Проблема в том, что при развитии аппарата комплексных чисел математики использовали понятия и средства, уже разработанные прежде. Например, декартову систему координат, полярную систему координат, векторы, тригонометрию. Но при этом для комплексных чисел они часто вводили свою терминологию.
Вам следует понять некую условность и неоднозначность в организации терминологии. В качестве курьезного примера. В некоторых «научных школах» у нас произносят кОмплексные. В других – при таком произношении на вас посмотрят, как на плохо образованного. Потому что там принято произносить комплЕксные. В русских словарях стоит кОмплЕксные, попробуйте такое произнести. А в англоязычной Википедии об ударении даже не упоминается.
...
Пару слов о «мнимой единице i ».
Сначала ее определили, как i=√(-1). Потом, чтобы избежать знака «-» под корнем, i положили определять условием i2= -1. Но обходится молчанием, что при этом и i, и –i становятся фактически одним объектом, так как оба удовлетворяют условию i2 = -1. А в электротехнике вместо символа «i» стали использовать символ «j», чтобы не путать с символом обозначения тока i. Хотя буква j тоже используется в физике, для обозначения плотности тока.
В терминологии для этих чисел много того, что «принято», «предписано». Мы обсудим это всё по минимуму, так как наша тема определена, как «Введение».
....
Для математиков – это множество объектов, для которых не возникает противоречий в операциях сложения-вычитания, умножения-деления, возведения в степень-извлечения корня. Тогда как для других множеств чисел это не так. Например, операция вычитания на множестве натуральных чисел может приводить к отрицательным числам, т.е. объектам уже другого множества.
Для физиков комплексные числа – это возможность смотреть на колебания, т.е. на гармонические функции типа cos(ɷt) и sin(ɷt), как на проекции на оси x и y движения по кругу. На круге проще рассматривать взаимные отставания и опережения колебаний «по фазе». Горизонтальная ось на рисунке обозначена Re (от real, действительный), вертикальная – как Im (от imaginary, мнимый).
Геометры же на плоскость комплексных чисел смотрят, как на обычную плоскость. Без различия действительной и мнимой компоненты. Просто на плоскости комплексных чисел удобно производить «угловые повороты» траекторий.

Таким образом, комплексные числа – это математическое множество объектов, которые своими свойствами облегчают кому-то рассмотрение каких-то явлений в своих областях. И всё!

В статье используются новые подходы:
по-новому объясняется сложение аргументов комплексных чисел при их умножении;
объясняется вывод формулы Эйлера, показан ее смысл;
демонстрируется применение комплексных чисел в физике (тема «Резонанс»), это целесообразно использовать на уроках физики.