дык и я ж об чём! Если первообразную определять как интеграл с неопределённым пределом, то у неё всяко будет корень (как минимум, в этом пределе). То бишь, например, решения уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\cos x$ уже, к примеру, не заполняют плоскость.

@Catstail · 30.01.2013, 11:00

Сообщение от mishin05

Я показал формулы.

- но не продемонстрировал идеи... А кучу формул может написать любой.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от mishin05

Вот самое простейшее доказательство того, что интеграл без пределов интегрирования - это не НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл согласно трактовке

- начало твоего поста. Ты ссылаешься на понятие "неопределенный интеграл", как на данность, но не даешь определения. Повторю вопрос: что такое неопределенный интеграл? Пока не ответишь, вся твоя "логика" висит в воздухе.

@mishin05 · 30.01.2013, 11:56 **[ТС]**

Сообщение от Igor

mishin05, в Ваших частях F(a) подразумевается, как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt=0.$
Хорошо, возьму другую буковку: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt=W(x)-W(a).$
Т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?W(a)\equiv 0?$ Вы это утверждаете?

Что Вы несете? Каких МОИХ ЧАСТЯХ? Это доказательство основной теоремы матанализа. Вам и она не по душе? Ничем не могу помочь...учите матчасть...

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от Catstail

- но не продемонстрировал идеи... А кучу формул может написать любой.

Добавлено через 2 минуты
- начало твоего поста. Ты ссылаешься на понятие "неопределенный интеграл", как на данность, но не даешь определения. Повторю вопрос: что такое неопределенный интеграл? Пока не ответишь, вся твоя "логика" висит в воздухе.

Идея проста.Необходимо привести формулы в соответствие с основной теоремой матанализа. Так как формула и, как следствие, определение НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА противоречат этой теореме, необходимо заменить это понятие на соответствующее теореме. Вот и всё! Ничего не надо придумывать. Просто изучить теорему! И привести всё остальное в соответствие с ней!

@Catstail · 30.01.2013, 12:51

Сообщение от mishin05

Так как формула и, как следствие, определение НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

- и в третий и в 10-й раз спрошу: что такое неопределенный интеграл (в твоем понимании)? По-моему, неопределенный интеграл (первообразная) для функции f(x), это такая функция g(x), для которой справедливо g'(x)=f(x). Возражения есть?

@JAFHuman · 30.01.2013, 13:47

Сообщение от Catstail

По-моему, неопределенный интеграл (первообразная) для функции f(x), это такая функция g(x), для которой справедливо g'(x)=f(x). Возражения есть?

Вроде как обычно считают, что неопределённый интеграл от функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ - это множество всех её первообразных. И если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)$ одна из её первообразных, то равенство типа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(x)\,dx=F(x)+C$ считают укороченной записью корректного равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(x)\,dx=\{g(x) |\exists C\in\mathbb{R}\colon g(x)=F(x)+C\}$ между множествами.

@Catstail · 30.01.2013, 15:11

JAFHuman, - согласен на 100%! Строго говоря, первообразная это множество функций.

iifat · 30.01.2013, 15:29

Кстати, и доказательство в стартовом письме неправильное.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=g(x)\Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {g(x)dx}\mathbf{+C}$

@JAFHuman · 30.01.2013, 20:32

Сообщение от iifat

Кстати, и доказательство в стартовом письме неправильное.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=g(x)\Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {g(x)dx}\mathbf{+C}$

Ну, в принципе равенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(x)\,dx=\int g(x)\,dx$ тоже верно, если рассматривать его именно как равенство между множествами, а не как между какими-то двумя первообразными.

Добавлено через 19 минут
Ошибка у ТС, имхо, в переходе к последнему равенству. Он пишет, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\,d\int\limits_a^xf(t)\,dt=\int\limits_a^xf(t)\,dt$ , а ведь должно быть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\,d\int\limits_a^xf(t)\,dt=\int\limits_a^xf(t)\,dt+C$ , что приводит к стандартному равенству $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(x)\,dx=\int\limits_a^xf(t)\,dt+C$ , и тогда всё ок: функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\limits_a^xf(t)\,dt$ согласно доказательству, приведённому ТС на второй странице, дифференцируема и её производная равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)$ , поэтому она является её первообразной, а все первообразные отличаются на константу.

@mishin05 · 30.01.2013, 22:30 **[ТС]**

Сообщение от Catstail

- и в третий и в 10-й раз спрошу: что такое неопределенный интеграл (в твоем понимании)? По-моему, неопределенный интеграл (первообразная) для функции f(x), это такая функция g(x), для которой справедливо g'(x)=f(x). Возражения есть?

У Фихтенгольца есть:

@mishin05 · 30.01.2013, 22:59 **[ТС]**

Интеграл вида

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(x)dx$ -

это приращение первообразной

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_a^x f(t)~dt$ ,

потому, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_a^x f(t)~dt =\int f(x)~dx;$ ,

согласно основной теореме матанализа. Все остальное - ничем не обосновынные мыслеблудия!

Добавлено через 15 минут
Производная ФУНКЦИИ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)$ - это зависимость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y$ от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ . Все остальные мыслеформы, типа: "скорость", "тангенс", "радиус-вектор", "ковектор" - это эпические приложения к некоторым частным случаям!

Вот формула этой зависимости:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y=\int_{x_1}^{x_2} y'(x)dx,~~ \Delta x=x_2-x_1$

@Catstail · 30.01.2013, 23:22

Сообщение от mishin05

У Фихтенгольца есть:

- а разве я с этим спорю? Это ты ломишься в открытую дверь... И доказываешь, что первообразная для 1/x есть не ln(x)+C , а ln(x)/1 + C (как будто это не одно и то же).

@mishin05 · 30.01.2013, 23:29 **[ТС]**

Или вот, что одно и то же, только в другом виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y(x)}{\Delta x}$

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от Catstail

- а разве я с этим спорю? Это ты ломишься в открытую дверь... И доказываешь, что первообразная для 1/x есть не ln(x)+C , а ln(x)/1 + C (как будто это не одно и то же).

1. Объясните смысл выражения ln1=0 применительно к графику функции!
2. Без модулей это выражение уже не будет первообразной для f(x)=1/x?

Добавлено через 2 минуты
Я доказываю не то, что написали Вы, а то, что написал я...

@Catstail · 31.01.2013, 00:10

Сообщение от mishin05

Объясните смысл выражения ln1=0

- а чего тут объяснять? Логарифм - это показатель степени. В какую степень нужно возвести 1, чтобы получить нуль? В нулевую.

Сообщение от mishin05

Или вот, что одно и то же, только в другом виде:

- это - определение производной. Что сказать-то хотел?

iifat · 31.01.2013, 02:09

Что-то я всё про синусы да косинусы... Согласно ТС,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int0dx = \int_a^x0dt = 0$
Позволю себе повторить словами: первообразная нуля есть тождественный нуль!
На этой жизнеутверждающей ноте я лично обсуждение заканчиваю. Спасибо всем за интересные мысли.

@mishin05 · 31.01.2013, 05:28 **[ТС]**

Сообщение от iifat

Что-то я всё про синусы да косинусы... Согласно ТС,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int0dx = \int_a^x0dt = 0$
Позволю себе повторить словами: первообразная нуля есть тождественный нуль!
На этой жизнеутверждающей ноте я лично обсуждение заканчиваю. Спасибо всем за интересные мысли.

Это верное утверждение!

Добавлено через 1 час 37 минут
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C\not=\int 0dx=\int\limits_0^Cdt.$

@Catstail · 31.01.2013, 12:10

Сообщение от Catstail

В какую степень нужно возвести 1, чтобы получить нуль?

- описка. Надо: В какую степень нужно возвести e, чтобы получить 1? - в нулевую.

@mishin05 · 01.02.2013, 01:36 **[ТС]**

Сообщение от Catstail

- описка. Надо: В какую степень нужно возвести e, чтобы получить 1? - в нулевую.

Жаль, что Вы не хотите понять, что интеграл без пределов интегрирования - предельный случай определенного интеграла. Поэтому, термин "неопределенный интеграл" - бессмысленен!
Может быть, Вам поможет ***
Добавлено через 2 часа 18 минут
И пост 59. Только что написал.

Комментарий модератора

Правила, 5.8. Запрещено публиковать ссылки на другие форумы, а также их пропаганда.
ТС и там затроллил

@mishin05 · 01.02.2013, 02:49 **[ТС]**

Сообщение от mishin05

Жаль, что Вы не хотите понять, что интеграл без пределов интегрирования - предельный случай определенного интеграла. Поэтому, термин "неопределенный интеграл" - бессмысленен!
Может быть, Вам поможет ***
Добавлено через 2 часа 18 минут
И пост 59. Только что написал.

Правила, 5.8. Запрещено публиковать ссылки на другие форумы, а также их пропаганда.
ТС и там затроллил

Ну, да:

@Catstail · 01.02.2013, 10:57

Сообщение от mishin05

Поэтому, термин "неопределенный интеграл" - бессмысленен!

- да Бога ради! Вместо "неопределенный интеграл" говори "первообразная", и успокойся.

@mishin05 · 01.02.2013, 11:07 **[ТС]**

Сообщение от Catstail

- да Бога ради! Вместо "неопределенный интеграл" говори "первообразная", и успокойся.

При чем тут успокойся, ты какой-то колготной. Понимаешь, что табличный интеграл из-за этого неверный? Пришлось модуль ставить, когда он там не просто лишний, но предполагает разнознаковые значения интеграла, из-за этого ввели какие-то бредовые несобственные интегралы, ограничили действие формулы Ньютона-Лейбница, не ввели понятия "геометрическое приращение" и т.д. Причем тут успокойся, если ошибки надо исправлять. Походу, математика для тебя, как музыка для музыканта. Для меня она, как для композитора. У нас различные взгляды. Чего ты тогда в эту тему "тыкаешься", если для тебя главное буковки, а не смысл?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Саморегулирующийся социальный контракт для сервера cross-section. Hrethgir 14.08.2026 С кодом конечно таких глубоких размышлений пока не было, впрочем я уже привык к алгоритмизации. Суть предмета записи: снова в диалоге с нейросетью (я взял пока себе ник для учётки админа - Rector). . . .	Часы электронные Uhbif79 12.08.2026 Выкладываю программу часов. Программа позволяет: 1. Использовать системное время и дату, 2. Есть возможность вводить время и дату вручную. 3. Реализованы 2 будильника: начало и конец рабочего дня. . . .	Часы с будильником на основе класса QLCDNumber Uhbif79 12.08.2026 Всем добрый день, выкладываю программу часов с будильником на основе класса QLCDNumber. Здесь я пробовал самостоятельно создавал классы, впервые столкнулся с видимостью переменной одного класса из. . .	Установка MinGW GCC 16.2 и CMake 8Observer8 10.08.2026 VK Видео: https:/ / vkvideo. ru/ video-240781534_456239017 YouTube: eY5-5PyI9NM Текстовая версия
Неделя из жизни имитационной модели склада: мои кривые руки растут, откуда надо anaschu 10.08.2026 Неделя из жизни имитационной модели склада: как я почти написал неправильную логику и что с этим делать Работаю сейчас над учебно-рабочим проектом: строю в AnyLogic имитационную модель процессов. . .	Калькулятор для расчета родства russiannick 07.08.2026 1. Задача: Создать калькулятор для расчета родства. Родственных связей существует 8 ступеней, такие как: p - отец P - мать q - муж Q - жена b - брат B - сестра s - сын S - дочь	Мир по моей воле kumehtar 07.08.2026 Когда-то кажется, что всё просто. Ты весь такой светлый. Причиняешь добро. Борешься за справедливость в этом тёмном мире. Потом начинаешь замечать одну неприятную вещь. Почти каждый хороший. . .	Кредитный калькулятор Maks 05.08.2026 Решение задачи по прикладной информатике средствами 1С. Задача: Напишите приложение-калькулятор, которое помогает рассчитывать параметры кредита для аннуитетного и дифференцированного видов. . .

@mishin05 1 / 1 / 0 Регистрация: 14.01.2013 Сообщений: 46

	Неопределенный интеграл 29.01.2013, 00:13. Показов 5057. Ответов 43 Метки нет (Все метки) ... Вот самое простейшее доказательство того, что интеграл без пределов интегрирования - это не НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл согласно трактовке некоторых основателей матана, а ОПРЕДЕЛЕННЫЙ интеграл с неопределенными границами интегрирования. Т.е. результат вычисления интеграла с определенными границами интегрирования - часть области значений первообразной (приращение), ограниченное приращением аргумента. Результат вычисления интеграла с неопределенными границами интегрирования есть ВСЯ ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ (не ограниченная приращением) первообразной, т.к. для решения используется вся область допустимых значений (значений аргумента): Одна из двух основных формул основной теоремы анализа: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)~dt = f(x);$ Производим преобразования: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?dx \cdot\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)~dt = f(x)\cdot dx;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int d \int_a^x f(t)~dt =\int f(x)~dx;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_a^x f(t)~dt =\int f(x)~dx;$ Последняя формула доказывает, что тот интеграл, который назван НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ, на самом деле - предельный случай определенного интеграла. Следовательно, определение НЕОПРЕДЕЛЕННОГО интеграла не имеет смысла, как и понятие СЕМЕЙСТВА ПЕРВООБРАЗНЫХ, т. к. одинаковую производную имеют функции, приращения которых по одному и тому же аргументу равны, независимо от общего числа аргументов. 0

iifat 2919 / 1949 / 214 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,776
	30.01.2013, 10:44
	Дык и я ж об чём! Если первообразную определять как интеграл с неопределённым пределом, то у неё всяко будет корень (как минимум, в этом пределе). То бишь, например, решения уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\cos x$ уже, к примеру, не заполняют плоскость. 0

@Catstail Супер-модератор 38223 / 21155 / 4314 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 34,765 Записей в блоге: 14
	30.01.2013, 15:11
	JAFHuman, - согласен на 100%! Строго говоря, первообразная это множество функций. 0

iifat 2919 / 1949 / 214 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,776
	30.01.2013, 15:29
	Кстати, и доказательство в стартовом письме неправильное. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=g(x)\Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {g(x)dx}\mathbf{+C}$ 0

@mishin05 1 / 1 / 0 Регистрация: 14.01.2013 Сообщений: 46
	30.01.2013, 22:59 [ТС]
	Интеграл вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(x)dx$ - это приращение первообразной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_a^x f(t)~dt$ , потому, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_a^x f(t)~dt =\int f(x)~dx;$ , согласно основной теореме матанализа. Все остальное - ничем не обосновынные мыслеблудия! Добавлено через 15 минут Производная ФУНКЦИИ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(x)$ - это зависимость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y$ от $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta x$ . Все остальные мыслеформы, типа: "скорость", "тангенс", "радиус-вектор", "ковектор" - это эпические приложения к некоторым частным случаям! Вот формула этой зависимости: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta y=\int_{x_1}^{x_2} y'(x)dx,~~ \Delta x=x_2-x_1$ 0

iifat 2919 / 1949 / 214 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,776
	31.01.2013, 02:09
	Что-то я всё про синусы да косинусы... Согласно ТС, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int0dx = \int_a^x0dt = 0$ Позволю себе повторить словами: первообразная нуля есть тождественный нуль! На этой жизнеутверждающей ноте я лично обсуждение заканчиваю. Спасибо всем за интересные мысли. 0