Верно ли доказательство методом математической индукции?

@Shadow_IV · Регистрация: 21.09.2020

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Значит, есть исходное выражение, которое нужно доказать методом мат.индукции:

Верно ли доказательство методом математической индукции?

Моё доказательство выглядит так:
1) Поскольку при n = 1 число не кратно 24, в качестве базиса индукции возьмем n = 2:

2) Положим, что утверждение также верно при n = k. В таком случае, при n = k + 1, выражение преобразуется следующим образом:

И тут вопрос: правильно ли оно, это доказательство? Просто, мне кажется, я что-то напутал в n = k + 1... Хочу заранее отблагодарить заранее всех тех, кто отпишется в эту тему.

Байт · 08.02.2021, 21:38

Сообщение от Shadow_IV

Поскольку при n = 1 число не кратно 24,

С чего вдруг? ноль однако с удовольствием делится на любое число!
А так

Сообщение от Shadow_IV

я что-то напутал

Есть чуток. Откуда там "3" взялось?
И очень мелкая картинка получилась.

@YanLunNikita · 08.02.2021, 21:53

Shadow_IV, мои выкладки такие
1)база у вас такая же как и у меня
2)предполагаем, что при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=k$ утверждение верно
3)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left(2 \cdot (k+1) - 1 \right)}^{3} - \left(2 \cdot (k+1) - 1 \right)=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(2 \cdot (k+1) - 1 \right) \cdot \left({\left[2 \cdot (k+1) - 1 \right]}^{2} -1 \right)=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( 2k+1\right) \cdot \left({\left[ 2k+1 \right]}^{2} -1 \right)=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( 2k+1\right) \cdot \left( 4k^2 + 4k + 1 - 1 \right)=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( 2k+1\right) \cdot \left( 4k^2 + 4k \right)=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(2k+1 \right) \cdot 4 \cdot k \cdot \left(k+1 \right)$
Последнее выражение делится на 24
множитель 4 в разложении на множители говорит, что оно делится на 4
Рассмотрим произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\left(2k+1 \right) \cdot k \cdot \left(k+1 \right)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n,n\in Z;\left(2\cdot (6n)+1 \right) \cdot 6n \cdot \left((6n)+1 \right)\equiv 0 (mod 3)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+1,n\in Z;\left(2\cdot (6n+1)+1 \right) \cdot (6n+1) \cdot \left((6n+1)+1 \right)\equiv 3 \cdot 1 \cdot 2\equiv 0 (mod 3)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+2,n\in Z;\left(2\cdot (6n+2)+1 \right) \cdot (6n+2) \cdot \left((6n+2)+1 \right)\equiv 5 \cdot 2 \cdot 3\equiv 0 (mod 3)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+3,n\in Z;\left(2\cdot (6n+3)+1 \right) \cdot (6n+3) \cdot \left((6n+3)+1 \right)\equiv 1 \cdot 3 \cdot 4\equiv 0 (mod 3)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+4,n\in Z;\left(2\cdot (6n+4)+1 \right) \cdot (6n+4) \cdot \left((6n+4)+1 \right)\equiv 9 \cdot 4 \cdot 5\equiv 0 (mod 3)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+5,n\in Z;\left(2\cdot (6n+5)+1 \right) \cdot (6n+5) \cdot \left((6n+5)+1 \right)\equiv 11 \cdot 5 \cdot 6\equiv 0 (mod 3)$

Добавлено через 8 минут
Забыл добавить. раз произведение делится отдельно на 6 и на 4, значит оно делится и на 6*4=24

@Red white socks · 08.02.2021, 21:58

Индукция в этом доказательстве как топор в той самой каше.

Сообщение от YanLunNikita

Забыл добавить. раз произведение делится отдельно на 6 и на 4, значит оно делится и на 6*4=24

Это ложь. Формулировать надо аккуратнее.

Байт · 08.02.2021, 22:06

А без индукции проще получается. Пусть z - нечетное число
Имеем z(z-1)(z+1)
z-1, z+1 четные 4 уже есть. Из 2-х последовательных четных одно непременно делится на 4 Уже 8
А из 3-х последовательных чисел одно непременно делится на 3.
Вот, собственно, и все

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от YanLunNikita

раз произведение делится отдельно на 6 и на 4, значит оно делится и на 6*4=24

да, ошибочка вышла...

@YanLunNikita · 08.02.2021, 22:18

Red white socks, ну да, по большому счету в моем решении можно было перебирать остатки и без индукции.

Сообщение от Red white socks

Это ложь. Формулировать надо аккуратнее.

я имел в виду что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\cdot 6 \cdot m \equiv 0 (\mod 24),m\in N$

Добавлено через 11 минут
И еще у меня в решении не mod 3, а mod 6. По невнимательности ошибся

@Shadow_IV · 08.02.2021, 22:33 **[ТС]**

Есть чуток. Откуда там "3" взялось?

Ой, да: я опечатался, когда печатал выражение, приведенное к виду n = k + 1. Извиняюсь
Хотя не суть: все преобразования были осуществлены именно для (2 * (k+1) - 1). Поэтому вопрос не изменился: если не брать в учет опечатку, то является ли само доказательство верным?

Байт · 08.02.2021, 22:42

Сообщение от Shadow_IV

является ли само доказательство верным?

Как будто бы да, но судить вот так, по кускам трудно. Дайте полное, без поправок, решение. И, если вас не затруднит, посреством редактора формул
Ибо
Двойной интеграл

@angor6 · 08.02.2021, 23:03

Shadow_IV, по-моему, доказываемое утверждение верно при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1,$ потому что ноль делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24.$ Предположим, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2k-1)^3-(2k-1)$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24$ -- это индуктивное предположение. Тогда при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=k+1$ получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2(k+1)-1)^3-(2(k+1)-1)=((2k-1)+2)^3-((2k-1)+2)=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=((2k-1)^3-(2k-1))+6(2k-1)^2+12(2k-1)+6.$

При этом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2k-1)^3-(2k-1)$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24$ по индуктивному предположению, а

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6(2k-1)^2+12(2k-1)+6=6((2k-1)^2+2(2k-1)+1)=6(2k-1+1)^2=6 \cdot (2k)^2=24k^2$

тоже делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24.$ Но тогда и

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?((2k-1)^3-(2k-1))+6(2k-1)^2+12(2k-1)+6=((2k-1)+2)^3-((2k-1)+2)=(2(k+1)-1)^3-(2(k+1)-1)$

делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24.$

@wer1 · 09.02.2021, 09:29

Уважаемый Shadow_IV,
позвольте мне привести доказательство вашей задачи.
Итак имеем математическое выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2n-1)^3-(2n-1)$
запишем его в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4n(n-1)(2n-1)$

Очевидно, что наше выражение уже делится на 4. То есть нам нужно доказать, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n(n-1)(2n-1)$ делится на 6
(вот это выражение и будем рассматривать как исходное и рассматривать деление на 6)

шаг 1
пусть n = 1, тогда выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n(n-1)(2n-1)$ равно 0. Нуль делится на 6

шаг 2
пусть при n = k выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k(k-1)(2k-1)$ делится на 6 (индукционное предложение)
нам надо доказать, что выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(k+1)((k+1)-1)(2(k+1)-1)$ тоже делится на 6

Запишем последнее выражение в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(k+1)k(2k+1)$

ВНИМАНИЕ
сейчас я покажу как можно очень просто провести последние шаги доказательства не ломая голову.
Итак вычтем из нашего выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(k+1)k(2k+1)$ индукционное выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k(k-1)(2k-1)$ (оно по предложению индукции уже делится на 6). И эта разность должна делиться на 6. Имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[(k+1)k(2k+1)]-[k(k-1)(2k-1)]=k[(k+1)(2k+1)-(k-1)(2k-1)]=k[6k]=6k^2$

Итак последнее выражение делится на 6. Что и требовалось доказать.
Итог: исходная задача решена методом математической индукции.

примечание
Если кому-то очень хочется придать "идеальный" вид доказательству, то используя последнее выражение это сделать очень легко. А именно, запишем доказываемое выражение в виде:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(k+1)k(2k+1)=k(k-1)(2k-1)+6k^2$
оба слагаемых правого выражения делятся на 6. (первое слагаемое делится на 6 согласно индукционному условию) А значит на 6 делится и левая часть выражения
Что и требовалось доказать.

Байт · 09.02.2021, 10:44

Сообщение от wer1

делится на 6

Этого маловато. 12 тоже делится на 4 и на 6

Добавлено через 2 минуты
Повторение ошибки

Сообщение от YanLunNikita

раз произведение делится отдельно на 6 и на 4, значит оно делится и на 6*4=24

@wer1 · 09.02.2021, 12:33

Сообщение от Байт

Этого маловато. 12 тоже делится на 4 и на 6

Вы меня удивляете. 12 делится на 4. Делим, получим 3. Но три не делится на 6. Значит 12 не делится на 24.
Прошу прощения, но Вы невнимательны. Множитель 4 я в своём доказательстве убрал (вы это упустили из виду). Вот то, что осталось и должно делится на 6. Что и было доказано.
...
А так, вы правы в том, что выше были ошибки в доказательстве другими форумчанами. Я бегло просмотрел и решил сделать всё сам.

Байт · 09.02.2021, 12:45

wer1, из логики вашего доказательства следует что вы используете утверждение:
Если число делится на 4 и 6, то оно делится на 24. Что неверно, как показывает пример 12.
грамотное доказательство по индукции приведено в посте 9 уважаемым angor6. Без индукции - в посте 5.
А логика у вас прихрамывает. Частенько путаетесь. Жаль...

@wer1 · 09.02.2021, 12:56

Глубокоуважаемый Байт,
моё доказательство основано на том, что определив что выражение делится на 4. Я его и делю на 4. А уже частное рассматриваю на предмет деления на 6. Ещё раз извините, но если Вам это не понятно, то пусть выскажется кто-то ещё.
...
Не хочу доказывать элементарные вещи...

Байт · 09.02.2021, 13:32

wer1, В этом случае ваше доказательство записано из рук вон плохо.
И пожалуй - все. Больше на эту тему мне говорить не хочется.

@mihailm · 09.02.2021, 18:42

Сообщение от wer1

пусть выскажется кто-то ещё

Вполне нормальное у вас доказательство, не парьтесь

@zvm2 · 09.02.2021, 22:37

Сообщение от Shadow_IV

доказать методом мат.индукции

Введём обозначение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_n=(2n-1)^3-(2n-1)$ .
Легко вычислить, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{n+1}-A_n=24n^2$ .
И сразу видно, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_0$ делится на 24, то и все члены последовательности делятся на 24.

@mihailm · 09.02.2021, 22:54

Сообщение от zvm2

Легко вычислить, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{n+1}-A_n=24n^2$

Дык именно это и посчитал wer1, если присмотреться

Байт · 10.02.2021, 10:05

Сообщение от mihailm

если присмотреться

Если к доказательству надо еще и "присматривается", это значит оно просто неграмотно записано. Значит не понятно, что дано, и что требуется доказать, и что собственно доказывается.
И получается - не доказательство, а болтовня на тему

@mihailm · 10.02.2021, 10:11

Сообщение от Байт

И получается - не доказательство, а болтовня на тему

я услышал ваше мнение

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@Shadow_IV 0 / 0 / 0 Регистрация: 21.09.2020 Сообщений: 5

	Верно ли доказательство методом математической индукции? 08.02.2021, 17:38. Показов 2509. Ответов 19 Метки теория множеств (Все метки) Здравствуйте! Значит, есть исходное выражение, которое нужно доказать методом мат.индукции: Моё доказательство выглядит так: 1) Поскольку при n = 1 число не кратно 24, в качестве базиса индукции возьмем n = 2: 2) Положим, что утверждение также верно при n = k. В таком случае, при n = k + 1, выражение преобразуется следующим образом: И тут вопрос: правильно ли оно, это доказательство? Просто, мне кажется, я что-то напутал в n = k + 1... Хочу заранее отблагодарить заранее всех тех, кто отпишется в эту тему. 0

@YanLunNikita 31 / 26 / 7 Регистрация: 26.11.2020 Сообщений: 113
	08.02.2021, 21:53
	Shadow_IV, мои выкладки такие 1)база у вас такая же как и у меня 2)предполагаем, что при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=k$ утверждение верно 3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left(2 \cdot (k+1) - 1 \right)}^{3} - \left(2 \cdot (k+1) - 1 \right)=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(2 \cdot (k+1) - 1 \right) \cdot \left({\left[2 \cdot (k+1) - 1 \right]}^{2} -1 \right)=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( 2k+1\right) \cdot \left({\left[ 2k+1 \right]}^{2} -1 \right)=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( 2k+1\right) \cdot \left( 4k^2 + 4k + 1 - 1 \right)=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( 2k+1\right) \cdot \left( 4k^2 + 4k \right)=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(2k+1 \right) \cdot 4 \cdot k \cdot \left(k+1 \right)$ Последнее выражение делится на 24 множитель 4 в разложении на множители говорит, что оно делится на 4 Рассмотрим произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\left(2k+1 \right) \cdot k \cdot \left(k+1 \right)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n,n\in Z;\left(2\cdot (6n)+1 \right) \cdot 6n \cdot \left((6n)+1 \right)\equiv 0 (mod 3)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+1,n\in Z;\left(2\cdot (6n+1)+1 \right) \cdot (6n+1) \cdot \left((6n+1)+1 \right)\equiv 3 \cdot 1 \cdot 2\equiv 0 (mod 3)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+2,n\in Z;\left(2\cdot (6n+2)+1 \right) \cdot (6n+2) \cdot \left((6n+2)+1 \right)\equiv 5 \cdot 2 \cdot 3\equiv 0 (mod 3)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+3,n\in Z;\left(2\cdot (6n+3)+1 \right) \cdot (6n+3) \cdot \left((6n+3)+1 \right)\equiv 1 \cdot 3 \cdot 4\equiv 0 (mod 3)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+4,n\in Z;\left(2\cdot (6n+4)+1 \right) \cdot (6n+4) \cdot \left((6n+4)+1 \right)\equiv 9 \cdot 4 \cdot 5\equiv 0 (mod 3)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=6n+5,n\in Z;\left(2\cdot (6n+5)+1 \right) \cdot (6n+5) \cdot \left((6n+5)+1 \right)\equiv 11 \cdot 5 \cdot 6\equiv 0 (mod 3)$ Добавлено через 8 минут Забыл добавить. раз произведение делится отдельно на 6 и на 4, значит оно делится и на 6*4=24 1

@angor6 Любитель математики 1500 / 1009 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,369
	08.02.2021, 23:03
	Сообщение было отмечено Shadow_IV как решение Решение Shadow_IV, по-моему, доказываемое утверждение верно при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=1,$ потому что ноль делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24.$ Предположим, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2k-1)^3-(2k-1)$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24$ -- это индуктивное предположение. Тогда при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=k+1$ получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2(k+1)-1)^3-(2(k+1)-1)=((2k-1)+2)^3-((2k-1)+2)=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=((2k-1)^3-(2k-1))+6(2k-1)^2+12(2k-1)+6.$ При этом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2k-1)^3-(2k-1)$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24$ по индуктивному предположению, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6(2k-1)^2+12(2k-1)+6=6((2k-1)^2+2(2k-1)+1)=6(2k-1+1)^2=6 \cdot (2k)^2=24k^2$ тоже делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24.$ Но тогда и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?((2k-1)^3-(2k-1))+6(2k-1)^2+12(2k-1)+6=((2k-1)+2)^3-((2k-1)+2)=(2(k+1)-1)^3-(2(k+1)-1)$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?24.$ 3

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	09.02.2021, 09:29
	Уважаемый Shadow_IV, позвольте мне привести доказательство вашей задачи. Итак имеем математическое выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2n-1)^3-(2n-1)$ запишем его в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4n(n-1)(2n-1)$ Очевидно, что наше выражение уже делится на 4. То есть нам нужно доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n(n-1)(2n-1)$ делится на 6 (вот это выражение и будем рассматривать как исходное и рассматривать деление на 6) шаг 1 пусть n = 1, тогда выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n(n-1)(2n-1)$ равно 0. Нуль делится на 6 шаг 2 пусть при n = k выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k(k-1)(2k-1)$ делится на 6 (индукционное предложение) нам надо доказать, что выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(k+1)((k+1)-1)(2(k+1)-1)$ тоже делится на 6 Запишем последнее выражение в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(k+1)k(2k+1)$ ВНИМАНИЕ сейчас я покажу как можно очень просто провести последние шаги доказательства не ломая голову. Итак вычтем из нашего выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(k+1)k(2k+1)$ индукционное выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k(k-1)(2k-1)$ (оно по предложению индукции уже делится на 6). И эта разность должна делиться на 6. Имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?[(k+1)k(2k+1)]-[k(k-1)(2k-1)]=k[(k+1)(2k+1)-(k-1)(2k-1)]=k[6k]=6k^2$ Итак последнее выражение делится на 6. Что и требовалось доказать. Итог: исходная задача решена методом математической индукции. примечание Если кому-то очень хочется придать "идеальный" вид доказательству, то используя последнее выражение это сделать очень легко. А именно, запишем доказываемое выражение в виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(k+1)k(2k+1)=k(k-1)(2k-1)+6k^2$ оба слагаемых правого выражения делятся на 6. (первое слагаемое делится на 6 согласно индукционному условию) А значит на 6 делится и левая часть выражения Что и требовалось доказать. 1

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	09.02.2021, 12:45
	wer1, из логики вашего доказательства следует что вы используете утверждение: Если число делится на 4 и 6, то оно делится на 24. Что неверно, как показывает пример 12. грамотное доказательство по индукции приведено в посте 9 уважаемым angor6. Без индукции - в посте 5. А логика у вас прихрамывает. Частенько путаетесь. Жаль... 0

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	09.02.2021, 12:56
	Глубокоуважаемый Байт, моё доказательство основано на том, что определив что выражение делится на 4. Я его и делю на 4. А уже частное рассматриваю на предмет деления на 6. Ещё раз извините, но если Вам это не понятно, то пусть выскажется кто-то ещё. ... Не хочу доказывать элементарные вещи... 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	09.02.2021, 13:32
	wer1, В этом случае ваше доказательство записано из рук вон плохо. И пожалуй - все. Больше на эту тему мне говорить не хочется. 0

Верно ли доказательство методом математической индукции?

Решение