@dashaLuna

Добрый день. Нужна ваша помощь. Мне нужно решить задания, а я не знаю как их сделать:

1.задано точку (1, 2). найти матрицу преобразования, переводит заданную точку в точку (1, -2)
2.задано точку (1, 3). найти матрицу преобразования, переводит заданную точку в точку (-1, 3)
3.записать матрицу преобразования, которая будет отображать любую точку симметрично относительно оси Х
4.записать матрицу преобразования, которая будет отображать любую точку симметрично относительно оси В

Первых два я так поняла нужно через матрицу маштабирования делать или повороту. Но как решить где нужно каким делать я не знаю. А от как 3-4 я незнаю сделать.

0

@8Observer8

Я считаю, что нужно делать через матрицу переноса. У вас есть точка (x, y), которую нужно перенести в точку (x', y'). Причём все три задачи решаются с помощью матрицы переноса. Вам нужно её вывести.

0

@eropegov

сюда

1

@8Observer8

Все 4 задания об одном и том же: о переносе точки. Задания 1 и 3 - это перенос точки относительно оси Y. Задания 2 и 4 - это перенос точки относительно оси X. Причём 1 и 2 - перенос точки с указанными координатами, а 3 и 4 - перенос точки в обобщённом виде.

От вас требуется вывод матрицы переноса, что я опишу ниже. Если вы не поймёте как выводится матрица переноса, то подставлять в уже готовую матрицу - это бестолковая затея. В математике нужно понимать, что откуда берётся, то есть выводится, тогда задачи решены.

Вывод матрицы переноса

И так. У нас есть точка (x, y). Нам нужно получить (x', y'). Уравнения записываются так:

, где Tx и Ty - это перемещения по оси X и по оси Y соответственно (см. рисунок по спойлером ниже)



Обозначим уравнения выше единицей в скобках (1)

В матричном виде уравнения (1) записываются так в обобщённом виде:

Перепишем в виде уранений, то есть раскроем умножение матрицы на вектор:

Если уравнение выше сопоставить с (1), то нам не хватает размера матрицы для Tx и Ty, поэтому добавить размерность к векторам и матрице:

(2)
Перепишем в виде уравнений:
Для того, чтобы из уравнений выше получить уравнений (1) коэффициенты должны быть следующими:
a = 1, b = 0, c = Tx
d = 0, e = 1, c = Ty
g = 0, h = 0, k = 1 (тут должно просто выполняться равенство 1=1)

Подставим значения коэффициентов в уравнение (2)

(3):
Мы получили матрицу перемещения. Вот она:
Оформлю решение всех 4 задач.

(x, y) -> (x', y')

x' = x + Tx
y' = y + Ty

1) (1, 2) -> (1, -2)

1 = 1 + Tx
-2 = 2 + Ty

Tx = 1 - 1 = 0
Ty = -2 + (-2) = -4

Ответ:
2) (1, 3) -> (-1, 3)

-1 = 1 + Tx
3 = 3 + Ty

Tx = -1 + (-1) = -2
Ty = 3 - 3 = 0

Ответ:
4) Симметрия относительно оси Y

x' = -x
y' = y

x' = x + Tx
y' = y + Ty

-x = x + Tx
y = y + Ty

Tx = -x + (-x) = -2x
Ty = y - y = 0

Ответ:

0

Байт

Имхо, для задачи 3 переносить ничего не нужно
В задаче 4 тоже без переноса. Но лень возиться с тригонометрией...

1

@8Observer8

Вы меня натолкнули на мысль, что все 4 задачи можно так же решить с помощью матрицы масштабирования, либо матрицы поворота. Матрицу поворота дольше выводить. А вот матрицу масштабирования даже быстрее, чем матрицу переноса.

Выводить матрицу масштабирования не буду. Покажу конечный результат:
Уравнения масштабирования:
x' = Sx * x
y' = Sy * y

Уравнения в матричном виде:
Решение всех 4 задач с помощью матрицы масштабирования:

(x, y) -> (x', y')

1) (1, 2) -> (1, -2)

1 = Sx * 1
-2 = Sy * 2

Sx = 1
Sy = -1

Ответ:
2) (1, 3) -> (-1, 3)

-1 = Sx * 1
3 = Sy * 3

Sx = -1
Sy = 1

Ответ:
3) Симметрия относительно оси X

x' = x
y' = -y

x = Sx * x
-y = Sy * y

Sx = 1
Sy = -1

Ответ:
4) Симметрия относительно оси Y

x' = -x
y' = y

-x = Sx * x
y = Sy * y

Sx = -1
Sy = 1

Ответ:

1

Байт

А это что за ось такая? Я, прочтя мельком, решил, что это какая-то произвольная прямая. Но, впрочем, это не важно. Объединяя все результаты, можно сказать, что все 4 задачи решены

0

@eropegov

8Observer8, зачем вы выписываете матрицы третьего порядка? Задача решается в двумерном пространстве.

1

@8Observer8

Для матрицы масштабирования - да, согласен, это было лишним, а для матрицы переноса это было необходимо, потому что нужно было получить Tx и Ty

0

@helter

8Observer8, вы зарапортовались. При переносе каждая точка p переходит в точку p + v, где v — вектор переноса, один и тот же для всех точек. В координатах — (x, y) переходит в точку (x + a, y + b), где a и b — числа, одни и те же для всех x и y (а не Tx, Ty). В виде умножения на матрицу перенос на ненулевой вектор нельза записать (хотя бы потому, что умножение на матрицу переводит (0, 0) в себя, а ненулевой перенос — нет).

0

@8Observer8

Да, а Tx и Ty - это компоненты этого вектора. Я всё правильно написал.

Добавлено через 2 минуты
Я забыл выложить решение задачи 3 через матрицу переноса:

3) Симметрия относительно оси X

x' = x
y' = -y

x' = x + Tx
y' = y + Ty

x = x + Tx
-y = y + Ty

Tx = x - x = 0
Ty = -y + (-y) = -2y

Ответ:

0

@helter

Хотя бы T_x и T_y тогда чтобы не путалось с координатами точки (x, y). А вообще, Tx люди воспринимают как «оператор T, применённый к вектору x».

Но это мелочи. Вектор переноса для всех точек один и тот же, а у вас почему-то T_x, T_y зависят от x и y.

0

@eropegov

Я бы ещё спросил, зачем тут вообще переносы. Постановка задачи не очень внятная, но, скорее всего, надо предъявить линейные преобразования. По крайней мере, задача решается одними линейными преобразованиями, без переносов.

0

@8Observer8

Я показал, как решить задачу с помощью двух линейных преобразований: транспонирование и масштабирование. Мы получили два оператора в виде матриц, которые применяются к вектору.

Я же написал, что такое Тx и Ty:
Даже показал на рисунке:

0

@eropegov

Что за линейное преобразование "транспонирование"?

1

@8Observer8

Как раз зашёл исправить. Я хотел написать "транслирование"

Добавлено через 2 минуты
Транспонирование - это если столбцы записать в строчки, а строчки в столбцы.

0

@eropegov

А что за линейное преобразование "транслирование"? Если вы имеете в виду параллельный перенос, так он не является линейным преобразованием.

0

@8Observer8

Я занимаюсь программированием игр и применил этот термин оттуда.

Умножение матрицы на вектор и получение нового вектора не является линейным преобразованием? Значит, это по-вашему нелинейное проебразование? Или как по-другому тогда назвать такое проеобразование? Я хорошо знаю линейную алгебру. Линейно!

0

Байт

Господа! У меня такое ощущение, что вы говорите о разных вещах. Есть преобразование линейного пространства векторов. Оно задается матрицей 2х2. И есть преобразование точек плоскости. Которая (точки плоскости) не является линейным пространством. И там есть повороты (задаются матрицей 2х2) и сдвиги. Все это вместе можно задать матрицей 3х3.
http://studentpmr.ru/?p=8149

Добавлено через 3 минуты
Вот еще
https://ru.wikipedia.org/wiki/... 0%B8%D0%B5

0

@eropegov

Байт, плоскость всё-таки традиционно рассматривается как линейное пространство, точки её отождествляются с радиус-векторами. Если мы хотим сдвигов, то о линейной структуре, конечно, придётся забыть. Но тогда нельзя говорить и о линейных преобразованиях, а надо - об аффинных. А 8Observer8, похоже, разницы между линейными и аффинными не понимает.

Добавлено через 2 минуты
(которые в поставленной задаче нужны только в том случае, если загадочная ось В не проходит через начало координат, то есть является аффинным подпространством, а не линейным).

Добавлено через 1 минуту
Параллельный перенос не задается умножением вектора координат на матрицу. Это аффинное преобразование, а не линейное.

0