Корни уравнения tg(x) = x

echs · Регистрация: 23.10.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Итак, дано уравнение tg(x) = x
1) Сразу находим одно решение x = 0
2) будем искать только положительные решения,
ибо они симметричны относительно начала координат.
3)
Все решения будем искать вблизи точек a=pi/2*(1+2n) n=1, 2, 3, ....
Перевернем наше уравнение и получим
ctg(x) = 1/x
Касательная к котангенсу в наших точках имеет вид
y = -x + a
Итак решаем уравнение
-x + a = 1/x
или
x² -ax + 1 = 0
Решая это уравнение и применяя приближенную формулу
(1 + x)^0,5=1 + 0,5x
Получим
x = a - 1/a
Ответ:
x = 0
x = a -1/a где a=pi/2*(1+2n), n=1, 2, 3, ...
плюс все те же решения со знаком минус.

iifat · 03.11.2015, 15:16

Это, стесняюсь спросить, чо?

Сообщение от geh

Решая это уравнение и применяя приближенную формулу
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1 + x)^{0,5}=1 + 0,5x$

(замечу в скобках, что правила требуют записи формул $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\TeX$ ом)
Формула верна при малых x. А корни вблизи $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2n+1)\frac\pi2$ — как раз при больших.

echs · 03.11.2015, 16:40 **[ТС]**

iifat,
Прямой вопрос требует прямого ответа.
Ответ.
Решим уравнение
x² - ax + 1 = 0
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac a2+\sqrt {(\frac a2)^2-1}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac a2+\frac a2\sqrt {1-\frac {1}{(\frac a2)^2}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac a2+\frac a2(1-\frac {0,5}{(\frac a2)^2})$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac a2+\frac a2-\frac a2\frac {0,5}{(\frac a2)^2})=a-\frac 1a$
И нет проблем

@kabenyuk · 03.11.2015, 19:10

geh, здесь и в других случаях - речь о приближенных вычислениях. Но, в этом случае необходимо давать оценки точности. Например, при n=0 получаем tg(x)-x=0,418448914. Как-то далековато от нуля.

echs · 04.11.2015, 09:32 **[ТС]**

kabenyuk,
Вы безусловно правы. Даже самые грубые вычисления
должны давать хотя бы одну точную цифру. В приведенном
Вами примере есть маленькая неточность. Я не упоминал n=0.
Везде сказано, что n=1, 2, 3, ...
PS.
Откровенно говоря я не ставил задачей
оценку погрешности. Хотел лишь показать
как, с какой стороны можно подойти к этим уравнениям

@kabenyuk · 04.11.2015, 17:16

Сообщение от geh

Я не упоминал n=0.

Согласен, не упоминали. Но и для n=1 имеем tgx-x=0,14125779,
хотя ваше значение x=4,50018239 отличается от более точного приближения 4,493409861 не слишком сильно.

echs · 04.11.2015, 17:24 **[ТС]**

kabenyuk,
Ваши цифры красноречивее, чем 1000 слов.
Спасибо!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8

	Корни уравнения tg(x) = x 03.11.2015, 14:09. Показов 27459. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Итак, дано уравнение tg(x) = x 1) Сразу находим одно решение x = 0 2) будем искать только положительные решения, ибо они симметричны относительно начала координат. 3) Все решения будем искать вблизи точек a=pi/2(1+2n) n=1, 2, 3, .... Перевернем наше уравнение и получим ctg(x) = 1/x Касательная к котангенсу в наших точках имеет вид y = -x + a Итак решаем уравнение -x + a = 1/x или x² -ax + 1 = 0 Решая это уравнение и применяя приближенную формулу (1 + x)^0,5=1 + 0,5x Получим x = a - 1/a Ответ: x = 0 x = a -1/a где a=pi/2(1+2n), n=1, 2, 3, ... плюс все те же решения со знаком минус. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	03.11.2015, 16:40 [ТС]
	iifat, Прямой вопрос требует прямого ответа. Ответ. Решим уравнение x² - ax + 1 = 0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac a2+\sqrt {(\frac a2)^2-1}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac a2+\frac a2\sqrt {1-\frac {1}{(\frac a2)^2}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac a2+\frac a2(1-\frac {0,5}{(\frac a2)^2})$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac a2+\frac a2-\frac a2\frac {0,5}{(\frac a2)^2})=a-\frac 1a$ И нет проблем 1

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4184 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	03.11.2015, 19:10
	geh, здесь и в других случаях - речь о приближенных вычислениях. Но, в этом случае необходимо давать оценки точности. Например, при n=0 получаем tg(x)-x=0,418448914. Как-то далековато от нуля. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	04.11.2015, 09:32 [ТС]
	kabenyuk, Вы безусловно правы. Даже самые грубые вычисления должны давать хотя бы одну точную цифру. В приведенном Вами примере есть маленькая неточность. Я не упоминал n=0. Везде сказано, что n=1, 2, 3, ... PS. Откровенно говоря я не ставил задачей оценку погрешности. Хотел лишь показать как, с какой стороны можно подойти к этим уравнениям 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	04.11.2015, 17:24 [ТС]
	kabenyuk, Ваши цифры красноречивее, чем 1000 слов. Спасибо! 0

Корни уравнения tg(x) = x

Решение