Найти наибольшее значение выражения

@Евдокия · Регистрация: 24.10.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Найти наибольшее значение выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{x}_{1}}^{3}+...+{{x}_{10}}^{3}$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1},...{x}_{10} \in [-1,2]$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+...+{x}_{10}=10$ .

@xenohunter · 04.03.2014, 03:09

Евдокия, если я правильно понимаю форму записи, то нужно найти наибольшую сумму кубов десяти чисел, каждое из которых принадлежит к множеству чисел от -1 до 2. Следовательно, нужно десять раз сложить 2 в кубе, получаем 80. А во втором выражении значение уже присутствует.

@Igor · 04.03.2014, 07:46

xenohunter, в сумме, десять двоек, не дадут 10.

@xenohunter · 04.03.2014, 11:44

Igor, всё, понял свою ошибку, спасибо. Я сначала подумал, что это две разных задачи. Не могу найти: обозначение [-1,2] говорит о принадлежности к промежутку от -1 до 2 или только к самим этим числам?

@Igor · 04.03.2014, 12:26

Сообщение от xenohunter

обозначение [-1,2] говорит о принадлежности к промежутку от -1 до 2 или только к самим этим числам?

xenohunter, можете более понятно сформулировать?

Добавлено через 59 секунд
Если что, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \{{x}_{1},{x}_{2},...,{x}_{10}\}\in [-1;2].$

@xenohunter · 04.03.2014, 13:02

Igor, угу, попробую. Числа, обозначенные как [-1;2] - это числа -1, 0, 1 и 2 или только числа -1 и 2?

@Igor · 04.03.2014, 13:06

Сообщение от xenohunter

Числа, обозначенные как [-1;2] - это числа -1, 0, 1 и 2 или только числа -1 и 2?

xenohunter, совсем нет. Это все числа, которые входят в интервал (-1;2) плюс границы.

@xenohunter · 04.03.2014, 13:21

Igor, то есть, все виды чисел, а не только целые, как я (почему-то) предположил?

@Igor · 04.03.2014, 14:14

xenohunter, да, конечно.

Добавлено через 33 минуты
Рассмотрим два вектора в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb{R} }^{10}$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}=({x}_{1},{x}_{2},...,{x}_{10}),\ \vec{b}=({{x}_{1}}^{2},{{x}_{2}}^{2},...,{{x}_{10}}^{2}).$

Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\vec{a},\vec{b})={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}+...+{{x}_{10}}^{3}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \angle( \vec{a} , \vec{b} )\leq |\vec{a}||\vec{b}|=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+...+{{x}_{10}}^{2}}\sqrt{{{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}+...+{{x}_{10}}^{4}} .$

Максимальное значение скалярного произведения будет достигаться в том случае, когда векторы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{b}$ будут параллельны, т.е.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{b}=({{x}_{1}}^{2},{{x}_{2}}^{2},...,{{x}_{10}}^{2})=(k{x}_{1},k{x}_{2},...,k{x}_{10})=k\vec{a}\ \Rightarrow \ m=|M|,\ M=\{{x}_{i}\ |\ {x}_{i}=k\};\ n=10-m=|N|,\ N=\{{x}_{j}\ |\ {x}_{j}=0\};\ \{i,j\}\in \{1,2,...,10\}.$

Учитывая, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?mk=10,\ k=\frac{10}{m},\ m\geq 5$ (ясно почему) получаем

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({x}_{1},...,{x}_{10})=\sqrt{m{(\frac{10}{m})}^{2}}\sqrt{m{(\frac{10}{m})}^{4}}=\frac{1000}{{m}^{2}}\ \Rightarrow \ m=5,\ {f}_{max}({x}_{1},...,{x}_{10})=40.$

Ответ: 40.

Не по теме:

Другого подхода не придумал.:)

Байт · 05.03.2014, 01:12

Igor, Просто здорово!

Получается 5 двоек, 5 нулей
Интуитивно это можно объяснить как-то так. Если x + y = n, то сумма их кубов тем больше, чем дальше они "расставлены". ... Но это так, как говорил Сашка Грибов, "Вгладь-с нечего-с"
Хотя пока писал, нашел "улучшение" вашего решения.
2 2 2 2 2 1 -1/2 -1/2 0 0
Получается 41 - 1/4 > 40
Ничего не напутал?

Добавлено через 33 минуты
На этом пути возможны и другие улучшения типа
2 2 2 2 2 -1+eps -1+eps 2-2eps 0 0...
Бродят такие мысли, что если условия симметричны, то и решение должно быть симметричным... Но правда, ОДЗ без симметрии
Вот еще улучшение 2 - 6 раз, -1 - 2 раза 0 - 2 раза: 48 - 2 = 46
Безумно жаль опровергать построения Igor, но истина дороже...

Добавлено через 36 минут
Кажется, не сложно показать, что последнее решение (2 х 6, -1 х 2, 0 х 2) нельзя улучшить небольшими изменениями пары переменных. Для этого достаточно рассмотреть 3 переменные с условием x+y+z=1. Т.е. некоторые движения в области допустимых значений около данной точки только уменьшают значение целевой функции. В каком-то смысле эти некоторые движения образуют базис всех движений. Но вот достаточно строго я это показать не могу.

Не по теме:

Не заметил, как соскользнул на терминологию оптимизаций. Может, это не случайно?:)

Добавлено через 2 часа 52 минуты
Евдокия, признавайтесь, откуда задачка?

@Евдокия · 05.03.2014, 16:15 **[ТС]**

Признаюсь: задачка из студенческой олимпиады математического факультета

@Том Ардер · 05.03.2014, 19:12

Ещё вариант, развивая идею Байт :
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\left( 2,2,2,2,2,2,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{max}=6\cdot 8-4\cdot \frac{1}{8}=47\frac{1}{2}$
Но строгого вывода всё ещё нет.

@Том Ардер · 06.03.2014, 20:55

Хорошая задачка!
Попробовал обобщить и посмотреть при других размерностях.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left\{\begin{matrix}\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{3}\rightarrow max\\ \sum_{i=1}^{n}{x}_{i}=n\\ {x}_{i}\in [-1,2]\end{matrix}\right. $
Вручную и Wolfram Mathematica: максимум оказывается в точке на граничной k-мерной гиперплоскости ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k<n$ ), т.е. несколько $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{i}=2, \; i=1,...,k$ .

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n \; \vec{x}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2 \; (2,0)$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3 \;(2,2,-1)$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4 \;(2,2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5 \;(2,2,2,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6 \;(2,2,2,2,-1,1)$

При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=7$ время расчёта стало уже неразумно большим. Но общая картина понятна.
Предполагая в исходной задаче ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=10$ ) точку максимума на 6-мерной гиперплоскости, сводим задачу к 4-мерной:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left\{\begin{matrix}\sum_{i=7}^{10}{{x}_{i}}^{3}\rightarrow max\\ \sum_{i=7}^{10}{x}_{i}=-2\\ {x}_{i}\in [-1,2], \; i=7,...10\end{matrix}\right. $
И глобальный максимум оказывается внутри 4-мерной плоскости:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{i}=-\frac{1}{2}, \; i=7,...10$

Окончательно решение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=(2,2,2,2,2,2,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

Найти наибольшее значение выражения

Решение

Решение

Решение

Решение

@Евдокия 8 / 8 / 1 Регистрация: 24.10.2013 Сообщений: 205

	Найти наибольшее значение выражения 25.02.2014, 16:06. Показов 3419. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Найти наибольшее значение выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{x}_{1}}^{3}+...+{{x}_{10}}^{3}$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1},...{x}_{10} \in [-1,2]$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}+...+{x}_{10}=10$ . 0

@xenohunter Дзен-программист 122 / 87 / 16 Регистрация: 10.04.2013 Сообщений: 253
	04.03.2014, 03:09
	Евдокия, если я правильно понимаю форму записи, то нужно найти наибольшую сумму кубов десяти чисел, каждое из которых принадлежит к множеству чисел от -1 до 2. Следовательно, нужно десять раз сложить 2 в кубе, получаем 80. А во втором выражении значение уже присутствует. 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	04.03.2014, 07:46
	xenohunter, в сумме, десять двоек, не дадут 10. 1

@xenohunter Дзен-программист 122 / 87 / 16 Регистрация: 10.04.2013 Сообщений: 253
	04.03.2014, 11:44
	Igor, всё, понял свою ошибку, спасибо. Я сначала подумал, что это две разных задачи. Не могу найти: обозначение [-1,2] говорит о принадлежности к промежутку от -1 до 2 или только к самим этим числам? 0

@xenohunter Дзен-программист 122 / 87 / 16 Регистрация: 10.04.2013 Сообщений: 253
	04.03.2014, 13:02
	Igor, угу, попробую. Числа, обозначенные как [-1;2] - это числа -1, 0, 1 и 2 или только числа -1 и 2? 0

@xenohunter Дзен-программист 122 / 87 / 16 Регистрация: 10.04.2013 Сообщений: 253
	04.03.2014, 13:21
	Igor, то есть, все виды чисел, а не только целые, как я (почему-то) предположил? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	04.03.2014, 14:14
	Сообщение было отмечено Евдокия как решение Решение xenohunter, да, конечно. Добавлено через 33 минуты Рассмотрим два вектора в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb{R} }^{10}$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}=({x}_{1},{x}_{2},...,{x}_{10}),\ \vec{b}=({{x}_{1}}^{2},{{x}_{2}}^{2},...,{{x}_{10}}^{2}).$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\vec{a},\vec{b})={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}+...+{{x}_{10}}^{3}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos \angle( \vec{a} , \vec{b} )\leq \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+...+{{x}_{10}}^{2}}\sqrt{{{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}+...+{{x}_{10}}^{4}} .$ Максимальное значение скалярного произведения будет достигаться в том случае, когда векторы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{b}$ будут параллельны, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{b}=({{x}_{1}}^{2},{{x}_{2}}^{2},...,{{x}_{10}}^{2})=(k{x}_{1},k{x}_{2},...,k{x}_{10})=k\vec{a}\ \Rightarrow \ m=\|M\|,\ M=\{{x}_{i}\ \|\ {x}_{i}=k\};\ n=10-m=\|N\|,\ N=\{{x}_{j}\ \|\ {x}_{j}=0\};\ \{i,j\}\in \{1,2,...,10\}.$ Учитывая, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?mk=10,\ k=\frac{10}{m},\ m\geq 5$ (ясно почему) получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({x}_{1},...,{x}_{10})=\sqrt{m{(\frac{10}{m})}^{2}}\sqrt{m{(\frac{10}{m})}^{4}}=\frac{1000}{{m}^{2}}\ \Rightarrow \ m=5,\ {f}_{max}({x}_{1},...,{x}_{10})=40.$ Ответ: 40. Не по теме: Другого подхода не придумал.:) 4

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	05.03.2014, 01:12
	Сообщение было отмечено как решение Решение Igor, Просто здорово! Получается 5 двоек, 5 нулей Интуитивно это можно объяснить как-то так. Если x + y = n, то сумма их кубов тем больше, чем дальше они "расставлены". ... Но это так, как говорил Сашка Грибов, "Вгладь-с нечего-с" Хотя пока писал, нашел "улучшение" вашего решения. 2 2 2 2 2 1 -1/2 -1/2 0 0 Получается 41 - 1/4 > 40 Ничего не напутал? Добавлено через 33 минуты На этом пути возможны и другие улучшения типа 2 2 2 2 2 -1+eps -1+eps 2-2eps 0 0... Бродят такие мысли, что если условия симметричны, то и решение должно быть симметричным... Но правда, ОДЗ без симметрии Вот еще улучшение 2 - 6 раз, -1 - 2 раза 0 - 2 раза: 48 - 2 = 46 Безумно жаль опровергать построения Igor, но истина дороже... Добавлено через 36 минут Кажется, не сложно показать, что последнее решение (2 х 6, -1 х 2, 0 х 2) нельзя улучшить небольшими изменениями пары переменных. Для этого достаточно рассмотреть 3 переменные с условием x+y+z=1. Т.е. некоторые движения в области допустимых значений около данной точки только уменьшают значение целевой функции. В каком-то смысле эти некоторые движения образуют базис всех движений. Но вот достаточно строго я это показать не могу. Не по теме: Не заметил, как соскользнул на терминологию оптимизаций. Может, это не случайно?:) Добавлено через 2 часа 52 минуты Евдокия, признавайтесь, откуда задачка? 4

@Евдокия 8 / 8 / 1 Регистрация: 24.10.2013 Сообщений: 205
	05.03.2014, 16:15 [ТС]
	Признаюсь: задачка из студенческой олимпиады математического факультета 1

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	05.03.2014, 19:12
	Сообщение было отмечено как решение Решение Ещё вариант, развивая идею Байт : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\left( 2,2,2,2,2,2,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{max}=6\cdot 8-4\cdot \frac{1}{8}=47\frac{1}{2}$ Но строгого вывода всё ещё нет. 3

Опции темы