Откуда есть пошли матрицы? :)

Думаю, ни для кого не секрет, что высшая математика в ВУЗе -- достаточно сложный и коварный предмет. Одни его ненавидят. Другие относятся к нему как к "необходимому злу". И всё же, есть немалая доля людей, которые этот предмет просто обожают и видят его непосредственную связь с нашей жизнью. Надеюсь, в будущем я примкну к последней группе -- если Вы мне поможете.

Курс ВМ я начал с изучения матриц. Матрицы, определители, минор ij-члена -- все эти определения свалились мне на голову как снег в июле. Впрочем, преподавательница объясняла нам достаточно доходчиво, так что я всё хорошо понял. Однако я не понял одного: зачем это нужно?

Я начал разбираться. Мои поиски увенчались следующим успехом:

1. На следующей паре мне рассказали про нахождение векторного произведения по определителю матрицы -- так можно находить силу Ампера в физике.
2. Порывшись в интернете, я нашёл метод Крамера для решения систем линейных уравнений.
3. Вспомнил, что во втором полугодии мы находили уравнение плоскости, заданной тремя точками. Это можно было сделать, составив матрицу и найдя её определитель.

Каким-то образом использовали матрицы древние китайцы. Сейчас их юзают в экономике, при расчёте предпочтений пользователей, и ещё дофига где...

Но я не понимаю основной смысл матриц.

1. Что общего между тремя перечисленными выше задачами.
2. Почему для них используется один и тот же метод?
3. Почему определитель вычисляется так, а не иначе?
4. В каком случае мы вообще можем сказать, что какую-то задачу можно решать с помощью матриц?

0

Справлюсь, для начала Вам нужно уяснить разницу между матрицами и определителями.

1

angor6, Я знаю разницу между матрицей и определелителем.
Матрица -- таблица элементов. Определитель -- некая характеристика матрицы, вычисляемая из элементов таблицы.

0

Сообщение от Справлюсь Определитель -- некая характеристика матрицы, вычисляемая из элементов таблицы.

Точнее, пожалуйста.

1

Справлюсь, Просто иногда данные задачи удобно записать в виде таблицы. А потом ненароком выясняется, что некоторые манипуляции с этими таблицами помогают найти решение задачи.

1

Странные вопросы.

Сообщение от Справлюсь Что общего между тремя перечисленными выше задачами.

То, что их возможно решить матричными методами.

Сообщение от Справлюсь Почему для них используется один и тот же метод?

Потому что он решает все три задачи.

Сообщение от Справлюсь Почему определитель вычисляется так, а не иначе?

Потому что именно при таком определении определителя удобно и компактно записыватся решения многих задач.

Сообщение от Справлюсь В каком случае мы вообще можем сказать, что какую-то задачу можно решать с помощью матриц?

В том и только в том, в котором у нас получилось её решить с помощью матриц.
Как вариант — ну, возьмите ж простейшие приложения матриц. Скажем, решение линейных уравнений . Посмотрите, как они записываются через определители (да, да, тот самый метод Крамера). Посмотрите, как их записать через по-другому определённые определители (да, такие тоже существуют). Сравните простоту и лаконичность. Поглядите на повороты плоскости относительно центра координат. Запишите формулу композиции двух поворотов через матрицы. Посмотрите, что получается при другом определении произведения матриц (да, да, такие тоже существуют).
Ну и на всякий случай: любой математический аппарат — инструмент для приложений. В нём нет сакрального смысла. Он такой, потому что именно такой наиболее (из известного на сегодняшний день) удобен для приложений. Другого смысла в нём нет.

2

С таким же успехом можно спросить - какой смысл у топора (первое, на что взгляд упал). Да им дрова рубить можно. И вдоль, и поперек. Да мало ли чего можно им делать! На большую дорогу ходить...
Или у компьютера (второе, на что упал взгляд). Можно в игры играть, можно программки составять, можно всякие несуразные посты писать...

1

Исторически матрицы появились как удобная запись системы линейных уравнений. Известен китайский манускрипт 2000-летней давности, где система решается с помощью приведения матрицы коэффициентов к треугольному виду (метод Гаусса был известен задолго до его рождения).

1

ХБайт, у вас над столом топор весит?

0

Сообщение от Справлюсь вИсит?

Живу в деревне, и это мой главный инструмент. Не считая лопаты и бензопилы, конечно

1

Спасибо всем, кто отписался)

Просто хотелось бы объяснение -- что-то вроде...
Возьмём дискриминант -- первое , на что упал взгляд))
Как мы определяем дискриминант? Логика повествования у нас идёт от одной конкретной задачи -- нахождения корней квадратного уравнения. Нужно найти значение переменной, при котором некая квадратичная зависимость будет верна. Для этого мы производим следующие манипуляции:

1. Вычленяем квадрат двучлена. В итоге имеем икс в одном месте уравнения -- это одно из слагаемых внутри скобки, возводимой в квадрат.
2. Находим икс
3. Понимаем, что по которой считается икс имеет подкоренное выражение.
4. Выделяем это подкоренное выражение, именуем его дискриминант.
5. Устанавливаем, что если D<0, то уравнение не имеет действительных корней. D=0 -- один действительный корень. D>0 -- два действительных корня.

Далее понятие дискриминанта мы используем при решении разных задач:
1. Сколько раз побывает в одной точке покинутый вертикально вверх мячик?
2. Какие должны быть стороны у прямоугольного участка земли заданой площади, если известен периметр его забора.

Казалось бы, две совершенно разные задачи... Но и там, и там есть квадратичная зависимость.
1. Координата мяча -- квадратичная функция от времени.
2. Площадь -- квадратичная функция от длины сторон.

В данном случае наши разсуждения шли от решения некой задачи. Мы находим это решение. А затем показываем, как решение этой общей задачи, может помочь нам в решении других, более узких задач.

Добавлено через 7 минут
А когда нам преподают матрицы, нам говорят:
"Существуют матрицы. Матрицы -- это таблицы. Есть дофига операций над ними. Есть их некие характеристики.
Хочешь получить решение некой узкой задачи -- забиваешь данные в матрицу, происходишь с нею определённые манипуляции, и вуаля!"

А мне бы хотелось, чтобы если я знал "концепцию/смысл/идею" матрицы и условия задачи, то мог бы сказать:
"Эту задачу можно решить с помощью матриц. Для этого нужно составить таким-то образом матрицу. А дальше..."

Добавлено через 14 минут
"В том и только в том, в котором у нас получилось её решить с помощью матриц.
Как вариант — ну, возьмите ж простейшие приложения матриц. Скажем, решение линейных уравнений https://www.cyberforum.ru/cgi-... i?2\times2. Посмотрите, как они записываются через определители (да, да, тот самый метод Крамера). Посмотрите, как их записать через по-другому определённые определители (да, такие тоже существуют). Сравните простоту и лаконичность. Поглядите на повороты плоскости относительно центра координат. Запишите формулу композиции двух поворотов через матрицы. Посмотрите, что получается при другом определении произведения матриц (да, да, такие тоже существуют).
Ну и на всякий случай: любой математический аппарат — инструмент для приложений. В нём нет сакрального смысла. Он такой, потому что именно такой наиболее (из известного на сегодняшний день) удобен для приложений. Другого смысла в нём нет."

iifat, спасибо. Наверное, я так делать и буду)) может быть так я я пойму основную соль матриц.

Но всё-таки мне хотелось бы не доказывать, почему метод Крамера работает, а узнать, как придумать метод Крамера? Как самому прийти к решению определённых задач с помощью матриц?

Добавлено через 9 минут
Это точно также как нам в школе четко по пунктам рассказывали про то как Галилей перешёл к идее о инерциальных системах и законе относительности движения...

Добавлено через 25 минут
Байт, но мы ведь можем сказать, почему топор такой, а не иначе. Почему рубящая часть -- металл, а не пластик.
Любое изобретение имеет свою историю. Мы можем проследить логику мыслей изобретателей, понять, почему они изменяли предметы именно таким образом -- мы можем "изобрести" топор. Или мотоцикл.
Матрицы -- такое же изображение, как и топор. Как "изобрести" решения задач, приведённых в первом посте?

0

Сообщение от Справлюсь мы ведь можем сказать, почему топор такой, а не иначе. Почему рубящая часть -- металл, а не пластик

Можете? Нет, вот правда, можете? Знаете теорию материалов, необходимые характеристики, нужную марку стали, дабы рассчитать топор? И это ж я не упомянул экономических характеристик — титановый-то топор, подозреваю, получше будет! Или «все топором — и я топором»?

Сообщение от Справлюсь Сколько раз побывает в одной точке покинутый вертикально вверх мячик?

И что в этой задаче указывает на квадратное уравнение? Не надо отвечать, я сам: зная законы физики, мы решаем эту задачу и приходим к квадратному уравнению. Потом последнее действо повторяем сто мильёнов раз, пока не развиваем в себе интуицию («непосредственное усмотрение истины» — это определение её) и уже и ответить не можем без напряжения — ну почему при виде этой задачи всплывает дикриминант.
Либо же зазубриваем формулы и мучаемся вопросом, а почему ж таки дискриминант и в чём его сакральный смысл.
А как понять — ну, уже написал: решать, решать и решать.
Сначала от задач: решить по паре задач. Потом попробовать в общем виде (для векторного произведения и плоскости не слишком-то даже и сложно; метод Крамера проверить для систем 2х2 просто и 3х3 муторно, но вполне реально). Потом от свойств определителей и матриц.

1

0

Справлюсь, Кажется, начинаю понимать вас.
Вопрос - "Как это ему пришло в голову?" интересует людей давно. Есть даже кой какая литература. Первое, что пришло в голову
Пойа "Как решать задачу"
У.У.Сойер "Прелюдия к математике"
Маяковский "Как писать стихи"
Белла Ахмадулина, поэма "Дождь" - "одаренных Богом кто одаряет и каким путем"

Добавлено через 3 минуты
В конце концов, как возникли Эллиптические кривые? Решали ВТФ всем миром. Не школьные учителя из Поволжья, а Математики.
Другой пример - вещий сон Менделеева. Но сначала от придумал сорокоградусную. Чтоб спать было слаще.

Добавлено через 4 минуты
Возьмем ваши определители. Исследуя случаи 2х2 и 3х3, приходит в голову мысля, что это сумма каких-то произведений. Симметрия очевидна (переменные можно менять друг на дружку, строки переставлять) И вот уже решения мерцает в конце тоннеля...

1

Спасибо всем тем,кто отписался.
Буду разбираться. Если пойму то, что хотел -- напишу вам.

Байт, спасибо за книги, прочитаю.

Самая "простая/понятная" задача, которая мне понравилась, -- нахождение объёма параллелепипеда(смешанное произведение векторов). Вроде как, там очевидно, что объём -- это произведение, и там нужно перекрёстно...

А потом перейти к методу Крамера. Ведь можно системе линейных уравнений привести в соответствие четыре параллелепипеда-матрицы?

0

Справлюсь, если это имеет смысл -- может помогу.

Это больше околоматематический вопрос. Он даже наверное больше когнитивный -- про то как устроен мозг. Вот сначала вы умеете одну вещь -- число. Вы умеете ими как-то оперировать (ну хотя бы палочки рядом укладывать). И вы различаете каждый элемент -- каждое число: число 2 для Вас -- это не то же, что и 3. (Такова уж природа мозга -- он лучше понимает когда оперирует простыми вещами.) А потом вы начинаете понимать и привыкать к числам (сформировываются новые мозговые цепочки благодаря дендритам и аксонам). И вот вы уже различаете чётные и нечётные числа и это шаг вперед. Теперь под словом "чётное" -- не один объект, а побольше. И вот вы умеете что-то доказывать (типа сумма чётных чётна и т.д.) и понимаете это всё на следующем уровне.

А матрица -- ну это просто язык на самом деле. Можно от них отказаться. И выписывать большие-большие равенства/уравнения/соотношения. Это очень важно понимать, что это лишь способ мышления.
Кстати, в Современной Геометрии Новикова и ко вообще нет слов "векторное произведение" и "определитель" -- там просто формулы выписаны.

Другой вопрос: "Почему именно такой способ мышления?". И это уже другая история

Если я примерно попал в Ваш вопрос -- могу продолжить, если нет -- извините, что отнял время.

Удачи!

2

Tetroghon, спасибо
Очень интересно. Конечно продолжайте!

0

Сообщение от Tetroghon Это больше околоматематический вопрос.

Скорее, это общий вопрос познания. Вот, слезли с дерева, ножки стоят, ручки свободны. Показываем фигу. Это 1. Но в ней участвуют 3 пальца. А чего ж там остальные 2 без дела болтаются? Очень серьезная и осмысленная пятерка получается. Ну и так далее, по нарастающей

Добавлено через 9 минут
А все эти матрицы-хуятряцы были придуманы ленивыми людьми. Лень - главный двигатель прогресса!

Добавлено через 5 минут

Сообщение от Tetroghon Такова уж природа мозга

В и правда знаете, как устроен мозг? И про всю его природу тоже знаете?

1

Справлюсь, про способ мышления тут уже были абсолютно правильные комментарии. Ну вот кто-то вот так увидел. Ну вот смог. Точнее тут вряд ли объяснишь, хотя действительно записывать системы линейных уравнений в матрицы придумало несколько человек. И это вот новая лесенка в понимании. Возможность оперировать матрицами А точнее понимать, что если вы умеете решать систему вида , то Вы умеете и решать систему вида (да и не только для двойки а для любого обратимого числа/элемента кольца/элемента поля). Вот. Дальше уже начинается исследование самих свойств этих табличек (в которых определитель появляется сооовсем не сразу).

1

Значит, буду вникать)

0