Доказать, что функционал является линейным непрерывным и найти норму

@zenid · Регистрация: 26.12.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

решите пожалуйста
Доказать, что функционал является линейным непрерывным и найти норму:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=({\varepsilon }_{1},{\varepsilon }_{2},...)\rightarrow {\varepsilon }_{k}$ в L₂

@cmath · 23.12.2012, 04:47

Поясните для начала свою запись. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L_2$ - это на каком множестве? отрезок, интервал или еще что? как выглядит?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon _k$ - это тоже требует пояснения. Что под этим понимать? Напишите свою задачу так, как она выглядела до перефразирования.
***
Телепатов здесь нет. Так что решение дадут только после корректной постановки задачи.

@zenid · 23.12.2012, 10:53 **[ТС]**

вот в общем то условие задачи, большего ничего не дано:

@cmath · 23.12.2012, 11:04

Всё равно не понятно. Вы написали в начале $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L_2$ , в приложении уже $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l_2$ . Первое можно было бы принять пространство Лебега, но тогда не понятно, по какому отрезку берётся интеграл от элементов этого пространства. Второе для меня совсем не ясно. Далее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi _x$ - координаты вектора что-ли?
Проблемка в том, что обозначения для разных объектов можно придумать разное, и в разных книгах могут давать разные обозначения. Например пространство Лебега степени p обозначают как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^p(a;b)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L_p(a;b)$ . Поэтому, если вы не поясните, что за что принимать, то решения не будет.

@zenid · 23.12.2012, 15:11 **[ТС]**

[LATEX]\xi - координаты вектора. возьмем на отрезке \left[0,1 \right]

@cmath · 23.12.2012, 15:55

Сообщение от zenid

линейным

Функционал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F:X\rightarrow \mathbb{R}$ называется линейным, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\;x_1,\;x_2\in X \;F(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha F(x_1)+\beta F(x_2)$
Функционал называется непрерывным, если из сходимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x_n}:x_n\rightarrow x$ следует сходимость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x_n)\rightarrow F(x)$
С линейностью сами разберётесь, помогу с непрерывностью:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n=(\xi _{1_n};\xi _{2_n};...)\rightarrow x=(\xi _1;\xi _2;...)$
Положим базис - это некоторая система $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{e_1;e_2;...\}:\;(||e_k||=(\int_a^be_k^2dt)^{\frac{1}{2}}=1)$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?||x_n-x||=|\sum (\xi_{k_n}-\xi_k)(\int_{a}^{b}e_k^2dt)^{\frac{1}{2}}|\gt|\xi_{k_n}-\xi_k|$ и очевидно, что если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?||x_n-x||\lt \varepsilon$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|\xi_{k_n}-\xi_k|\lt \varepsilon$

Добавлено через 10 минут

Не по теме:

Хотя равенство нормы векторов базиса единице необязательно

@zenid 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.12.2011 Сообщений: 149
		1
	Доказать, что функционал является линейным непрерывным и найти норму 22.12.2012, 18:28. Показов 3141. Ответов 5 Метки нет (Все метки) решите пожалуйста Доказать, что функционал является линейным непрерывным и найти норму: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=({\varepsilon }_{1},{\varepsilon }_{2},...)\rightarrow {\varepsilon }_{k}$ в L₂ 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	23.12.2012, 04:47	2
	Поясните для начала свою запись. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L_2$ - это на каком множестве? отрезок, интервал или еще что? как выглядит? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon _k$ - это тоже требует пояснения. Что под этим понимать? Напишите свою задачу так, как она выглядела до перефразирования. *** Телепатов здесь нет. Так что решение дадут только после корректной постановки задачи. 0

@zenid 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.12.2011 Сообщений: 149
	23.12.2012, 10:53 [ТС]	3
	вот в общем то условие задачи, большего ничего не дано: Миниатюры 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	23.12.2012, 11:04	4
	Всё равно не понятно. Вы написали в начале $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L_2$ , в приложении уже $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l_2$ . Первое можно было бы принять пространство Лебега, но тогда не понятно, по какому отрезку берётся интеграл от элементов этого пространства. Второе для меня совсем не ясно. Далее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi _x$ - координаты вектора что-ли? Проблемка в том, что обозначения для разных объектов можно придумать разное, и в разных книгах могут давать разные обозначения. Например пространство Лебега степени p обозначают как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L^p(a;b)$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L_p(a;b)$ . Поэтому, если вы не поясните, что за что принимать, то решения не будет. 0

@zenid 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.12.2011 Сообщений: 149
	23.12.2012, 15:11 [ТС]	5
	[LATEX]\xi - координаты вектора. возьмем на отрезке \left[0,1 \right] 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	23.12.2012, 15:55	6
	Сообщение от zenid линейным Функционал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F:X\rightarrow \mathbb{R}$ называется линейным, если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\;x_1,\;x_2\in X \;F(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha F(x_1)+\beta F(x_2)$ Функционал называется непрерывным, если из сходимости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x_n}:x_n\rightarrow x$ следует сходимость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x_n)\rightarrow F(x)$ С линейностью сами разберётесь, помогу с непрерывностью: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n=(\xi _{1_n};\xi _{2_n};...)\rightarrow x=(\xi _1;\xi _2;...)$ Положим базис - это некоторая система $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{e_1;e_2;...\}:\;(\|\|e_k\|\|=(\int_a^be_k^2dt)^{\frac{1}{2}}=1)$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|\|x_n-x\|\|=\|\sum (\xi_{k_n}-\xi_k)(\int_{a}^{b}e_k^2dt)^{\frac{1}{2}}\|\gt\|\xi_{k_n}-\xi_k\|$ и очевидно, что если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|\|x_n-x\|\|\lt \varepsilon$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|\xi_{k_n}-\xi_k\|\lt \varepsilon$ Добавлено через 10 минут Не по теме: Хотя равенство нормы векторов базиса единице необязательно 1