NIntegrate собственных значений

@Mysterious Light · Регистрация: 19.07.2009

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Пусть имеется некая большая матрица

Code
1
2
3
m = Table[ri Exp[I ri x + I ri y], {a, 1, 100}, {b, 1, 100}] /. 
   ri :> RandomInteger[{-2, 2}];
m = m + ConjugateTranspose[m];

Хочется посчитать интеграл собственных значений. Вариант

Code
1
2
NIntegrate[Sort[Eigenvalues[N[m, 20]]], {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, 
 AccuracyGoal -> 2, PrecisionGoal -> 2]

виснет. Мне думается, что он пытается символически упростить Eigenvalues, который в данном случае вернёт Root[полином 100 степени, номер корня].
Не работает такой вариант:

Code
1
2
3
NIntegrate[Hold[Sort[Eigenvalues[N[m, 20]]]],
 {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, 
 AccuracyGoal -> 2, PrecisionGoal -> 2]

Для дальнейших экспериментов я замкнул подынтегральное значение относительно x и y:

Code
1
2
3
4
f[xv_?NumericQ, yv_?NumericQ] := 
  Block[{x = xv, y = yv}, Sort[Eigenvalues[N[m, 20]]]];
(* Чтоб сразу выкидывало исключения *)
f[x_Symbol, y_Symbol] := None;

Следующий код не работает, хотя по документации должен:

Code
1
2
3
NIntegrate[f[x, y], {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, 
 AccuracyGoal -> 2, PrecisionGoal -> 2, 
 Method -> {Automatic, "SymbolicProcessing" -> False}]

Подведём итоги:
Hold не помогает, SymbolicProcessing не помогает.

Что делать?

@Mysterious Light · 25.07.2014, 21:39 **[ТС]**

Ещё эксперименты с Hold и NIntegrate.

Начнём с наблюдения, которое демонстрирует, почему об этой паре нужно говорить.

Code
1
2
3
4
f[x_Symbol] := 0/0;
f[x_?NumberQ] = x;
NIntegrate[f[x], {x, 0, 1}] (* Error *)
NIntegrate[Hold[f[x]], {x, 0, 1}] (* Accepted *)

Попробуем в лоб применить к предыдущей проблеме:

Code
1
2
3
4
NIntegrate[Sort[Eigenvalues[N[m, 20]]], {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, 
 AccuracyGoal -> 2, PrecisionGoal -> 2]
(* Error: "The integrand ... has evaluated to non-numerical values
    for all sampling points in the region with boundaries ..." *)

Я пришел к выводу, что это потому, что Hold возвращает не число, а вектор. Что ж, попробуем по-частям:

Code
1
2
3
4
NIntegrate[Hold[Sort[Eigenvalues[m]][[1]]], {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi},
  AccuracyGoal -> 2,  PrecisionGoal -> 2]
(* Error: "The integrand ... has evaluated to non-numerical values
    for all sampling points in the region with boundaries ..." *)

Фейл... природа мне неизвестна сего явления и я нахожу его весьма загадочным, поскольку мою оригинальную задачу я именно при помощи такой конструкции и решил (частично). Ладно, сделаем последний шаг, а именно экранируем x и y, выделив в особую функцию:

Code
1
2
3
4
f[xv_, yv_] := Block[{x = xv, y = yv}, Sort[Eigenvalues[m]][[1]]];
NIntegrate[Hold[f[x, y]], {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi},
  AccuracyGoal -> 2, PrecisionGoal -> 2]
(* OK *)

Обобщим:

Code
1
2
3
4
5
6
f[k_, xv_, yv_] := Block[{x = xv, y = yv}, Sort[Eigenvalues[m]][[k]]];
integrand = Table[With[{k = j}, Hold[f[k, x, y]]], {j, 1, Length[m]}];
 
NIntegrate[integrand, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, 
  AccuracyGoal -> 2, PrecisionGoal -> 2]
(* OK *)

Что ж, решение не эффективное, но оно-таки работает. Неэффективно оно потому, что для одного значения {x,y} программа считает собственные значения столько раз, сколько собственных чисел.

Добавлено через 4 часа 19 минут
Всё, я окончательно запутался.
Посудите сами.
Вот последний код, переписанный через With-нотацию, чтобы избежать лишних внешних имён:

Haskell
1
2
3
4
5
6
7
8
With[{f = Block[{x = #1, y = #2}, Sort[Eigenvalues[m]][[#3]]] &},
 With[{integrand = Table[
     With[{k = j}, Hold[
       f[x, y, k]
       ]], {j, 1, Length[m]}
     ]},
  NIntegrate[integrand, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, AccuracyGoal -> 1, PrecisionGoal -> 1]
  ]]

Работает. Уберём f, вставя определение функции внутрь Hold, сразу редуцирую по k, но оставлю абстракцию (#1 есть аргумент x, #2 — y) и применение по x и y:

Haskell
1
2
3
4
5
6
7
8
9
With[{integrand = Table[
    With[{k = j}, Hold[
      Block[{x = #1, y = #2},
         Sort[Eigenvalues[m]][[k]]
         ] &[x, y]
      ]], {j, 1, Length[m]}
    ]},
 NIntegrate[integrand, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, AccuracyGoal -> 1, PrecisionGoal -> 1]
 ]

Работает. Очень напрашивается чуток дальше упростить, мол, по k же упрощается, так давайте лишние танцы над абстракцией-присваиванием x и y уберём:

Haskell
1
2
3
4
5
With[{integrand = Table[
    With[{k = j}, Hold[Sort[Eigenvalues[m]][[k]]]], {j, 1, Length[m]}
    ]},
 NIntegrate[integrand, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}, AccuracyGoal -> 1, PrecisionGoal -> 1]
 ]

И... О чудо! Оно не работает.

Кто-нибудь может объяснить, что это за магия такая?

Ладно, тут молчат, пойду русское сообщество спрашивать; там местный руководитель Осипов весьма активен, может, и он ответит.

Добавлено через 2 минуты
Кстати, на хабре Рома Осипов писал, что Стивен Вольфрам ничего ему не платит за поддержку сего русского сообщества продукции Wolfram.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Оттенки серого Argus19 18.03.2026 Оттенки серого Нашёл в интернете 3 прекрасных модуля: Модуль класса открытия диалога открытия/ сохранения файла на Win32 API; Модуль класса быстрого перекодирования цветного изображения в оттенки. . .	SDL3 для Desktop (MinGW): Рисуем цветные прямоугольники с помощью рисовальщика SDL3 на Си и C++ 8Observer8 17.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: finish-rectangles-sdl3-c. zip finish-rectangles-sdl3-cpp. zip	Символические и жёсткие ссылки в Linux. algri14 15.03.2026 Существует два типа ссылок — символические и жёсткие. Ссылка в Linux — это запись в каталоге, которая может указывать либо на inode «файла-ИСТОЧНИКА», тогда это будет «жёсткая ссылка» (hard link),. . .	[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .
делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .