Задача на определение существования вещественных чисел для системы уравнений

@Bohes · Регистрация: 10.07.2011

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Вводятся числа a1, b1, c1, a2, b2, c2.
Определить существуют ли вещественные чиcла x, y, при которых
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a1*x+b1*y+c1>=0 a2*x+b2*y+c2>=0 $

Как это решить? Есть ли математический способ?

@Heidegger · 14.09.2013, 00:01

Сообщение от Bohes2013

Есть ли математический способ?

Уравнение Ax + By + C = 0 задаёт прямую на плоскости с нормальным вектором n(A; B).
Каждая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, в одной из которых Ax + By + C >= 0.
Так что задача сводится к рассмотрению взаимного расположения двух прямых.

@Heidegger · 15.09.2013, 11:16

Сообщение от Bohes2013

Определить существуют ли вещественные числа x, y

Удалось найти решение?

@Bohes · 15.09.2013, 13:52 **[ТС]**

Сообщение от Heidegger

Удалось найти решение?

Думаю, алгоритм таков:

1) Если (a1/a2 <> b1/b2), то существуют
2) Если (a1/a2=b1/b2=c1/c2), то существуют
3) Если Если первые 2 пункта не выполнены, то прямые параллельны, и нужно определить есть ли пересечения полуплоскостей.

Вот на 3-ем пункте я застрял, еще не знаю как его реализовать. Также не понятно, что делать если одно из чисел равно 0.

@Heidegger · 15.09.2013, 14:28

Сообщение от Bohes2013

Думаю, алгоритм таков:
1) Если (a1/a2 <> b1/b2), то существуют
2) Если (a1/a2=b1/b2=c1/c2), то существуют
3) Если Если первые 2 пункта не выполнены, то прямые параллельны, и нужно определить есть ли пересечения полуплоскостей.

Да, всё верно. Можно немного упростить задачу, нормировав левые части:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1)/\sqrt{a_1^2+b_1^2}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2)/\sqrt{a_2^2+b_2^2}$

и повернув оси таким образом, чтобы первая прямая стала параллельна оси абсцисс (или совпала с ней).

Тогда нормальный вектор первой прямой принимает вид (0; 1), и задача становится тривиальной.

@Bohes · 15.09.2013, 14:39 **[ТС]**

Сообщение от Heidegger

Да, всё верно. Можно немного упростить задачу, нормировав левые части:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1)/\sqrt{a_1^2+b_1^2}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(2)/\sqrt{a_2^2+b_2^2}$

и повернув оси таким образом, чтобы первая прямая стала параллельна оси абсцисс (или совпала с ней).

Тогда нормальный вектор первой прямой принимает вид (0; 1), и задача становится тривиальной.

Не подскажете, что значит "нормировать", первый раз встречаюсь с данным термином в геометрии.

Первая прямая становится параллельной оси абсцисс уже после нормирования или еще нужно делать дополнительные действия?

Можете скинуть ссылку на топик или книжку по данной теме?

@Heidegger · 15.09.2013, 15:09

Сообщение от Bohes2013

что значит "нормировать

Для вектора нормирование – приведение к единичной длине. В данном случае можно разделить все коэффициенты левой части неравенства на длину нормального вектора соответствующей прямой:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1)/\sqrt{a_1^2+b_1^2}$

В результате длина нормального вектора, очевидно, станет равна 1, и от отношений коэффициентов можно будет перейти к соответствующим равенствам.

Сообщение от Bohes2013

Первая прямая становится параллельной оси абсцисс уже после нормирования или еще нужно делать дополнительные действия?

Да, нужно ещё выполнить поворот координатных осей.

Достаточно материала Прямая на плоскости и понимания сущности нормального вектора прямой.

Не по теме:

Я полагал, что упрощаю задачу, но, видимо, я её только усложнил.
Можно попробовать реализовать алгоритм в каком-либо матпакете – так будет проще обсуждать тему.

@Bohes · 15.09.2013, 16:37 **[ТС]**

Сообщение от Heidegger

Можно попробовать реализовать алгоритм в каком-либо матпакете – так будет проще обсуждать тему.

Можно написать на pascal или C++

@Heidegger · 15.09.2013, 16:41

Сообщение от Bohes2013

Можно написать на pascal или C++

Можно, но лучше в пакетах типа Mathcad или Mathematica, где будет возможность сразу же визуализировать результат, чтобы убедиться в правильности вычислений.

@Bohes · 15.09.2013, 16:57 **[ТС]**

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
program isExists;
var
 a1, b1, c1, a2, b2, c2:real;
 Exist:boolean;
Begin
Exist:=true;
 WriteLn('Введите числа a1, b1, c1, a2, b2, c2: '  );
 ReadLn(a1, b1, c1, a2, b2, c2);
 //-----
// if (a1*b2-a2*b1<>0)  then Exist:=true;
// if (a1*b2-a2*b1 = 0) and (b1*c2-c1*b2=0) then  Exist:=true;
 
 
 
if Exist then
 WriteLn('Существует') else
 WriteLn ('Не существует');
 
end.

Добавлено через 1 минуту
Однако, я не понимаю, как вычислить результат левой части уравнения, поделив ее на длину нормального вектора, если x и y неизвесны

@Heidegger · 15.09.2013, 17:43

Сообщение от Bohes2013

как вычислить результат левой части уравнения, поделив ее на длину нормального вектора, если x и y неизвесны

На (строго положительную) длину нормального вектора нужно разделить коэффициенты левой части уравнения (при этом знак неравенства сохраняется) – это сделает коэффициенты обоих уравнений величинами одного порядка, и их можно будет сравнивать непосредственно (с учётом знака). Но закомментированные проверки можно выполнять и без нормализации – тем самым будут выполнены два пункта алгоритма из трёх, и останется только рассмотреть случай параллельности прямых. Его при желании тоже можно реализовать без нормализации и поворота осей.

@Bohes · 18.09.2013, 14:55 **[ТС]**

Сообщение от Heidegger

На (строго положительную) длину нормального вектора нужно разделить коэффициенты левой части уравнения (при этом знак неравенства сохраняется) – это сделает коэффициенты обоих уравнений величинами одного порядка, и их можно будет сравнивать непосредственно (с учётом знака). Но закомментированные проверки можно выполнять и без нормализации – тем самым будут выполнены два пункта алгоритма из трёх, и останется только рассмотреть случай параллельности прямых. Его при желании тоже можно реализовать без нормализации и поворота осей.

Так как в случае пересечения прямых или их совпадения, проверки закомментированные можно и не делать... Получается, можно нормированные коэффициенты сравнить и получится ответ и для параллельности?

Добавлено через 7 минут
Нормирование

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
 a1:=a1/(sqrt(sqr(a1)+sqr(b1));
 b1:=b1/(sqrt(sqr(a1)+sqr(b1));
 c1:=c1/(sqrt(sqr(a1)+sqr(b1));
 
 a2:=a2/(sqrt(sqr(a2)+sqr(b2));
 b2:=b2/(sqrt(sqr(a2)+sqr(b2));
 c2:=c2/(sqrt(sqr(a2)+sqr(b2));

@Heidegger · 18.09.2013, 15:01

Сообщение от Bohes2013

можно нормированные коэффициенты сравнить и получится ответ и для параллельности?

Да, можно. Достаточно проверить случай:

Pascal
1
(a1*b2 - a2*b1 = 0) and (a1*b1 + a2*b2 < 0)

Первое условие – коллинеарности (векторное произведение равно 0), второе – антипараллельности (скалярное произведение отрицательно).

Только в этом случае возможно отсутствие решений.

Нормированные коэффициенты c₁ и c₂ будут при этом характеризовать расстояния от начала координат до соответствующей прямой (можно посмотреть материал по нормальному уравнению прямой) – нужно только грамотно разобраться со знаками.

@Bohes · 18.09.2013, 15:26 **[ТС]**

В предыдущем моем посте ошибка, нужно так:

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 if (c1 > 0) then u1:=1 else u1:=-1;
 a1:=a1/u1*(sqrt(sqr(a1)+ sqr(b1)));
 b1:=b1/u1*(sqrt(sqr(a1)+sqr(b1)));
 c1:=c1/u1*(sqrt(sqr(a1)+sqr(b1)));
 
 if (c2 > 0) then u2:=1 else u2:=-1;
 a2:=a2/u2*(sqrt(sqr(a2)+sqr(b2)));
 b2:=b2/u2*(sqrt(sqr(a2)+sqr(b2)));
 c2:=c2/u2*(sqrt(sqr(a2)+sqr(b2)));

Добавлено через 11 минут

Сообщение от Heidegger

второе – антипараллельности (

антипараллельность относительно какого угла?

Добавлено через 7 минут
Опечатка вышла, нужно поменять на
if (c1 > 0) then u1:=-1 else u1:=1;
if (c2 > 0) then u2:=-1 else u2:=1;

@Heidegger · 18.09.2013, 15:29

Сообщение от Bohes2013

В предыдущем моем посте ошибка

Ошибки нет – нормирование было выполнено верно. Нужно будет только в дальнейшем правильно учесть знаки коэффициентов c.

Сообщение от Bohes2013

нужно так:

А вот если явно строить нормальное уравнение прямой, то знаки нужно выбирать противоположными знаку коэффициента c (но при этом может меняться знак неравенства). И со скобками желательно в обоих случая разобраться.

Сообщение от Bohes2013

антипараллельность относительно какого угла?

Взаимной антипараллельности – только в этом случае возможно отсутствие решений.

@Bohes · 18.09.2013, 15:38 **[ТС]**

Сообщение от Heidegger

Взаимной антипараллельности – только в этом случае возможно отсутствие решений.

Понятно,т.е. если они противоположнонаправленные

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от Heidegger

А вот если явно строить нормальное уравнение прямой, то знаки нужно выбирать противоположными знаку коэффициента c (но при этом может меняться знак неравенства). И со скобками желательно в обоих случая разобраться.

Получается, чтобы применить условие, которое представлено ниже, нужны дополнительные проверки?

Сообщение от Heidegger

Достаточно проверить случай:
Код Pascal
1
(a1*b2 - a2*b1 = 0) and (a1*b1 + a2*b2 < 0)

Добавлено через 2 минуты
Кстати, разве слово антипараллельность может быть применено к прямым?

@Heidegger · 18.09.2013, 23:20

Сообщение от Bohes2013

т.е. если они противоположнонаправленные

Да.

Сообщение от Bohes2013

разве слово антипараллельность может быть применено к прямым?

Речь идёт о нормальных векторах прямых (координаты которых определяются коэффициентами a и b).

Сообщение от Bohes2013

чтобы применить условие, которое представлено ниже, нужны дополнительные проверки?

Да, по знакам нормальных векторов и величинам коэффициентов c нужно выяснить взаимное расположение параллельных прямых. Если выполнить поворот координат, то картина стянет проще и наглядней.

Добавлено через 7 часов 27 минут
После нормирования и поворота осей координат исходная система в последнем случае принимает вид:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{ \begin{align} & x\ge -c_1, \\ & x\le \; c_2. \\ \end{align} \right.$

Она не имеет решений только в случае –c₁ > c₂ или c₁ + c₂ < 0.

Тогда условие отсутствия решений можно записать так:

Pascal
1
(a1*b2 - a2*b1 = 0) and (a1*b1 + a2*b2 < 0) and (c1 + c2 < 0)

@Bohes · 19.09.2013, 08:49 **[ТС]**

А каким образом можно повернуть прямые, не зная их координаты?

@Heidegger · 19.09.2013, 09:30

Сообщение от Bohes2013

каким образом можно повернуть прямые, не зная их координаты?

Для этого достаточно знать угол поворота, а он определяется координатами нормированного нормального вектора первой прямой:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos \alpha = a_1,\; sin \alpha =b_1$

Поворот осуществляется подстановкой в уравнения прямых новых переменных по схеме:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{ \begin{align} & x={x}'\cos \alpha -{y}'\sin \alpha , \\ & y={x}'\sin \alpha +{y}'\cos \alpha , \\ \end{align} \right.\;\;\;\;\;\;\;\text{\cyr{t.e.}}\;\;\;\left\{ \begin{align} & x={{a}_{1}}{x}'-{{b}_{1}}{y}', \\ & y={{b}_{1}}{x}'+{{a}_{1}}{y}', \\ \end{align} \right.$

и раскрытием скобок:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ax+by+c\, =\, a({x}'\cos \alpha -{y}'\sin \alpha )+b({x}'\sin \alpha +{y}'\cos \alpha )+c\, =\, (a\cos \alpha +b\sin \alpha ){x}'+(b\cos \alpha -a\sin \alpha ){y}'+c$

На величины (нормированных) коэффициентов c₁ и c₂ поворот не влияет – их можно непосредственно подставлять в приведённое выше условие. Но поворот можно выполнить для проверки правильности вычислений: в результате коэффициенты первого уравнения должны принять вид a₁ = 1, b₁ = 0.

@Bohes · 19.09.2013, 12:03 **[ТС]**

Как получается последнее преобразование?

Сообщение от Heidegger

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\, a({x}'\cos \alpha -{y}'\sin \alpha )+b({x}'\sin \alpha +{y}'\cos \alpha )+c\, =\, (a\cos \alpha +b\sin \alpha ){x}'+(b\cos \alpha -a\sin \alpha ){y}'+c$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@Bohes 12 / 8 / 6 Регистрация: 10.07.2011 Сообщений: 374 Записей в блоге: 1

	Задача на определение существования вещественных чисел для системы уравнений 13.09.2013, 23:41. Показов 2364. Ответов 29 Метки нет (Все метки) Вводятся числа a1, b1, c1, a2, b2, c2. Определить существуют ли вещественные чиcла x, y, при которых $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> a1x+b1y+c1>=0<br /> a2x+b2y+c2>=0<br />$ Как это решить? Есть ли математический способ? 0

@Bohes 12 / 8 / 6 Регистрация: 10.07.2011 Сообщений: 374 Записей в блоге: 1
	19.09.2013, 08:49 [ТС]
	А каким образом можно повернуть прямые, не зная их координаты? 0