Является ли оператор линейным и непрерывным

@CrazyCarrot · Регистрация: 23.05.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите с задачей

Является ли оператор линейным и непрерывным

@Eugeniy · 27.04.2011, 23:58

CrazyCarrot, линейность оператора проверяется по-определению и фактически очевидна. Непрерывность эквивалентна ограниченности. Известно, что непрерывные функции на компактах ограничены, следовательно |K(t,s)|<=C для некоторого C>0 значит справедливо неравенство

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|(Kx)(t)| = |\int_{a}^{b}k(t,s)x(s)ds|\leq \int_{a}^{b}|k(t,s)x(s)|ds\leq C\left| \left|x\right|\right|(b-a) \ \Rightarrow\ \left|\left|K\right|\right|\leq C(b-a)$

Следовательно оператор ограничен, а это значит, что он непрерывен.

@CrazyCarrot 0 / 0 / 1 Регистрация: 23.05.2010 Сообщений: 14
		1
	Является ли оператор линейным и непрерывным 27.04.2011, 20:15. Показов 2362. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Помогите с задачей 0

@Eugeniy 3132 / 1325 / 156 Регистрация: 19.12.2009 Сообщений: 1,808
	27.04.2011, 23:58	2
	CrazyCarrot, линейность оператора проверяется по-определению и фактически очевидна. Непрерывность эквивалентна ограниченности. Известно, что непрерывные функции на компактах ограничены, следовательно \|K(t,s)\|<=C для некоторого C>0 значит справедливо неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|(Kx)(t)\| = \|\int_{a}^{b}k(t,s)x(s)ds\|\leq \int_{a}^{b}\|k(t,s)x(s)\|ds\leq C\left\| \left\|x\right\|\right\|(b-a) \ \Rightarrow\ \left\|\left\|K\right\|\right\|\leq C(b-a)$ Следовательно оператор ограничен, а это значит, что он непрерывен. 0